Probabilidade material teórico

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1 1 A probabilidade serve para calcular a chance de algo acontecer. Seu estudo, assim como o da Análise Combinatória, teve origem nos jogos de azar, onde as pessoas queriam saber qual o melhor modo de jogar, para aumentar sua chance de vitória. Devido a essa origem, os exemplos e exercícios de probabilidade que encontramos nos livros didáticos, envolvem moedas, dados e baralhos. Infelizmente ainda faltam livros com boa quantidade de exercícios contextualizados nas situações reais do nosso dia a dia. Mas, as regras aqui ensinadas através de exercícios de jogos de azar, são as mesmas utilizadas em cálculos das áreas de Exatas, Biológicas e até de Humanas. Os modelos probabilísticos são úteis em várias áreas do conhecimento humano e, atualmente a probabilidade desempenha papel importante em muitas situações que envolvam uma tomada de decisão. Aleatoriedade: Ao jogarmos uma moeda, não podemos prever o resultado, mas, ainda assim, há um certo padrão regular nos resultados, padrão este que se evidencia somente após muitas repetições. Por exemplo, a proporção de jogadas de uma moeda que dão cara varia quando fazemos mais e mais jogadas, mas tende para 50% (0,5), que é a probabilidade de cara. Este fato notável é o fundamento da idéia de probabilidade, veja: _ O naturalista francês Conde de Buffon ( ) jogou uma moeda vezes. Resultado: caras, ou seja uma proporção de 2.048/4.040 = 0,5069 caras; _ Quando estava prisioneiro dos alemães durante a 2ª guerra mundial, o matemático John Kerrich jogou uma moeda vezes. Resultado: caras, ou seja uma proporção de 0,5067; _ Por volta de 1900, o estatístico inglês Karl Pearson heroicamente jogou uma moeda vezes. Resultado: caras, ou seja uma proporção de 0,5005. A teoria da probabilidade surgiu para tentar medir a chance de ocorrer um determinado resultado, num experimento aleatório. Numa experiência com vários resultados possíveis, todos com a mesma chance, dizemos que: _ Ponto Amostral: é qualquer um dos resultados possíveis. _ Espaço Amostral (S): é o conjunto de todos os resultados possíveis. _ Evento (E): é qualquer subconjunto do espaço amostral. Também dizemos que n(s) é o número de elementos de S. E n(e) é o número de elementos de E. Em quase tudo, em maior ou menor grau, vislumbramos o acaso. Fenômenos onde o resultado final depende do acaso são chamados fenômenos aleatórios ou experimentos aleatórios. Experimentos ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis, como por exemplo, o lançamento de um mesmo dado repetidas vezes. Espaço Amostral: A cada experimento correspondem, em geral, vários resultados possíveis. Assim, ao lançarmos uma moeda, há dois resultados possíveis: ocorrer cara ou ocorrer coroa. Já ao lançarmos um dado, há seis resultados possíveis: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Os dois experimentos citados têm os seguintes espaços amostrais: - lançamento de uma moeda: S = {Ca, Co}; - lançamento de um dado: S = {1,2,3,4,5,6}.

2 2 Cálculo da Probabilidade: A probabilidade de ocorrer o evento E, representada por P(E), de um espaço amostral S ᴓ, é o quociente entre o número de elementos de E e o número de elementos de S. Simbolicamente: P(E) = n(e) n(s) Ou seja, Probabilidade de número de casos favoráveis a E = ocorrer E número de casos possíveis S Cada elemento de S que corresponde a um resultado recebe o nome de ponto amostral. Probabilidade é a possibilidade de que certo caso aconteça, a qual é calculada em matemática pela razão entre o número de casos favoráveis e o número total de casos possíveis. Eventos Complementares: Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo A a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e Ā a probabilidade de que ele não ocorra (fracasso), para um mesmo evento existe sempre a relação: P(A) + P(Ā) = 1 P(Ā) = 1 P(A) Assim, se a probabilidade de se realizar o evento é P(A) = 1/5, a probabilidade de que ele não ocorra é P(Ā) = 4/5. Sabemos que a probabilidade de tirar um 4 no lançamento de um dado é P(A) = 1/6. Logo, a probabilidade de não tirar o 4 no lançamento de um dado é: P(Ā) = 1 1/6 = 5/6. Eventos Independentes: Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou a nãorealização de um dos eventos não afeta a probabilidade de realização do outro e vice-versa. Por exemplo, quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro. Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos. P(A B) = P(A) P(B) Por exemplo, ao lançarmos dois dados. A probabilidade de obtermos 3 no primeiro dado é: P(A) = 1/6. A probabilidade de obtermos 5 no segundo dado é: P(B) = 1/6. Logo, a probabilidade de obtermos, simultaneamente, 3 no primeiro e 5 no segundo é: P(A B) = 1/6 1/6 = 1/36. Ou seja, a probabilidade de se tirar o 3 e o 5 é: 1/36. A probabilidade de que um e outro se realize é igual ao produto das probabilidades de que cada um deles se realize. Eventos mutuamente exclusivos: Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s). Assim, no lançamento de uma moeda, o evento tirar cara e o evento tirar coroa são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza. Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize: P(A U B) = P(A) + P(B) Por exemplo, ao lançarmos um dado, a probabilidade de se tirar o 3 ou o 5 é: P(A U B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3, pois, como vimos, os dois eventos são mutuamente exclusivos.

3 3 Eventos não mutuamente exclusivos: Como vimos anteriormente em Eventos mutuamente exclusivos ou P(A U B) = P(A) + P(B), não existem elementos, que pertençam simultaneamente a P(A) e a P(B). Quando existirem elementos que pertencerem simultaneamente a P(A) e a P(B), devemos subtrair esses elementos (essa intersecção), para não contá-los duas vezes, ou seja: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Por exemplo, retirando uma carta de um baralho comum de 52 cartas, qual é a probabilidade de ocorrer uma dama ou uma carta de ouros? Se A for o evento dama e B o evento carta de ouros, temos: n(a) = 4, n(b) = 13, n(a B) = 1, pois existe apenas uma dama de ouros, a qual deve ser subtraída nessa intersecção, para não ser contada duas vezes. Temos também que n(s) = 52. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A B) = = = 4 13 Probabilidade condicional: Dados dois eventos, A e B, a probabilidade de que o evento B ocorra, dado que o evento A já ocorreu, é a probabilidade condicionada de B, escrita por P(B/A). Similarmente, escrevemos a probabilidade da ocorrência de A, condicionada a ocorrência de B, como P(A/B) (lê-se: probabilidade de A dado que B tenha ocorrido, ou probabilidade A condicionada à ocorrência B). Essa teoria foi criada por Thomas Bayes, por isso também é conhecida como probabilidade bayesiana. Suponha que existam 10 rótulos de papel que podem ser distinguidos pelo número e pela cor: Por exemplo, os rótulos numerados por 1, 2 e 3, são amarelos e os restantes, brancos. Se todos forem colocados em uma urna e retirados ao acaso, a probabilidade de extrair um rótulo particular é 1 / 10. Se, porém, após retirar um rótulo ao acaso, ele for amarelo, como calcular a probabilidade de que um certo rótulo, por exemplo, aquele com o número 1, seja extraído? Evidentemente, o número de acontecimentos favoráveis está agora reduzido de 10 para 3; em outras palavras, o rótulo desejado deve ter o número 1 e ser amarelo. Calculamos a probabilidade condicionada pela razão: número de casos favoráveis aos eventos P(rótulo nº1/amarelo) = rótulo nº 1 e amarelo número de casos favoráveis aos eventos amarelo = 1 3 Para alguns fins, é mais conveniente exprimir a probabilidade condicionada, dividindo-se o numerador e o denominador da fórmula anterior pelo número total de casos possíveis na experimentação. No caso presente, são 10 rótulos diferentes e, portanto, 10 possíveis casos. Assim: P(rótulo nº1/amarelo) = P(rótulo nº 1 e amarelo) P(amarelo) De modo geral, dados dois eventos A e B, que não são independentes, a probabilidade condicionada de A, dado B, ou de B dado A, é definida como: = = 1 3 P(A /B) = P(A B) P(B) = n(a B) n(b) ou P(B /A) = P(B A) P(A) = n(b A) n(a)

4 Probabilidade material teórico R E S U M O G E R A L D A S R E G R A S D E P R O B A B I L I D A D E 4 Regra da Adição ou : _ Para eventos mutuamente exclusivos (quando a realização de um exclui a realização do outro): P(A ou B ocorrerá) P(A U B) = P(A) + P(B) _ Para eventos NÃO mutuamente exclusivos (é possível a realização conjunta de ambos A e B ): P(A ou B ou ambos ocorrerão) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Regra da Multiplicação e : _ Para eventos independentes (quando a ocorrência ou não de um evento, não influencia na ocorrência do outro): P(A e B ocorrerá) P(A B) = P(A) P(B) Regra para eventos dependentes probabilidade condicional (a probabilidade de que o evento A ocorra, dado que o evento B já ocorreu) P(A /B) = P(A B) P(B) E X E R C Í C I O S R E S O L V I D O S 1. Ao girar a roleta ao lado, defina o espaço amostral S e os eventos A: ocorrência do número 2; B ocorrência de número impar. S = {1; 2; 3} A = {2} B = {1; 3} 2. No lançamento simultâneo de duas moedas distinguíveis, defina o espaço amostral e os eventos A: ocorrência de exatamente uma cara; B: ocorrência de pelo menos uma cara; C: ocorrência de coroa em ambas. S = {(cara, cara); (cara, coroa); (coroa, coroa); (coroa, cara)}; A = {(cara, coroa); (coroa, cara)} B = {(cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara)}. C = {(coroa, coroa)}; 3. Defina o espaço amostral e o número de elementos do espaço amostral do experimento retirar uma carta, ao acaso, de um baralho de 52 cartas e os eventos A: ocorrência de ás; B: ocorrência de ás de ouros; C: ocorrência do número 2 e, o número de elementos do evento C. S = {2c, 2o, 2e, 2p, 3c, 3o, 3e, 3p,..., Ac, Ao, Ae, Ap}, em que c = copas, o = ouros, e = espadas e p = paus. n(s) = 52 A = {Ac, Ao, Ae, Ap}. B = {Ao}. C = {2c, 2o, 2e, 2p} n(c) = 4 4. Considerando os resultados de 2 lançamentos de uma moeda honesta, responda: a) Qual o número de elementos do espaço amostral? n(s) = 4 b) Descreva o espaço amostral? S = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)} em que c = cara e k = coroa c) Qual o número de elementos do evento F: ocorrer coroa em pelo menos um dos lançamentos? n(f) = 3 d) Qual o número de elementos do evento E: ocorrer cara nos dois lançamentos? n(e) = 1 e) Qual a probabilidade de ocorrer o evento E? P(E) = ¼ = 0,25 = 25%

5 Probabilidade material teórico 5. No lançamento simultâneo de 2 dados cúbicos honestos, determine: a) O número de elementos do espaço amostral; n(s) = 36 b) O número de elementos do evento A: soma dos pontos igual a 4; n(a) = 3 c) A probabilidade de ocorrer o evento A. P(A) = 3/36 = 1/12 = 0, = 8,33% 5 6. No lançamento de um dado cúbico honesto, qual a probabilidade de obter na face superior: a) número par? P = 3/6 = ½ = 50% (evento elementar) b) número menor ou igual a 6? P = 6/6 = 1 = 100% (evento certo) c) número 4? P = 1/6 = 0, = 16,67% (evento elementar) d) número maior que 6? (evento impossível) 7. A probabilidade de se realizar um evento é de 2/5, qual a probabilidade de que esse evento não ocorra? 3/5 (evento complementar) 8. No lançamento de 2 dados cúbicos honestos, determine a probabilidade de obtermos simultaneamente, 1 no primeiro dado e 5 no segundo dado? P = 1/6 1/6 = 1/36 (eventos independentes) o resultado obtido em um dado, independe do resultado obtido no outro. 9. No lançamento de 1 dado, qual a probabilidade de se tirar o 3 ou o 5? P = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 (eventos mutuamente exclusivos) a realização de um evento, exclui a realização do outro. 10. Uma urna possui 10 bolas, sendo 3 brancas, 2 vermelhas e 5 verdes, retira-se ao acaso duas bolas sem reposição. Qual é a probabilidade da primeira bola ser branca e da segunda bola ser verde? p = 3/10 5/9 = 1/6 (denominador 9, pois a retirada é feita sem reposição de bolas) 11. A cartela da loto fácil contém 25 números (do 1 ao 25) e o apostador pode marcar entre 15 e 18 números. Qual a probabilidade de acertar o resultado do sorteio da loto fácil com um cartão onde se apostou em 15 números? Qual a chance do apostador não ganhar? O número de resultados possíveis (combinações) é C25,15 = , logo p = 1/ = 0,000031%. E, 100% - 0,000031% = 99,999969% Chance de não ganhar. 12. Em uma disputa final de torneio de tiro ao alvo, a probabilidade de Kendric acertar no alvo é de ½ e a de Marcel atingir o mesmo alvo é de 3/5. Qual a probabilidade do alvo ser atingido, se ambos atirarem nele? (eventos não mutuamente exclusivos, ambos podem acertar o alvo) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A B) = P(A) + P(B) P(A) P(B) P(A B) = = 4 5 = 80% 13. Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de sair um ás vermelho, sabendo que a carta sorteada é de copas? (probabilidade condicionada) nesse caso temos: evento A: {ás de copas, ás de ouros}, como a carta sorteada foi de copas, P(A B) = 1/52 evento B: {carta de copas}, P(B) = 13/52 P(A /B) = P(A B) P(B) = 1/52 13/52 = Uma urna contém 5 bolas brancas e 3 vermelhas; uma outra urna contém 4 bolas brancas e 5 vermelhas. É retirada uma bola de cada urna. Encontre a probabilidade delas serem: a) da mesma cor; P(duas brancas) = 5/8(1ªurna) 4/9(2ªurna) = 5/18; P(duas vermelhas) = 3/8(1ªurna) 5/9(2ªurna) = 5/24.

6 6 b) de cores diferentes. Como a probabilidade de serem ambas da mesma cor é 5/18 + 5/24 = 35/72; logo, P(cores diferentes) = 1 35/72 = 37/ Qual a chance de ganharmos na Mega Sena? Como já vimos em análise combinatória, para acertarmos as 6 dezenas da Mega-Sena no universo {1; 2; 3;...; 58; 59; 60}, temos: C 60,6 = ( 60 6 ) = 60! = ! = = , ou 6!(60 6)! ! 720 seja, nosso espaço amostral é e a probabilidade de ganharmos é: P(1) = 1 0, Imagine 60 bolinhas, sendo 54 brancas e 6 pretas. Coloque-as dentro de um saquinho, sacuda bastante, até que se misturem e faça 6 tentativas de tirar, de olhos vendados, exclusivamente, as bolinhas pretas. Esta é a sua chance de ganhar na Mega Sena. 16. Ao jogarmos duas moedas, qual a probabilidade de obtermos duas caras? Qual a probabilidade de obtermos pelo menos uma cara? ¼ e ¾ 17. Uma mãe está grávida de gêmeos fraternos (dizigóticos ou bivitelinos), qual a probabilidade de nascer pelo menos uma menina? ¾ 18. Você está em um jogo num programa de TV, e precisa escolher uma entre três portas: por trás de uma está um carro, e nas duas outras, cabras. Você escolhe uma delas digamos, a número 1 e o apresentador (que sabe o que está por trás de cada uma delas) abre outra porta digamos a número 3 que tem uma cabra por trás. O apresentador então pergunta se você quer continuar com a que escolheu, ou mudar para a outra a número 2. A questão é: você deve mudar a sua escolha? O problema acima é muito antigo e não requer educação matemática, apenas pensamento lógico cuidadoso, conhecido como Paradoxo de Monty Hall é um problema matemático que surgiu a partir de um programa de TV chamado Let s Make a Deal, que era exibido nos EUA. Quando você escolhe a primeira porta, a probabilidade de ganhar o carro por ela é de 1/3. As outras duas, em conjunto, tem 2/3 de probabilidade de conter o carro. Quando a porta com a cabra é aberta e eliminada, você fica com duas opções: uma com 1/3 de ter o carro, e outra com 2/3. Portanto, mudar de porta é sempre a melhor opção, e a sua chance de ganhar dobra de 1/3 para 2/3. Não significa que você ganhará o carro com certeza ao trocar de porta. Mas, se jogar diversas vezes e sempre escolher por trocar de porta, suas chances de ficar com o prêmio são bem maiores do que quando você mantém a primeira porta escolhida. 19. Na Universidade privada Duke, localizada em Durham, no estado da Carolina do Norte, nos Estados Unidos da América, dois alunos revolveram viajar na véspera de uma prova, foram a uma festa em outro estado e não voltaram a tempo para a prova. Então, se dirigiram ao professor: Professor, fomos viajar, o pneu furou, não conseguimos consertá-lo, tivemos mil problemas, e por conta disso tudo nos atrasamos, mas gostaríamos de fazer a prova. O professor, sempre compreensivo: Claro, vocês podem fazer a prova hoje à tarde, após o almoço. E assim foi feito. Os rapazes correram para casa e se racharam de tanto estudar. Na hora da prova, o professor pôs cada aluno em uma sala diferente e lhes entregou a prova. Primeira pergunta, valendo 0,5 ponto: fale sobre a Lei de Ohm. Os dois ficaram contentes, pois haviam visto algo sobre o assunto. A prova seria fácil e haviam conseguido se dar bem, pensaram. Segunda pergunta, valendo 9,5 pontos: Qual pneu furou? Qual é a probabilidade de que os dois alunos deem a mesma resposta? O carro tem 4 pneus, portanto, seja DD o pneu dianteiro direito e assim por diante, há 16 combinações possíveis entre as respostas dos dois alunos. Se a primeira resposta citada representa a do estudante 1 e a segunda a do estudante 2, as possíveis respostas combinadas são: (DD, DD), (DD, DE), (DD, TD) (DD, TE), (DE, DD), (DE, DE), (DE, TD), (DE, TE), (TD, DD), (TD, DE), (TD, TD), (TD, TE), (TE, DD), (TE, DE), (TE, TD), (TE, TE). Dentre estas,

7 7 4 apresentam concordância (DD, DD), (DE, DE), (TD, TD), (TE, TE). Portanto, a probabilidade é de 4/16, ou ¼. 20. Ao jogarmos três dados cúbicos, podemos obter a soma dos resultados igual a 9, de seis formas diferentes {(621), (531), (522), (441), (432) e (333)}. Também podemos obter de seis formas diferentes, a soma dos resultados igual a 10 {(631), (622), (541), (532), (442) e (433)}. A questão é: ao jogarmos três dados, a probabilidade é a mesma, para as somas 9 e 10? Não, por exemplo o resultado (631) pode ser obtido de 6 formas diferentes, enquanto o resultado (333) pode ser obtido apenas de uma maneira, dessa forma, existem 27 maneiras de totalizar 10 e 25 de totalizar 9. Galileu Galilei, concluiu que obter 10 era 27/25 mais provável, ou seja, 1,08, portanto a soma 10 ocorre 8% a mais que a soma 9.