Carlos Pedreira.

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Zilda Gama Tomé
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1 Bio-Estatística Carlos Pedreira

2 CAPÍTULO 1 Conceitos Básicos de Probabilidade

3 Em qual resultado você apostaria em 1 jogada de uma moeda justa? porque? Agora vamos jogar a moeda 2 vezes, Você apostaria? Em que? Em 10 repetições, qual seria a aposta? O que significam estes resultados?

4 E se fizessemos muitas repetições? Total de caras / Numero de jogadas Número de jogadas

5 Um experimento é chamado de aleatório se pode produzir diferentes saídas embora seja executado da mesma forma por diversas vezes. Não temos como afirmar que um resultado particular ocorrerá, mas queremos (e podemos!) saber de ante-mão muitas coisas sobre este resultado. Os resultados individuais podem parecer ocorrer de forma acidental, mas se repetirmos os experimentos um número grande de vezes, um padrão irá se manifestar.

6 Por exemplo, se dosarmos a glicemia sérica em um grupo de 20 indivíduos, obteremos resultados que a um observador leigo poderiam parecer ao acaso, por exemplo: 92, 87, 112, 114, 85, 102, 88, 94, 98, 82, 51, 40, 79, 147, 105, 91, 85, 81, 87 e 94. Mas de fato, há um padrão nestes valores, por exemplo, a média é 90.7 e há uma razoável concentração em torno deste valor. Note que apenas dois destes valores são superiores ao limite de 112,62; e (não por acaso) 112,62 = média e outros dois valores estão abaixo de um limite inferior de 68,78; e (não por acaso) 68,78 = média E começamos a sentir falta de uma figura

8 Definições Básicas (e fundamentais!!) Experimento Espaço amostral Evento Probabilidade

9 Experimentos E1: Jogue uma dado e observe o número mostrado na face de cima E2: Jogue uma moeda 4 vezes e observe o número de caras obtido E3: Jogue uma moeda 10 vezes e observe a sequência obtida de caras e coroas E4: Faça medidas de glicemia em um paciente nos momentos 0, 30 minutos, 1hora, 2 horas E5: Acompanhe um paciente com LLA observando o tempo decorrido até a recidiva

10 O que estes experimentos tem em comum? Cada experimento pode ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições. Isso é verdade para todos os exemplos? Embora não sejamos capazes de afirmar que resultado particular ocorrerá, seremos capazes de descrever o conjunto de todos os possíveis resultados do experimento. O espaço amostral, Ω, é o conjunto dos resultados possíveis de um experimento

11 S1: {1, 2, 3, 4, 5, 6} S2: {0, 1, 2, 3, 4} Espaço Amostral S3: { Todas as seqüências possíveis da forma a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7, a 8, }, onde a i = C ou K, conforme apareça Cara ou Coroa na i-ésima jogada. S4: {g 1, g 2, g 3, g 4 }, onde g i > 0, i=1,2,3,4. S5: {t t > 0}.

12 Evento Seja Ω o espaço amostral do experimento. Todo subconjunto A Ω será chamado de evento. Ω é o evento certo o evento impossível Se ω Ω, o evento {ω} é dito elementar (ou simples)

13 Probabilidade

14 Probabilidade obedece sempre a: A probabilidade de um evento A, P(A), é sempre positiva, isto é P(A) 0 A probabilidade do espaço amostral é 1, ou seja, P(Ω) = 1 Portanto, 0 P(A) 1 para qualquer evento A. Probabilidade é um número entre zero e um

15 Probabilidade obedece sempre a: Chamamos de complemento de A (representado por A C ) tudo o que está no espaço amostral Ω mas não está em A. P(A C ) = 1 P(A) Um caso particular importante desta propriedade é: P( ) = 1 P(Ω) = 0.

16 Probabilidade obedece sempre a: Representamos que um evento A está contido em B por A B Se um evento A está contido em B então a probabilidade de A é menor do que a probabilidade de B, ou seja A B P(A) P(B). Por exemplo, o evento (em lançamento de um dado) ser igual a 2 está contido no evento ser par e portanto P(ser igual a 2) < P(ser par).

17 Ainda da série: Probabilidade obedece sempre a: Para quaisquer 2 eventos A e B, Ω P(A U B) = P(A) + P(B) P(AB)

18 E para 3 eventos (e podemos extrapolar o que acontece para um número arbitrário de eventos): P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) - - (P(AB) + P(AC) + P(BC)) + P(ABC) A AB C C C C C A B C AC C ABC BC AB C A BC C B

19 Imaginemos que 822 pacientes deram entrada em hospitais públicos e particulares apresentando dor precordial, de acordo com a tabela abaixo: Tipo de hospital Público Particular Total Diagnóstico Angina Instável IAM sem supra do segmento ST IAM com supra do segmento ST Total

20 Tipo de hospital Público Particular Total Diagnóstico Angina Instável IAM sem supra do segmento ST IAM com supra do segmento ST Total Definimos os seguintes eventos: A={IAM sem supra} B={IAM com supra} Então P(AỤB) = P(A) + P(B) - P(AB) = A e B são mutamente exclusivos = = = 0,59 Portanto, a probabilidade de um paciente ter diagnostico de infarto é 0,59.

21 Probabilidade Condicional Um tema central em probabilidade é a possibilidade de atualizar as probabilidades quando certos eventos são observados. Probabilidade Condicional de A dado B, é a probabilidade do evento A atualizada depois de sabermos que o evento B ocorreu.

22 B A A B A probabilidade condicional é definida como a proporção, dentro de B (que já sabemos que ocorreu), na qual A também ocorre. P ( A/ B) = P( AB) P( B) Probabilidade condicional não é definida para P(B) = 0.

23 Um exemplo: Tratamento contra depressão (150 pacientes) Resposta Imipramina Lithium Combinação Placebo Total Recaiu Não recaiu Total Sejam: A o evento de que o paciente recaiu, B o de que foi tratado com placebo C o de que foi tratado com Lithium P(B) = 34/150 P(AB)=24/150 e P(A/B) = 24/34 = Da mesma forma, poderíamos calcular P(A/C) P(A/C) = 13/38 =0.342

24 Note que se conhecemos P(AB) e P(B) poderiamos ter calculado P(A / B) sem voltar a consultar a tabela, através da expressão que haviamos mostrado a pouco: P ( A/ B) = P( AB) P( B) usando P(B) = 34/150 P(AB)=24/150, chegaríamos a: P(A / B) = 24/34

25 É possivel calcular probabilidade conjunta a partir da definição de probabilidade condicional: P(AB) = P(B) P(A/B) ou P(AB) = P(A) P(B/A) e no caso de n eventos, A 1, A 2, A 3,..., A n : P(A 1 A 2 A 3... A n ) = P(A 1 ) P(A 2 / A 1 ) P(A 3 / A 1 A 2 )... P(A n / A 1 A 2... A n-1 ). Estas formulas são as vezes chamadas de regra da multiplicação

26 Eventos Independentes Dizemos que A e B são independentes se o conhecimento de que B ocorreu não altera a probabilidade de A Isso é equivalente a afirmar que dois eventos A e B são independentes se P(A/B) = P(A) e portanto P(A)= P(AB)/P(B) e consequentemente P(AB) = P(A) P(B)

27 Tipo de hospital Público Particular Total Diagnóstico Angina Instável IAM sem supra do segmento ST IAM com supra do segmento ST Total Definimos os seguintes eventos: A={IAM sem supra} B={IAM com supra} Então P(AỤB) = P(A) + P(B) - P(AB) = A e B são mutamente exclusivos, NÃO SÃO INDEPENDENTES = = = 0,59 COM CERTEZA! Portanto, a probabilidade de um paciente ter diagnostico de infarto é 0,59.

28 Proposição: Se A e B são independentes então A c e B c também o são. 3 eventos, A, B, C são independentes se: P(AB) = P(A) P(B) P(AC) = P(A) P(C) P(BC) = P(B) P(C) e P(ABC) = P(A) P(B) P(C)

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