Princípio da inclusão e exclusão: Alguns Exemplos de Uso do Princípio da Inclusão e Exclusão

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1 Matemática Discreta Capítulo 5 SUMÁRIO PRINCÍPIO DA INCLUSÃO E EXCLUSÃO BASEADO EM TOWNSEND (1987), CAP. 5 Princípio da Inclusão e Exclusão Alguns Exemplos de Uso do Princípio da Inclusão e Exclusão Newton José Vieira 19 de novembro de Princípio da inclusão e exclusão para 2 conjuntos Notação: N(A): número de elementos do conjunto A. Princípio da inclusão e exclusão: PRINCÍPIO DA INCLUSÃO E EXCLUSÃO N(A B) = N(A) + N(B) N(A B). 3

2 Um exemplo Princípio da inclusão e exclusão para 3 conjuntos Número de maneiras de selecionar um ás ou uma carta vermelha de um baralho convencional: A: conjunto dos ases; V : conjunto das cartas vermelhas; a solução é N(A V ). Pelo princípio da inclusão e exclusão, N(A V )= N(A)+N(V ) N(A V ) = = 28. N(A B C) = N(A) + N(B) + N(C) N(A B) N(A C) N(B C) +N(A B C). Uma identidade importante: N(A 1 A n ) = N(U) N(A 1 A n ). U é o conjunto universo. 4 5 Um exemplo Notação Número de sequências ternárias de n dígitos com no mínimo um 0, um 1 e um 2: (para i = 0,1,2) S i : conjunto das sequências sem o dígito i; a solução é N(S 0 S 1 S 2 ) = N(U) N(S 0 S 1 S 2 ). N(U) = 3 n, N(S i ) = 2 n para i = 0,1,2, N(S i S j ) = 1 para i j, N(S 0 S 1 S 2 ) = 0, N(U) N(S 0 S 1 S 2 ) = 3 n (3.2 n ) = 3 n 3.2 n + 3. Sejam: S 1 = n i=1 N(A i ) S 2 = i j N(A i A j ). S k = i 1 i 2 =i k N(A i1 A i2... A ik ). S n = N(A 1 A 2... A n ) S k tem C(n,k) termos 6 7

3 Princípio da inclusão e exclusão/geral Princípio da inclusão e exclusão: N( n i=1 A i ) = S 1 S ( 1) i+1 S i + + ( 1) n+1 S n Prova: Se um elemento ocorre em exatamente r dos A i s, então ele é contado C(r,1) C(r,2) + C(r,3) + ( 1) r+1 C(r,r) vezes. Isto é o mesmo que 1 r k=0 C(r,k)( 1) k. Pelo Teorema Binomial, isto dá 1 (1 1) r = 1. ALGUNS EXEMPLOS DE USO DO PRINCÍPIO DA INCLUSÃO E EXCLUSÃO 8 Exemplo (continuação) Número de mãos de 13 cartas que não contêm nenhuma carta de algum naipe: A o : conjunto das mãos sem ouros; A c : conjunto das mãos sem copas; A e : conjunto das mãos sem espadas; A p : conjunto das mãos sem paus; a solução é N(A o A c A e A p ). Pelo princípio da inclusão e exclusão, Como N(A o A c A e A p ) = S 1 S 2 + S 3 S 4. S 1 = C(4,1)C(39,13), S 2 = C(4,2)C(26,13), S 3 = C(4,3)C(13,13), S 4 = C(4,4)0, N(A o A c A e A p ) = 4C(39,13) 6C(26,13)

4 Número de arranjos dos dígitos 0 a 9 que contêm pelo menos uma das sequências 289, 234 ou 487: A 289 : conjunto dos arranjos com 289, etc.; a solução é N(A 289 A 234 A 487 ). N(A 289 ) = N(A 234 ) = N(A 487 ) = 8!, N(A 289 A 234 ) = 0, N(A 289 A 487 ) = 0, N(A 234 A 487 ) = 6!, N(A 289 A 234 A 487 ) = 0, N(A 289 A 234 A 487 ) = 3.8! 6! Número de distribuições de r bolas distintas em n caixas distintas, sem que nenhuma caixa fique vazia (r n). (para i = 1,2,...,n) V i : conjunto de distribuições com a caixa i vazia; a solução é N( V 1 V 2 V n ), ou seja, N(U) N(V 1 V 2 V n ). N(U) = n r, N(S k ) = C(n,k)(n k) r para k = 1,2,...,n, N(U) N( n i=1 V i ) = n r n k=1 ( 1) k+1 C(n,k)(n k) r = n k=0 ( 1) k C(n,k)(n k) r Exemplo (continuação) (O problema dos dados de Galileu) Número de soluções para x 1 + x 2 + x 3 = 10, com 1 x i 6: o mesmo que o número de soluções para x 1 + x 2 + x 3 = 7, com 0 x i 5. A 1 : conjunto de soluções com x 1 6, x 2 0, x 3 0; (ou seja, conjunto de soluções para x 1 + x 2 + x 3 = 1, com x i 0) A 2 : conjunto de soluções com x 1 0, x 2 6, x 3 0; A 3 : conjunto de soluções com x 1 0, x 2 0, x 3 6; U: conjunto de soluções com x 1 0, x 2 0, x 3 0; a solução é N(Ā 1 Ā 2 Ā 3 ), ou seja, N(U) N(A 1 A 2 A 3 ). N(U) = C( ,7), N(A i ) = C( ,1) para i = 1,2,3, N(A 1 A 2 ) = N(A 1 A 3 ) = N(A 2 A 3 ) = 0, N(U) N(A 1 A 2 A 3 ) = C(9,7) 3C(3,1) = 36 9 =

5 Permutações caóticas (continuação) (O problema das permutações caóticas) Número de permutações do conjunto {x 1,x 2,...,x n }, em que nenhum x i fique na i-ésima posição: A i : conjunto das permutações com x i na i-ésima posição, para i = 1,2,...,n; U: conjunto de todas as permutações; a solução é N(Ā 1 Ā 2 A n ), ou seja, N(U) N(A 1 A 2 A n ). N(U) = n!, S k = C(n,k)N(A i1 A i2 A ik ) para k = 1,2,...,n, e N(A i1 A i2 A ik ) = (n k)! D n = N(U) N( n i=1 A i ) = n! n k=1 ( 1) k+1 C(n,k)(n k)! = n!( 2! 1 3! 1 ( 1)n + + n! ) Permutações caóticas (continuação) Permutações caóticas (continuação) Observações: e x = 1 + x + x 2 /2! + x 3 /3! + (convergência rápida) Logo, D n e 1 n!. Probabilidade de se encontrar uma permutação caótica a partir da geração aleatória de uma permutação: D n /n! e 1 0,37. n e 1 n! D n

6 Matemática Discreta Capítulo 5 FIM 20