AULA 08 Probabilidade

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1 Cursinho Pré-Vestibular da UFSCar São Carlos Matemática Professora Elvira e Monitores Ana Carolina e Bruno AULA 08 Conceitos e assuntos envolvidos: Espaço amostral Evento Combinação de eventos Espaço Amostral Determine todos os resultados possíveis quando do lançamento de um dado comum, não viciado. Resultado: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Chamamos de espaço amostral, e indicamos por Ω (lê-se ômega), um conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Onde chamamos de experimento aleatório aquele que, repetido em idênticas condições (lançar um dado não viciado), produz resultados que não podem ser previstos com certeza absoluta. Eventos Exemplo 1) Um dado é lançado e observa-se o número da face de cima. Sabendo que o espaço amostral é Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, determine os subconjuntos onde ocorre: a) A, um número ímpar: A = {1, 3, 5} b) B, um número par: B = {2, 4, 6} c) C, um número menor que 4: C = {1, 2, 3} Consideremos um experimento aleatório, cujo espaço amostral é Ω. Chamaremos de evento todo subconjunto de Ω, e o indicamos por letra maiúscula. Diremos que um evento D ocorre se, realizado o experimento, o resultado obtido for pertencente a D. São exemplos de eventos os conjuntos A, B e C do exemplo 1. Exemplo 2) Uma moeda é lançada 3 vezes, e observa-se a sequência de caras e de coroas. Sabendo o espaço amostral, Ω ={ (K;K;K), (K;K;C), (K;C;K), (K;C;C), (C;K;K), (C;K;C), (C;C;K), (C;C;C) }, temos alguns eventos: Ocorrência de cara (K) no primeiro lançamento: A = { (K;K;K), (K;K;C), (K;C;K), (K;C;C) }; Ocorrência de exatamente uma coroa (C): B = { (K;K;C), (K;C;K), (C;K;K) }; Ocorrência de pelo menos duas caras: C = { (K;K;K), (K;K;C), (K;C;K), (C;K;K) }: União (U) Um dado é lançado e observamos o número da face de cima. Sabendo o espaço amostral, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, a ocorrência de um número par ou número maior ou igual a 4 é: A U B = {2, 4, 5, 6} Sejam A e B dois eventos; então A U B será também um evento que ocorrerá se, e somente se, A ou B ocorrerem. Dizemos que A U B é a união entre o evento A e o evento B. Aula 08 1

2 Intersecção ( ) Um dado é lançado e observamos o número da face de cima. A ocorrência de um número par e maior ou igual a 4 é: A B = {4, 6} Sejam A e B dois eventos; então A B será também um evento que ocorrerá se, e somente se, A e B ocorrerem simultaneamente. Dizemos que A B é a intersecção entre o evento A e o evento B. A tabela abaixo foi retirada de uma matéria da Exame intitulada: Veja qual a probabilidade de você ganhar na Mega-Sena. A probabilidade de um determinado jogo de 6 números ser sorteado é dada pela divisão de 1 jogo (quantidade de elementos do evento) pela quantidade de elementos do espaço amostral nesse caso cerca de 50 milhões (C 60,6 ). Exemplo: Um dado é lançado e observamos o número da face de cima. Sabendo o espaço amostral, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, a probabilidade de ocorrência de um número ımpar (A = {1, 3, 5}) será: Note que o símbolo # representa a quantidade de elementos tanto do evento A quanto do espaço amostral Ω. Observações sobre Seja A e B eventos quaisquer, temos que: 0 P(A) 1 P(A)= 1- P(A c ) P(A B) = P(A).P(B) P (A U B) = P(A) + P(B) P(A B) Mas afinal, o que é probabilidade e qual a relação da mesma com a Mega-Sena? Segundo o site BrasilEscola: é um ramo da Matemática em que as chances de ocorrência de experimentos são calculadas. É por meio de uma probabilidade, por exemplo, que podemos saber desde a chance de obter cara ou coroa no lançamento de uma moeda até a chance de erro em pesquisas. Matematicamente, a probabilidade de um evento A ocorrer é dada pela quantidade de elementos do evento A dividido pela quantidade de elementos do espaço amostral Ω do experimento estudado. Denotamos por P(A) a probabilidade do evento A ocorrer, sendo sua fórmula dada por: P(A) = Quantidade de elementos de A (#A) Quantidade de elementos de Ω (#Ω) No caso da Mega-Sena o experimento dado é a retirada de 6 bolas de uma urna contendo 60 bolas numeradas de 1 a 60. Exercícios em Sala 1) Numa urna existem duas bolas vermelhas e seis bolas brancas. Sorteando-se uma bola, qual a probabilidade de ela ser vermelha? 2) Uma moeda é viciada de tal modo que sair cara é duas vezes mais provável do que sair coroa. Calcule a probabilidade de: (a) ocorrer cara no lançamento dessa moeda; (b) ocorrer coroa no lançamento dessa moeda. 3) De um baralho de 52 cartas, uma é extraída ao acaso. Calcule a probabilidade de: (a) ocorrer dama de copas. (b) ocorrer carta de naipe de paus. (c) ocorrer dama, rei ou valete 4) De um grupo de 10 pessoas, entre elas Regina, cinco são escolhidas ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de que Regina seja escolhida? 5) (Enem 2012) - Em um jogo há duas urnas com 10 bolas de mesmo tamanho em cada urna. A Aula 08 2

3 tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna. Conforme o quadro teste proposto, a sensibilidade dele é de: Uma jogada consiste em: 1º - o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da urna 2; 2º - ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão; 3º - em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2; 4º - se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo. Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar? 6) (ENEM prova azul) - Para analisar o desempenho de um método diagnóstico, realizam-se estudos em populações contendo pacientes sadios e doentes. Quatro situações distintas podem acontecer nesse contexto de teste: 1) Paciente TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO. 2) Paciente TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO. 3) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO. 4) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO. Um índice de desempenho para avaliação de um teste de diagnóstico é a sensibilidade, definida como a probabilidade de o resultado do teste ser POSITIVO se o paciente estiver com a doença. O quadro refere-se a um teste diagnóstico para a doença A, aplicado em uma amostra composta por duzentos indivíduos. A) 47,5%. B) 85,0%. C) 86,3%. D) 94,4%. E) 95,0%. 7) (ENEM prova azul) O psicólogo de uma empresa aplica um teste para analisar a aptidão de um candidato a determinado cargo. O teste consiste em uma série de perguntas cujas respostas devem ser verdadeiro ou falso e termina quando o psicólogo fizer a décima pergunta ou quando o candidato der a segunda resposta errada. Com base em testes anteriores, o psicólogo sabe que a probabilidade de o candidato errar uma resposta é 0,20. A probabilidade de o teste terminar na quinta pergunta é A) 0, B) 0, C) 0, D) 0, E) 0, ) (ENEM prova azul) O psicólogo de uma empresa aplica um teste para analisar a aptidão de um candidato a determinado cargo. O teste consiste em uma série de perguntas cujas respostas devem ser verdadeiro ou falso e termina quando o psicólogo fizer a décima pergunta ou quando o candidato der a segunda resposta errada. Com base em testes anteriores, o psicólogo sabe que a probabilidade de o candidato errar uma resposta é 0,20. A probabilidade de o teste terminar na quinta pergunta é A) 0, B) 0, C) 0, D) 0, Aula 08 3

4 E) 0, Exercícios Para Casa 1) (ENEM prova azul) Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela internet. Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres. Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo. O coeficiente de melhora da alteração recomendada é: A loja sorteará um brinde entre os compradores do produto A e outro brinde entre os compradores do produto B. Qual a probabilidade de que os dois sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de 2012? A) 1/20 B) 3/242 C) 5/22 D) 6/25 E) 7/15 3) (ENEM prova azul) Numa escola com alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol? A) ½ B) 5/8 C) ¼ D) 5/6 E) 5/14 A) 62 6 /10 6 B) 62! / 10! C) (62! 4!) / (10! 56!) D) 62! 10! E) ) (ENEM prova azul) Uma loja acompanhou o número de compradores de dois produtos, A e B, durante os meses de janeiro, fevereiro e março de Com isso, obteve este gráfico: Aula 08 4

5 2) Precisamos descobrir o número de compradores totais de A e B e o número de compradores em fev/12 de A e B. Compradores TOTAL de A = = 100 Compradores TOTAL de B = = 120 Resolução 1) Informações do enunciado: Coeficiente de melhora é a razão do novo número de possibilidades em relação ao antigo, ou seja o número de possibilidade na situação 1 dividido pelo número de possibilidade da situação 2. Situação 1 Senha 1: poderiam ser 6 dígitos de 0 a 9 cada dígito, ou seja, cada digito tem 10 possibilidade: 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 10 6 possibilidades na situação 1 Situação 2 Senha 2: poderiam ser 6 dígitos de 0 a 9 cada dígito e 26 letras do alfabeto variando maiúscula e minúscula, ou seja, cada digito tem 10 possibilidades com as letras + 26 possibilidades com as letras maiúsculas e mais 26 possibilidades com as letras minúsculas, totalizando 62 possibilidades ( ) para cada dígito. 62 x 62 x 62 x 62 x 62 x 62 = 62 6 possibilidades na situação 2 O coeficiente de melhora será possibilidades senha 2 possibilidade senha 1 Compradores de A em fev/12= 30 Compradores de B em fev/12 = 20 do sorteado do produto A ter comprado em fev/12: P(A) = = 3/10 do sorteado do produto B ter comprado em fev/12: P(B) = simplificando temos P(B) = 1/6 A probabilidade de os 2 sorteados serem compradores de fev/12 será a multiplicação das probabilidades do evento A e do evento B, pois são eventos independentes. p(a B) = p(a). p(b) 3/10 x 1/6 = 3/60 (multiplicamos numerador com numerador e denominador com denominador) Simplificando temos p(a B) = 1/20 Letra A 3) Informações do enunciado: Total de alunos: alunos falam inglês 500 alunos falam espanhol 300 não falam nenhum idioma Ele quer saber qual a probabilidade de que o aluno fale somente espanhol? Coeficiente de melhora = letra A Aula 08 5

6 Definição de probabilidade = (n⁰ de possibilidades favoráveis n⁰ de possibilidades possíveis) N⁰ de possibilidade favoráveis = alunos que falam somente espanhol N⁰ de possibilidades possíveis = total de alunos que não falam inglês 1⁰ passo: será descobrir os alunos que falam somente espanhol. Faremos isso através do diagrama de conjuntos: Alunos que só falam espanhol = 300 2⁰ passo: Achar o valor total de alunos que não falam inglês = = 600 Ou seja o número de possibilidades (alunos que não falam inglês) será ⁰passo: Substituir os valores na fórmula de probabilidade P= alunos que só falam espanhol todos os alunos que não falam inglês P = P=1/2 Letra A As resoluções foram extraídas do site Primeiro montamos o diagrama, começamos colocar os valores no diagrama pela interseção, que o ⁰ de alunos que fala inglês e espanhol. Como não sabemos será X. No conjunto I,a parte amarela será das pessoas que só falam inglês. Sabemos que a quantidade que fala inglês é 600, para saber quem só fala inglês devemos diminuir X. No conjunto E, a parte azul será das pessoas que só falam espanhol. Sabemos que a quantidade que fala espanhol é 500, para saber quem só fala espanhol devemos diminuir X. E as pessoas que não falam nem inglês, nem espanhol ficam do lado de fora desses dois conjuntos como o mostra o diagrama. A soma de todos esses valores deve ser igual a 1200, ou seja: 600-X+X+500-X+300= X=1200 X= X= é a quantidade de alunos que falam inglês e espanhol. Se que quero saber quem só fala espanhol será =300 Aula 08 6

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