Probabilidade Aula 02
|
|
- Lívia Nobre Silveira
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Probabilidade Aula 02 Magno T. M. Silva Escola Politécnica da USP Março de 2017
2 Sumário 2.3 Técnicas de contagem 2.4 Probabilidade condicional
3 2.3 Princípio fundamental da contagem Suponhamos que uma tarefa possa ser executada em duas etapas. Se a primeira etapa pode ser realizada de n maneiras e a segunda de m maneiras, então a tarefa completa pode ser executada de n m maneiras. Essa regra pode ser estendida para tarefas que podem ser executadas em k etapas, cada uma realizada de n i, i = 1,2,,k, maneiras. Neste caso, a tarefa completa pode ser executada de n 1 n 2 n k maneiras. Exemplo 8 (1.5.1 do Dantas) Desejamos ir da cidade A à cidade C. Os caminhos de A a C passam pela cidade B. Se há dois caminhos que ligam A a B e três caminhos que ligam B a C, de quantas maneiras podemos ir de A a C? Resolução: Se designarmos por 1 e 2 os caminhos que ligam A e B e por 3, 4 e 5 os caminhos que ligam B a C, então há seis caminhos que ligam A a C: 13, 14, 15, 23, 24 e 25.
4 Exemplo 9 (2.18 do Devore) Uma família mudou-se para uma cidade e precisa dos serviços de um obstetra e de um pediatra. Há duas cĺınicas e cada uma tem 2 obstetras e 3 pediatras. A família obterá benefícios máximos do plano de saúde se escolher uma cĺınica e selecionar dois de seus especialistas. De quantas formas isso pode ser feito?
5 2.3 Exemplo 9 (continuação) Resolução: Vamos representar os obstetras por O 1, O 2, O 3, O 4 e os pediatras por P 1,, P 6. Desejamos determinar o número de pares (O i,p j ) para os quais O i e P j estão associados à mesma cĺınica. Como há n 1 = 4 obstetras e para cada um há três escolhas possíveis de pediatras (n 2 = 3), a regra do produto fornece N = n 1 n 2 = 12 escolhas possíveis. O diagrama de árvore desse problema segue abaixo. P 1 O 1 O 2 O 3 O 4 P 2 P 3 P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 4 P 5 P 6
6 2.3 Arranjos Uma amostra é dita ordenada se os seus elementos forem ordenados, isto é, se duas amostras com os mesmos elementos, porém em ordens distintas, forem consideradas diferentes. Um subconjunto ordenado é chamado arranjo. O número de arranjos (amostras ordenadas sem reposição) de tamanho n que pode ser criado a partir de N elementos em um grupo é igual a (N) n = N! = N(N 1) (N n+1) (N n)! O número de amostras ordenadas com reposição de tamanho n com N elementos é igual a N n.
7 2.3 Exemplo 10 (1.5.4 do Dantas) Considere o conjunto das quatro primeiras letras do alfabeto {a,b,c,d}. O número de amostras ordenadas sem reposição de tamanho 3 é igual a (4) 3 = = 24 O número de amostras ordenadas com reposição de tamanho 3 é igual a 4 3 = 64
8 2.3 Exemplo 11 (2.21 do Devore) Há 10 assistentes de professores disponíveis para correção de provas em um curso de cálculo. A P 1 consiste de 4 questões e o professor deseja selecionar um assistente diferente para corrigir cada uma (um assistente apenas por questão). De quantas formas diferentes os assistentes podem ser escolhidos para a correção?
9 2.3 Exemplo 11 resolução O tamanho do grupo é N = 10 e o tamanho do subconjunto é n = 4. O número de arranjos é (10) 4 = 10! (10 4)! = 10! = 10(9)(8)(7) = ! Há 5040 maneiras diferentes de escolher os assistentes para corrigir a P 1.
10 2.3 Exemplo 12 (1.5.6 do Dantas) Suponha que a data de nascimento de qualquer pessoa pode ser considerada igualmente distribuída entre os 365 dias de um ano. Se em uma sala existem n pessoas, qual a probabilidade de que todas tenham nascido em dias diferentes? Resolução: Vamos denotar esse evento por A. O número de conjuntos de n dias em que nasceram as n pessoas é igual ao número de amostras ordenadas com reposição de tamanho n de um conjunto com 365 elementos, que vale 365 n. Datas distintas de nascimento das n pessoas correspondem a amostras ordenadas sem reposição de tamanho n de um conjunto de 365 elementos, que vale (365) n. Assim, P(A) = (365) n 365 n = ( 1 1 )( 1 2 ) ( 1 n 1 )
11 2.3 Exemplo 12 (1.5.6 do Dantas) Evento A: todas as n pessoas tenham nascido em dias diferentes. Gráfico de P(A) em função do número de pessoas na sala P(A) n
12 2.3 Exemplo 13 (2.22 do Devore) Um MP3 player possui 100 músicas, 10 das quais são dos Beatles. Suponha que se utilize um recurso para tocar as músicas em ordem aleatória (cada música deve ser tocada apenas uma vez). Qual a probabilidade de que a primeira música ouvida dos Beatles seja a quinta música tocada?
13 2.3 Exemplo 13 resolução Para esse evento ocorrer, as primeiras quatro músicas tocadas não devem ser dos Beatles (NBs) e a quinta deve ser dos Beatles (B). O número de formas de selecionar as cinco primeiras músicas é 100(99)(98)(97)(96). O número de formas de selecionar essas cinco músicas de modo que as quatro primeiras sejam NBs e a próxima seja B é 90(89)(88)(87)(10) A probabilidade desejada é a proporção do número de resultados para que o evento de interesse ocorra para o número de resultados possíveis: P(1 a B é a 5 a música tocada) = = 0,068
14 2.3 Permutações Uma amostra ordenada sem reposição de tamanho n de um conjunto de n elementos será denominada permutação dos n elementos. O número de permutações de n elementos é igual a P n = n! Exemplo (Dantas): Considere o conjunto dos inteiros de 1 a 3. O número de permutações desse conjunto é P 3 = 6 e as permutações são as seguintes: 123, 132, 213, 231, 312, 321
15 2.3 Combinações Um subconjunto desordenado é chamado de combinação. O número de combinações (amostras não ordenadas sem reposição) de tamanho n que pode ser criado a partir de N elementos em um grupo é igual a (N) n P n = ( N n ) = (N) n n! = N! n!(n n)! = C N,n
16 2.3 Exemplo 14 (2.23 do Devore) Um escola de engenharia recebeu 25 impressoras, das quais 10 são a laser e 15 são jato de tinta. Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para serem verificadas por um técnico, qual a probabilidade de 3 delas serem a laser?
17 2.3 Exemplo 14 resolução Seja o evento D 3 = {exatamente 3 das 6 selecionadas são impressoras a laser} Assumindo equiprobabilidade de eventos, temos em que Assim, P(D 3 ) = N(D 3) N ( ) 25 N = 6 ( )( N(D 3 ) = 3 3 ( 15 )( 10 ) ) P(D 3 ) = N(D 3) N = 3 3 ( ) = 0,
18 2.3 Exemplo 15 ( do Dantas) No jogo do pôquer com quatro participantes, é comum usar 32 cartas. As cartas pertencem a um conjunto de quatro naipes, a saber: paus, espadas, ouros e copas. As denominações das cartas são: sete, oito, nove, dez, valete, dama, rei e ás. Numa primeira etapa são dadas cinco cartas a cada jogador. Consideremos as cartas dadas a um jogador na primeira etapa. Qual a probabilidade de ele receber um par de ases e três outras cartas distintas?
19 2.3 Exemplo 15 ( do Dantas) resolução O espaço amostral é o conjunto das amostras não ordenadas sem reposição de tamanho 5 de um conjunto de 32, ou seja ( ) Vamos denotar evento A : o jogador recebe um par de ases e três cartas distintas. ( ) 4 Podemos selecionar os dois ases de maneiras. 2 As outras três cartas (que não ( devem ) ser ases e dever ser distintas) 7 podem ser selecionadas de 4 3. Assim, 3 ( )( ) P(A) = ( ) = 0,
20 Probabilidade Condicional Para quaisquer dois eventos A e B com P(B) > 0, a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B é definida por P(A B) = P(A B) P(B)
21 Probabilidade Condicional Exemplo 16 (2.24 do Devore) Uma fábrica de componentes eletrônicos usa duas linhas de montagem diferentes: A e A. A linha A usa equipamentos mais antigos que A, de forma que é mais lenta e um pouco menos confiável. Suponha que, em um determinado dia, a linha A tenha montado 8 componentes, dos quais 2 foram identificados como defeituosos (B) e 6 como não defeituosos (B ), ao passo que a linha A produziu 1 defeituoso e 9 não defeituosos. condição linha B B A 2 6 A 1 9 O gerente de vendas seleciona aleatoriamente 1 desses 18 componentes para uma demonstração. Perguntas: Qual a probabilidade do componente selecionado ser da linha A? Dado que o componente selecionado apresentou defeito, qual a probabilidade de ser da linha A?
22 Probabilidade Condicional Exemplo 16 (2.24 do Devore) Resolução: Antes da demonstração P(componente selecionado da linha A) = P(A) = 8 18 = 0,44. Se o componente escolhido tiver defeito, o evento B terá ocorrido, ou seja, P(A B) = 2 3 = 2/18 3/18 = P(A B) P(B)
23 Probabilidade Condicional Exemplo 17 (2.25 do Devore) Suponha que de todos os indivíduos que compram uma determinada câmera digital, 60% incluam um cartão de memória opcional na compra, 40% incluam uma bateria extra e 30% incluam um cartão e uma bateria. Considere a seleção aleatória de um comprador e sejam A = {compra de um cartão de memória} P(A) = 0,6 B = {compra de bateria} P(B) = 0,4 C = {compra de ambos} P(A B) = 0,3 Perguntas: Dado que o indivíduo selecionado comprou uma bateria extra, qual a probabilidade de compra de um cartão de memória opcional? Dado que o indivíduo selecionado comprou um cartão de memória opcional, qual a probabilidade de compra de uma bateria extra?
24 Probabilidade Condicional Exemplo 17 (2.25 do Devore) Resolução: P(cartão comprou bateria extra) = P(A B) = P(A B) P(B) = 0,30 0,40 = 0,75 De todos que compraram bateria extra, 75% compraram um cartão de memória opcional. Analogamente, P(bateria extra cartão de memória)=p(b A)= P(B A) = 0,30 P(A) 0,60 =0,50 De todos que compraram cartão de memória, 50% compraram uma bateria extra. Note que P(A B) P(A) e P(B A) P(B)
25 Regra da multiplicação para P(A B) Da definição de probabilidade condicional, obtemos: P(A B) = P(A B) P(B) = P(B A) P(A)
26 Regra da multiplicação Exemplo 18 (2.27 do Devore) Quatro indivíduos responderam a uma solicitação de um banco de sangue para doação. Nenhum deles doou sangue antes, de forma que seus tipos sanguíneos são desconhecidos. Suponha que apenas o tipo O + seja desejado e apenas um dos quatro indivíduos tenha esse tipo sanguíneo. Se os doadores potenciais forem selecionados em ordem aleatória para determinação do tipo sanguíneo, responda: qual a probabilidade de que pelo menos três indivíduos tenham de ser testados para obtenção do tipo desejado? qual a probabilidade do tipo de sangue do terceiro indivíduo ser O +?
27 Regra da multiplicação Exemplo 18 (2.27 do Devore) Resolução: Fazendo a identificação B = {primeiro tipo não O + } P(B) = 3 4 A = {segundo tipo não O + } Dado que o primeiro não é O +, dois dos três indivíduos restantes não serão O +, de forma que P(A B) = 2 3 Pela regra da multiplicação, obtemos: P(pelo menos três indivíduos tenham de ser testados) = P(A B) = P(A B) P(B) = = 6 12 = 0,5
28 Regra de multiplicação Exemplo 18 (2.27 do Devore) Podemos estender a regra para experimentos que envolvem mais de duas etapas, ou seja, P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 3 A 1 A 2 ) P(A 1 A 2 ) = P(A 3 A 1 A 2 ) P(A 2 A 1 ) P(A 1 ) A 1 ocorre primeiro, seguido por A 2 e finalmente por A 3. Voltando ao Exemplo 18 (2.27 do Devore): P(terceiro indivíduo O + ) = P(terceiro O + primeiro não O + e segundo não O + ) P(segundo não O + primeiro não O + ) P(primeiro não O + ) = = 1 4 = 0,25
29 Partição Uma partição de S é uma coleção de conjuntos disjuntos cuja união é S. Exemplo:S = A 1 A 2 A 3 A 4. Seja o evento B em S, então: B = B S = B (A 1 A 2 A 3 A 4 ) = (B A 1 ) (B A 2 ) (B A 3 ) (B A 4 ) A 1 A 3 B A 2 A 4 S
30 Teorema da Probabilidade total Sejam A 1,,A k eventos mutuamente exclusivos e exaustivos (partição de S). Então, para qualquer outro evento B em S, P(B) = k P(A i B) = P(A 1 B)+ +P(A k B) i=1 = P(B A 1 )P(A 1 )+ +P(B A k )P(A k ) = k P(B A i )P(A i ) i=1
31 Probabilidade total Exemplo 19 (2.30 do Devore) Um indivíduo possui 3 contas de diferentes, de modo que 70% de suas mensagens chega à Conta 1 e dessas 1% é spam 20% chega à Conta 2, sendo que dessas 2% é spam 10% chega à Conta 3 e dessas 5% é spam Qual a probabilidade de uma mensagem selecionada aleatoriamente ser spam?
32 Probabilidade total Exemplo 19 (2.30 do Devore) Resolução: Considere a notação A i = {mensagem é da Conta i}, para i = 1,2,3 B = {mensagem é spam} Do enunciado, obtemos P(A 1 ) = 0,7, P(A 2 ) = 0,2, P(A 3 ) = 0,1 P(B A 1 ) = 0,01, P(B A 2 ) = 0,02, P(B A 3 ) = 0,05 Usando o teorema da probabilidade total, obtemos P(B) = (0,01)(0,70) +(0,02)(0,20) +(0,05)(0,10) = 0,016 1,6% das mensagens do indivíduo é spam.
Introdução ao Cálculo de probabilidades
Introdução ao Cálculo de probabilidades Ref.: DEVORE,J.L. BERK,K.N. - Modern Mathematical Statistics with Applications. 2ed. Springer, 2012. ROSS, S. A. Probabilidade: Um curso moderno com aplicações.
Leia maisProbabilidade. Objetivos de Aprendizagem. UFMG-ICEx-EST. Cap. 2 - Probabilidade Espaços Amostrais e Eventos. 2.1.
2 ESQUEMA DO CAPÍTULO 2.1 ESPAÇOS AMOSTRAIS E EVENTOS 2.2 INTERPRETAÇÕES E AXIOMAS DE PROBABILIADE 2.3 REGRAS DE ADIÇÃO 2.4 PROBABILIDADE CONDICIONAL 2.5 REGRAS DA MULTIPLICAÇÃO E DA PROBABILIDADE TOTAL
Leia maisProbabilidade Aula 03
0303200 Probabilidade Aula 03 Magno T. M. Silva Escola Politécnica da USP Março de 2017 Sumário Teorema de Bayes 2.5 Independência Teorema de Bayes Sejam A 1,,A k uma partição de S (eventos disjuntos)
Leia maisProbabilidade ESQUEMA DO CAPÍTULO. UFMG-ICEx-EST Cap. 2- Probabilidade 1
Probabilidade ESQUEMA DO CAPÍTULO 2.1 ESPAÇOS AMOSTRAIS E EVENTOS 2.2 INTERPRETAÇÕES DE PROBABILIADE 2.3 REGRAS DE ADIÇÃO 2.4 PROBABILIDADE CONDICIONAL 2.5 REGRAS DA MULTIPLICAÇÃO E DA PROBABILIDADE TOTAL
Leia maisIntrodução a Probabilidade
Introdução a Probabilidade Universidade Estadual de Santa Cruz Ivan Bezerra Allaman Cronograma 1. Origem e história 2. Introdução 3. Definições básicas 4. Conceituação de probabilidade 5. Probabilidade
Leia maisAula 6 Revisão de análise combinatória
Aula 6 Revisão de análise combinatória Conforme você verá na próxima aula, a definição clássica de probabilidade exige que saibamos contar o número de elementos de um conjunto. Em algumas situações, é
Leia maisAULA 4 -Probabilidade Condicional e Regra de Bayes
AULA 4 - e Regra de Bayes Susan Schommer Introdução à Estatística Econômica - IE/UFRJ : exemplos A soma dos resultados de dois lançamentos de um dado é 9. Qual a probabilidade do primeiro resultado ter
Leia maisNOÇÕES DE PROBABILIDADE
NOÇÕES DE PROBABILIDADE ALEATORIEDADE Menino ou Menina me? CARA OU COROA? 3 Qual será o rendimento da Caderneta de Poupança no final deste ano? E qual será a taxa de inflação acumulada em 014? Quem será
Leia maisAula 4. NOÇÕES DE PROBABILIDADE
Aula 4. NOÇÕES DE PROBABILIDADE ? CARA? OU? COROA? ? Qual será o rendimento da Caderneta de Poupança até o final deste ano??? E qual será a taxa de inflação acumulada em 013???? Quem será o próximo prefeito
Leia maisIntrodução à Probabilidade - parte III
Introdução à Probabilidade - parte III Erica Castilho Rodrigues 02 de Outubro de 2012 Eventos Independentes 3 Eventos Independentes Independência Em alguns casos podemos ter que P(A B) = P(A). O conhecimento
Leia maisINTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Foto extraída em http://www.alea.pt Profª Maria Eliane Universidade Estadual de Santa Cruz USO DE PROBABILIDADES EM SITUAÇÕES DO COTIDIANO Escolhas pessoais Previsão do tempo
Leia maisProcessos Estocásticos. Luiz Affonso Guedes
Processos Estocásticos Luiz Affonso Guedes Sumário Probabilidade Variáveis Aleatórias Funções de Uma Variável Aleatória Funções de Várias Variáveis Aleatórias Momentos e Estatística Condicional Teorema
Leia maisAdição de probabilidades. O número de elementos da união dos conjuntos A e B n(aub) = n(a B) Dividindo os dois membros por n(e):
Adição de probabilidades O número de elementos da união dos conjuntos A e B n(aub) = n(a B) Dividindo os dois membros por n(e): Dois eventos A e B são ditos mutuamente exclusivos se, e somente se, A B
Leia maisNOÇÕES DE PROBABILIDADE
NOÇÕES DE PROBABILIDADE Qual a razão para esta mudança? (isto é, para passarmos de Análise Descritiva para Cálculo de Probabilidades?) ALEATORIEDADE Menino ou Menina me? 3 CARA? OU COROA? 4 ? Qual será
Leia maisProbabilidade e Estatística
Probabilidade e Estatística Aula 4 Probabilidade: Conceitos Básicos Leituras: Obrigatória: Devore, Capítulo 2 Complementar: Bertsekas e Tsitsiklis, Capítulo 1 Cap 4-1 Objetivos Nesta aula, aprenderemos:
Leia maisCap. II EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS E EVENTOS NÃO- EXCLUSIVOS
Cap. II EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS E EVENTOS NÃO- EXCLUSIVOS Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos, ou disjuntos, se os mesmos não podem ocorrer simultaneamente. Isto é, a ocorrência de um
Leia maisConceitos básicos de teoria da probabilidade
Conceitos básicos de teoria da probabilidade Experimento Aleatório: procedimento que, ao ser repetido sob as mesmas condições, pode fornecer resultados diferentes Exemplos:. Resultado no lançamento de
Leia mais2. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
2. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE 2019 Conceitos básicos Experimento aleatório ou fenômeno aleatório Situações ou acontecimentos cujos resultados não podem ser previstos com certeza. Um experimento ou fenônemo
Leia maisConsidere uma probabilidade P definida em um espaço amostral Ω. Dois eventos A e B são independentes se
Independência Considere uma probabilidade P definida em um espaço amostral Ω. Dois eventos A e B são independentes se P(A B) = P(A)P(B). Independência é o oposto de mutuamente exclusivos (disjuntos)! Os
Leia maisELEMENTOS DE PROBABILIDADE. Prof. Paulo Rafael Bösing 25/11/2015
ELEMENTOS DE PROBABILIDADE Prof. Paulo Rafael Bösing 25/11/2015 ELEMENTOS DE PROBABILIDADE Def.: Um experimento é dito aleatório quando o seu resultado não for previsível antes de sua realização, ou seja,
Leia maisAULA 5 - Independência, Combinatória e
AULA 5 - Independência, Combinatória e permutações Susan Schommer Introdução à Estatística Econômica - IE/UFRJ Independência Um importante caso particular da probabilidade condicional surge quando a ocorrˆncia
Leia maisPROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PROBABILIDADES
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PROBABILIDADES Bruno Baierle Maurício Furigo Prof.ª Sheila Regina Oro (orientadora) Edital 06/2013 - Produção de Recursos Educacionais Digitais Revisando - Análise combinatória
Leia maisTeoria das Probabilidades
Teoria das Prof. Eduardo Bezerra (CEFET/RJ) 23 de fevereiro de 2018 Eduardo Bezerra (CEFET/RJ) Teoria das 2018.1 1 / 54 Roteiro Experimento aleatório, espaço amostral, evento 1 Experimento aleatório, espaço
Leia maisProbabilidade Aula 01
0303200 Probabilidade Aula 01 Magno T. M. Silva Escola Politécnica da USP Março de 2017 Sumário Apresentação do curso e motivação Probabilidade 2.1 Espaços amostrais e eventos 2.2 Axiomas, interpretações
Leia maisProcessos Estocásticos. Introdução. Probabilidade. Introdução. Espaço Amostral. Luiz Affonso Guedes. Fenômenos Determinísticos
Processos Estocásticos Luiz ffonso Guedes Sumário Probabilidade Variáveis leatórias Funções de Uma Variável leatória Funções de Várias Variáveis leatórias Momentos e Estatística Condicional Teorema do
Leia maisEstatística aplicada a ensaios clínicos
Estatística aplicada a ensaios clínicos RAL - 5838 Luís Vicente Garcia lvgarcia@fmrp.usp.br Faculdade de Medicina de Ribeirão Preto Estatística aplicada a ensaios clínicos aula 5 PROBABILIDADE Objetivo
Leia maisEstatística e Modelos Probabilísticos - COE241
Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aulas passadas Espaço Amostral Álgebra de Eventos Axiomas de Probabilidade Análise Aula de hoje Probabilidade Condicional Independência de Eventos Teorema
Leia maisREGRAS PARA CÁLCULO DE PROBABILIDADES
REGRAS PARA CÁLCULO DE PROBABILIDADES Prof. Dr. Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ 15 de abril de 2019 Londrina 1 / 17 As probabilidades sempre se referem a ocorrência de eventos
Leia maisProbabilidades. Palavras como
Probabilidades Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Engenharia e Gestão Industrial 1 Introdução Palavras como provável probabilidade acaso sorte pertencem ao vocabulário corrente
Leia mais2. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
2. INTRODUÇÃO À PROILIDDE 2011 Conceitos básicos Experimento aleatório ou fenômeno aleatório Situações ou acontecimentos cujos resultados não podem ser previstos com certeza. Um experimento ou fenônemo
Leia maisProbabilidade - 7/7/2018. Prof. Walter Tadeu
Probabilidade - 7/7/018 Prof. Walter Tadeu www.professorwaltertadeu.mat.br Espaço Amostral (): conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplos: 1. Lançamento de um dado.
Leia maisProf.Letícia Garcia Polac. 26 de setembro de 2017
Bioestatística Prof.Letícia Garcia Polac Universidade Federal de Uberlândia UFU-MG 26 de setembro de 2017 Sumário 1 2 Probabilidade Condicional e Independência Introdução Neste capítulo serão abordados
Leia maisTécnicas de Contagem I II III IV V VI
Técnicas de Contagem Exemplo Para a Copa do Mundo 24 países são divididos em seis grupos, com 4 países cada um. Supondo que a escolha do grupo de cada país é feita ao acaso, calcular a probabilidade de
Leia maisNOÇÕES DE PROBABILIDADE
NOÇÕES DE PROBABILIDADE Experimento Aleatório Experimento Aleatório: procedimento que, ao ser repetido sob as mesmas condições, pode fornecer resultados diferentes Exemplos:. Resultado no lançamento de
Leia maisPROBABILIDADE. Aula 2 Probabilidade Básica. Fernando Arbache
PROBABILIDADE Aula 2 Probabilidade Básica Fernando Arbache Probabilidade Medida da incerteza associada aos resultados do experimento aleatório Deve fornecer a informação de quão verossímil é a ocorrência
Leia mais2. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
2. INTRODUÇÃO À ROILIDDE 2014 Conceitos básicos Experimento aleatório ou fenômeno aleatório Situações ou acontecimentos cujos resultados não podem ser previstos com certeza. Um experimento ou fenônemo
Leia mais3 NOÇÕES DE PROBABILIDADE
3 NOÇÕES DE PROILIDDE 3.1 Conjuntos Um conjunto pode ser considerado como uma coleção de objetos chamados elementos do conjunto. Em geral denota-se conjunto por letras maiúsculas,, C,... e a sua representação
Leia maisSumário. 2 Índice Remissivo 12
i Sumário 1 Definições Básicas 1 1.1 Fundamentos de Probabilidade............................. 1 1.2 Noções de Probabilidade................................ 3 1.3 Espaços Amostrais Finitos...............................
Leia maisNOÇÕES DE PROBABILIDADE
NOÇÕES DE PROBABILIDADE ? CARA? OU? COROA? 2 ? Qual será o rendimento da Caderneta de Poupança até o final deste ano??? E qual será a taxa de inflação acumulada em 2011???? Quem será o próximo prefeito
Leia maisTeoria das Probabilidades
08/06/07 Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Estatística Aplicada I Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica Universidade Federal do Pará Instituto
Leia maisAula de Exercícios - Teorema de Bayes
Aula de Exercícios - Teorema de Bayes Organização: Rafael Tovar Digitação: Guilherme Ludwig Primeiro Exemplo - Estagiários Três pessoas serão selecionadas aleatóriamente de um grupo de dez estagiários
Leia maisPROBABILIDADE E ESTATÍSTICA. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br Aula 5 09/2014 Probabilidade Espaços Amostrais e Eventos Probabilidade e Estatística 3/41 Experimentos Aleatórios Experimento
Leia maisTeoria das Probabilidades
Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Estatística Aplicada I Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das
Leia maisProbabilidade Condicional. Prof.: Ademilson
Probabilidade Condicional Prof.: Ademilson Operações com eventos Apresentam-se abaixo algumas propriedades decorrentes de complementação, união e interseção de eventos, úteis no estudo de probabilidade.
Leia maisProbabilidade - aula II
2012/02 1 Interpretações de Probabilidade 2 3 Amostras Aleatórias e Objetivos Ao final deste capítulo você deve ser capaz de: Calcular probabilidades de eventos conjuntos. Interpretar e calcular probabilidades
Leia mais2 Conceitos Básicos de Probabilidade
CE003 1 1 Introdução No capítulo anterior, foram mostrados alguns conceitos relacionados à estatística descritiva. Neste capítulo apresentamos a base teórica para o desenvolvimento de técnicas estatísticas
Leia maisTeoria das Probabilidades
Capítulo 2 Teoria das Probabilidades 2.1 Introdução No capítulo anterior, foram mostrados alguns conceitos relacionados à estatística descritiva. Neste capítulo apresentamos a base teórica para o desenvolvimento
Leia mais2 a Lista de PE Solução
Universidade de Brasília Departamento de Estatística 2 a Lista de PE Solução 1. a Ω {(d 1, d 2, m : d 1, d 2 {1,..., 6}, m {C, K}}, onde C coroa e K cara. b Ω {0, 1, 2,...} c Ω {(c 1, c 2, c 3, c 4 : c
Leia maisTE802 Processos Estocásticos em Engenharia. Informação sobre a disciplina Notes. Processos Estocásticos em Engenharia Conteúdo Notes.
TE802 Processos Estocásticos em Engenharia Conceitos Básicos de Teoria de Probabilidade 7 de março de 2016 Informação sobre a disciplina Terças e Quintas feiras das 09:30 às 11:20 horas Professor: Evelio
Leia maisEstatística Empresarial. Fundamentos de Probabilidade
Fundamentos de Probabilidade A probabilidade de chuva é de 90% A probabilidade de eu sair é de 5% Conceitos Básicos Conceitos Básicos 1. Experiência Aleatória (E) Processo de obtenção de uma observação
Leia maisProbabilidade. Prof. Paulo Cesar F. de Oliveira, BSc, PhD
Prof. Paulo Cesar F. de Oliveira, BSc, PhD 1 Seção 3.1 Conceitos básicos de probabilidade 2 ² Experimento de ² Uma ação, ou tentativa, por meio do qual resultados específicos (i.e. contagens, medições
Leia maisEstatística e Modelos Probabilísticos - COE241
Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aulas passadas Espaço Amostral Álgebra de Eventos Axiomas de Probabilidade Análise Combinatória Aula de hoje Probabilidade Condicional Independência de Eventos
Leia maisProbabilidade - aula II
25 de Março de 2014 Interpretações de Probabilidade Amostras Aleatórias e Objetivos Ao final deste capítulo você deve ser capaz de: Calcular probabilidades de eventos conjuntos. Interpretar e calcular
Leia maisEstatística e Modelos Probabilísticos - COE241
Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aula passada Probabilidade Análise Combinatória Independência de eventos Aula de hoje Independência de eventos Prob. Condicional Teorema da Probabilidade
Leia maisEXPERIMENTOS ALEATÓRIOS E ESPAÇOS AMOSTRAIS.
EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS E ESPAÇOS AMOSTRAIS. 1. Experimento: Método científico de observação de um fenômeno sujeito ao acaso, ou seja, dependendo de fatores aleatórios (incertos). Assim, experimento aleatório
Leia maisEscola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Departamento de Ciências Exatas. Probabilidades. Cristian Villegas
Probabilidades Cristian Villegas clobos@usp.br Setembro de 2013 Apostila de Estatística (Cristian Villegas) 1 Introdução Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Departamento de Ciências Exatas
Leia maisTipos de Modelo. Exemplos. Modelo determinístico. Causas. Efeito. Exemplos. Modelo probabilístico. Causas. Efeito. Determinístico.
Tipos de Modelo Sistema Real Determinístico Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~viali/ Probabilístico Modelo determinístico Exemplos Gravitação F GM 1 M 2 /r 2 Causas Efeito
Leia maisAULA 08 Probabilidade
Cursinho Pré-Vestibular da UFSCar São Carlos Matemática Professora Elvira e Monitores Ana Carolina e Bruno AULA 08 Conceitos e assuntos envolvidos: Espaço amostral Evento Combinação de eventos Espaço Amostral
Leia maisEisencraft e Loiola 2.1 Probabilidade 37. Para resolver problemas de probabilidades são necessários 3 passos:
Eisencraft e Loiola 2.1 Probabilidade 37 Modelo matemático de experimentos Para resolver problemas de probabilidades são necessários 3 passos: a Estabelecimento do espaço das amostras b Definição dos eventos
Leia maisEXPERIMENTO ALEATÓRIO : Experimento que pode fornecer diferentes resultados, embora seja repetido toda vez da mesma maneira.
EXPERIMENTO ALEATÓRIO : Experimento que pode fornecer diferentes resultados, embora seja repetido toda vez da mesma maneira. ESPAÇO AMOSTRAL : O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento
Leia maisTE802 Processos Estocásticos em Engenharia. Informação sobre a disciplina. TE802 Conceitos Básicos de Teoria de Probabilidade. Evelio M. G.
TE802 Processos Estocásticos em Engenharia Conceitos Básicos de Teoria de Probabilidade 23 de agosto de 2017 Informação sobre a disciplina Segundas e Quartas feiras das 09:30 às 11:20 horas Professor:
Leia maisProbabilidade Básica. Capítulo 1 EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS ESPAÇOS AMOSTRAIS
Capítulo 1 Probabilidade Básica EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS Todos estão familiarizados com a importância dos experimentos na ciência e na engenharia. A experimentação é útil porque podemos presumir que, se
Leia maisProcessos Estocásticos
Processos Estocásticos Primeira Lista de Exercícios de junho de 0 Quantos códigos de quatro letras podem ser construídos usando-se as letras a, b, c, d, e, f se: a nenhuma letra puder ser repetida? b qualquer
Leia mais? CARA? OU? COROA? 2
NOÇÕES DE PROBABILIDADE ? CARA? OU? COROA? 2 ?Q Qual será o rendimento da Caderneta de Poupança até o final deste ano??? E qual será a taxa de inflação acumulada em 2011???? Quem será o próximo prefeito
Leia maisProbabilidade em espaços discretos. Prof.: Joni Fusinato
Probabilidade em espaços discretos Prof.: Joni Fusinato joni.fusinato@ifsc.edu.br jfusinato@gmail.com Probabilidade em espaços discretos Definições de Probabilidade Experimento Espaço Amostral Evento Probabilidade
Leia maisProbabilidades. Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu. Gestão de Empresas Contabilidade e Administração
Probabilidades Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Gestão de Empresas Contabilidade e Administração Introdução Ao comprar acções, um investidor sabe que o ganho que vai obter
Leia maisPROBABILIDADES E INTRODUÇÃO A PROCESSOS ESTOCÁSTICOS. Aula 2 07 e 08 março MOQ-12 Probabilidades e Int. a Processos Estocásticos
PROBABILIDADES E INTRODUÇÃO A PROCESSOS ESTOCÁSTICOS Aula 2 07 e 08 março 2007 1 1. Probabilidade Condicional 2. Propriedades 3. Partições 4. Teorema de Probabilidade Total 5. Teorema de Bayes 6. Independencia
Leia maisPrincípios de contagem
Princípios de contagem (1 Princípio Aditivo: Queremos comprar um computador de um dos dois fabricantes mais comuns de processadores: Intel e AMD. Suponha também que nosso orçamento nos faz ter 12 opções
Leia maisEstatística e Modelos Probabilísticos - COE241
Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aulas passadas Motivação Espaço Amostral, Eventos, Álgebra de eventos Aula de hoje Probabilidade Análise Combinatória Independência Probabilidade Experimentos
Leia maisCOMBINATÓRIA ELEMENTAR BASEADO EM TOWNSEND (1987), CAP. 2
COMBINATÓRIA ELEMENTAR BASEADO EM TOWNSEND (1987), CAP. 2 Newton José Vieira 23 de setembro de 2007 Matemática Discreta Capítulo 2 SUMÁRIO Problemas Básicos de Combinatória As Regras da Soma e do Produto
Leia maisVariáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidade
Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades - parte III 08 de Abril de 2014 Distribuição Binomial Negativa Objetivos Ao final deste capítulo você deve ser capaz de: Ententer suposições
Leia maisCAPÍTULO 3 PROBABILIDADE
CAPÍTULO 3 PROBABILIDADE 1. Conceitos 1.1 Experimento determinístico Um experimento se diz determinístico quando repetido em mesmas condições conduz a resultados idênticos. Exemplo 1: De uma urna que contém
Leia maisAula de hoje Aula passada
Aula 2 Aula passada Logística, programação, regras do jogo Três problemas Monte Carlo to the rescue História das origens Monte Carlo na Computação Aula de hoje Espaço amostral Probabilidade Eventos Independência
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Departamento de Estatística. Probabilidade
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Departamento de Estatística Probabilidade Disciplina: Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof. Tarciana Liberal Existem muitas situações que envolvem incertezas:
Leia maisRoteiro D. Nome do aluno: Número: Revisão. Combinações;
Faculdade Tecnológica de Carapicuíba Tecnologia em Logística Ênfase em Transportes Roteiro D Nome do aluno: Número: Periodo: Grupo: Revisão Tópicos Tarefa Pesquisar história do Fatorial e outros tipos
Leia maisIntrodução à Estatística. Segundo Semestre/2018
Introdução à Estatística Segundo Semestre/2018 Probabilidade Sua origem está relacionada a jogos de azar; Exemplo: Jogo de dados; Retirar uma carta de um baralho; Lançar uma moeda;... Probabilidade Normalmente
Leia maisPrincípios de Bioestatística
Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Estatística Princípios de Bioestatística Aula 5 Introdução à Probabilidade Nosso dia-a-dia está cheio de incertezas Vai
Leia maisTeoria da Probabilidade
Teoria da Probabilidade Luis Henrique Assumpção Lolis 14 de fevereiro de 2014 Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 1 Conteúdo 1 O Experimento Aleatório 2 Espaço de amostras 3 Álgebra dos
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA PRODUTO DA DISSERTAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA PRODUTO DA DISSERTAÇÃO O JOGO DE PÔQUER: UMA SITUAÇÃO REAL PARA DAR SENTIDO AOS CONCEITOS
Leia maisNOTAS DA AULA REVISÃO SOBRE FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADE. Prof.: Idemauro Antonio Rodrigues de Lara
1 NOTAS DA AULA REVISÃO SOBRE FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADE Prof.: Idemauro Antonio Rodrigues de Lara 2 Experimentos aleatórios Definição 1. Experimentos aleatórios são experimentos que quando executados
Leia maisProbabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba
Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 1 / 56 Introdução É provável que você ganhe um aumento....
Leia maisNoções sobre Probabilidade
Noções sobre Probabilidade Introdução Vimos anteriormente como apresentar dados em tabelas e gráficos, e também como calcular medidas que descrevem características específicas destes dados. Mas além de
Leia mais2. Nas Figuras 1a a 1d, assinale a área correspondente ao evento indicado na legenda. Figura 1: Exercício 2
GET00189 Probabilidade I Lista de exercícios - Capítulo 1 Profa. Ana Maria Lima de Farias SEÇÃO 1.1 Experimento aleatório, espaço amostral e evento 1. Lançam-se três moedas. Enumere o espaço amostral e
Leia mais03/07/2014. Noções de Probabilidade
Número de Caras 03/07/2014 Unidade 3 : Noções de Probabilidade As origens da probabilidade remontam ao século XVI, a partir do estudo sobre jogos de azar. As pessoas queriam entender a lei desses jogos.
Leia maisProbabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 04/14 1 / 20
Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 04/14 1 / 20 Alguns Conceitos Básicos de Contagem As ideias de contagem se relacionam com
Leia maisT o e r o ia a da P oba ba i b lida d de
Teoria da Probabilidade Prof. Joni Fusinato Teoria da Probabilidade Consiste em utilizar a intuição humana para estudar os fenômenos do nosso cotidiano. Usa o princípio básico do aprendizado humano que
Leia maisNotas de Aula. Estatística Elementar. by Mario F. Triola. Tradução: Denis Santos
Notas de Aula Estatística Elementar 10ª Edição by Mario F. Triola Tradução: Denis Santos Slide 1 4-1 Visão Geral 4-2 Fundamentos 4-3 Regra da Adição Capítulo 4 Probabilidade 4-4 Regra da Multiplicação:
Leia maisCOMBINATÓRIA ELEMENTAR BASEADO EM TOWNSEND (1987), CAP. 2 O QUE É COMBINATÓRIA
Matemática Discreta Capítulo 2 SUMÁRIO COMBINATÓRIA ELEMENTAR BASEADO EM TOWNSEND (1987), CAP. 2 Newton José Vieira 23 de setembro de 2007 Problemas Básicos de Combinatória As Regras da Soma e do Produto
Leia maisMétodos Estatísticos Básicos
Aula 8 - Análise combinatória Departamento de Economia Universidade Federal de Pelotas (UFPel) Maio de 2014 Número de elementos do espaço amostral A denição clássica de probabilidade requer que saibamos
Leia maisMATEMÁTICA MÓDULO 4 PROBABILIDADE
PROBABILIDADE Consideremos um experimento com resultados imprevisíveis e mutuamente exclusivos, ou seja, cada repetição desse experimento é impossível prever com certeza qual o resultado que será obtido,
Leia maisMétodos Quantitativos para Ciência da Computação Experimental. Jussara Almeida DCC-UFMG 2013
Métodos Quantitativos para Ciência da Computação Experimental Jussara Almeida DCC-UFMG 2013 Revisão de Probabilidade e Estatística Concentrado em estatística aplicada Estatística apropriada para medições
Leia maisUniversidade Federal do Paraná UFPR. CE084 Probabilidade A. Prof. Sonia Isoldi Marty Gama Müller LISTA DE EXERCÍCIOS 02
Universidade Federal do Paraná UFPR CE084 Probabilidade A Prof. Sonia Isoldi Marty Gama Müller LISTA DE EXERCÍCIOS 02 EXERCÍCIO 1. Forneça uma descrição razoável para o espaço amostral S de cada um dos
Leia maisCapítulo 3 Probabilidade Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Capítulo 3 Probabilidade slide 1 Descrição do capítulo 3.1 Conceitos básicos de probabilidade 3.2 Probabilidade condicional e a regra da multiplicação 3.3 A regra da adição 3.4 Tópicos adicionais sobre
Leia maisESTATÍSTICA I PROBABILIDADE. Aulas 3 e 4 Professor Regina Meyer Branski
ESTATÍSTICA I PROBABILIDADE Aulas 3 e 4 Professor Regina Meyer Branski Probabilidade 1. Conceitos básicos de probabilidade 2. Probabilidade Condicional 3. Eventos Dependentes e Independentes 4. Regra da
Leia maisCap. 8 - Variáveis Aleatórias
Variáveis Aleatórias Discretas: A de Poisson e Outras ESQUEMA DO CAPÍTULO 8.1 A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 8.2 A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON COMO APROXIMAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 8.3 O PROCESSO DE POISSON
Leia maisPrincípio da inclusão e exclusão: Alguns Exemplos de Uso do Princípio da Inclusão e Exclusão
Matemática Discreta Capítulo 5 SUMÁRIO PRINCÍPIO DA INCLUSÃO E EXCLUSÃO BASEADO EM TOWNSEND (1987), CAP. 5 Princípio da Inclusão e Exclusão Alguns Exemplos de Uso do Princípio da Inclusão e Exclusão Newton
Leia maisSumário. 2 Índice Remissivo 9
i Sumário 1 Teoria dos Conjuntos e Contagem 1 1.1 Teoria dos Conjuntos.................................. 1 1.1.1 Comparação entre conjuntos.......................... 2 1.1.2 União de conjuntos...............................
Leia mais