4. COMBINATÓRIA BÁSICA. Combinatória: ramo da matemática que trata de arranjos de objetos (configurações satisfazendo propriedades específicas).

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1 4. COMBINATÓRIA BÁSICA Introdução Regra da soma e do produto 1o. modelo de contagem: amostragem 2o. modelo de contagem: distriuição 3o. modelo de contagem: equação Exemplos e aplicações Partições Identidades cominatórias Cominatória ásica Introdução INTRODUÇÃO Cominatória: ramo da matemática que trata de arranjos de ojetos (configurações satisfazendo propriedades específicas. Prolemas relacionados a arranjos de ojetos: existência construção enumeração contagem arte de contar sem contar otimização verificação de propriedades Cominatória ásica Introdução Cominatória ásica Introdução Exemplo 4.1 Exemplos de prolemas cominatórios: Quantas possiilidades existem para escolha de uma senha válida (password em certo sistema de computação? Qual é a proailidade de se acertar a sena na megasena? E a quina? E a quadra? É possível dispor 4 casais em volta de uma mesa circular tal que não haja 2 homens, 2 mulheres ou um casal lado a lado? De quantas maneiras? Listar configurações. Quantas comparações um certo algoritmo de ordenação pode fazer, no máximo? Qual é o menor percurso entre duas cidades utilizando um certo sistema de transporte? Soma 5 no lançamento de dois dados distintos. Casos possíveis: (1,1 (1,2 (1,3 (1,4 (1,5 (1,6 (2,1 (2,2 (2,3 (2,4 (2,5 (2,6... (6,1 (6,2 (6,3 (6,4 (6,5 (6,6 Casos de interesse: (1,4 (2,3 (3,2 (4,1 Número de casos com soma 5: 4 queremos contar sem listar!

2 Cominatória ásica Regra da soma e do produto REGRA DA SOMA E DO PRODUTO Cominatória ásica Regra da soma e do produto Exemplo 4.2 Idéia: Dividir prolema de contagem em partes independentes. Regra da soma: A e B eventos disjuntos; A: p casos possíveis; B: q casos possíveis; evento A ou B: p + q casos possíveis. Regra do produto: Estudante X tem as seguintes opções de ida e volta da escola: a ida: 2 ônius ou 3 caronas até a escola; volta: 3 caronas até o centro e daí 2 ônius até a casa. Número de opções: a ida: N (regra da soma volta: N (regra do produto Evento C decomposto em etapas sucessivas A e B, resultados da composição todos distintos; A: p casos possíveis; B: q casos possíveis, independente de A. evento C: p q casos possíveis Cominatória ásica Regra da soma e do produto Exemplo 4.3 Cominatória ásica Regra da soma e do produto Exemplo 4.4 Número de maneiras de oter Q ou K de um aralho. evento A: um Q 4 maneiras evento B: um K 4 maneiras A ou B: maneiras. Número de maneiras de oter Q ou carta vermelha de um aralho. Solução 1: evento A: um Q 4 maneiras evento B: carta vermelha 26 maneiras A e B não disjuntos; número de elementos em A e B 2 Q ou carta vermelha: maneiras. compensação princípio de inclusão e exclusão Solução 2: evento A: um Q preto 2 maneiras evento B: carta vermelha 26 maneiras A e B disjuntos evento A ou B: maneiras. diferentes maneiras de resolver o mesmo prolema

3 Cominatória ásica Regra da soma e do produto Exemplo 4.5 Cominatória ásica Regra da soma e do produto Conjunto das cartas com figura de um aralho (J, Q, K; 4 naipes de cada. a seleção de um J e depois um K; seleção de um J e depois uma carta preta; c seleção de duas cartas com exatamente um J; d seleção de duas cartas com pelo menos um J. Conjunto das figuras de um aralho (J, Q, K; 4 naipes de cada. a seleção de um J e depois um K: N ( 4 1( Cominatória ásica Regra da soma e do produto Cominatória ásica Regra da soma e do produto Conjunto das figuras de um aralho (J, Q, K; 4 naipes de cada. seleção de um J e depois uma carta preta: Tentativa 1: (incorreta N ( 4 1( Conjunto das figuras de um aralho (J, Q, K; 4 naipes de cada. c seleção de duas cartas com exatamente um J: N ( 4 1( prolema: etapas dependentes: 1a. etapa: J vermelho 2a. etapa: 6 possiilidades de carta preta 1a. etapa: J preto 2a. etapa: 5 possiilidades de carta preta Solução correta: separar seleção de J vermelho e J preto; N ( 2 1( ( 2 1(

4 Cominatória ásica Regra da soma e do produto Cominatória ásica Regra da soma e do produto Exemplo 4.6 Conjunto das figuras de um aralho (J, Q, K; 4 naipes de cada. d seleção de duas cartas com pelo menos um J: Tentativa 1 (incorreta: N ( 4( (selecionar um J e das cartas restantes selecionar uma. prolema: repetição de resultados da composição: exemplo: J ouros J copas e J copas J ouros Solução correta: separar seleção de um J e de dois Js. N ( 4 1( ( 4 2( Solução alternativa: do total de seleções excluir as de nenhum J. N ( 12 ( Lançamento de dois dados distintos. 1 resultados possíveis: evento A: primeiro dado 6 casos evento B: segundo dado 6 casos eventos A e B: casos. 2 resultados sem repetição: evento A: primeiro dado 6 casos evento B: segundo dado primeiro dado 5 casos eventos A e B: casos. (eliminando repetições: casos Cominatória ásica Regra da soma e do produto Exemplo 4.7 Cominatória ásica Regra da soma e do produto Exemplo 4.8 Número de sequências inárias de n dígitos. dígito i: 2 possiilidades n dígitos: N n Número de inteiros de 3 dígitos divisíveis por 5. Solução 1: números divisíveis por 5: d 1 d 2 d 3 1 d 1 9, 0 d 2 9, d 3 0 ou 5 total de números: N Solução 2: números divisíveis por 5: resto(n, 5 0 contar quocientes ; ; total de números: N (

5 Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem 1o. MODELO DE CONTAGEM: AMOSTRAGEM Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem Amostras de r ojetos extraídas de um conjunto de n ojetos distintos. Aspectos a serem considerados: Ordem: sim/não Repetição: sim/não permutação (ou arranjo: ordem é importante. seleção (ou cominação: ordem não importa. amostras de 2 ojetos de {x 1, x 2, x 3 } (n 3, r 2 com repetição sem repetição x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 3 x 2 x 1 arranjo x 2 x 1 seqüência x 2 x 3 permutação (ordem importante x 2 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 3 x 2 x 3 x 1 x 3 x 2 x 3 x 3 {x 1, x 1 } {x 1, x 2 } {x 1, x 2 } {x 1, x 3 } seleção {x 1, x 3 } multiconjunto {x 2, x 3 } cominação (sem ordem {x 2, x 2 } {x 2, x 3 } {x 3, x 3 } Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem 1 Número de sequências de tamanho r: número de sequências n n... n n r 2 Número de permutações: P(n, n n(n n! P(n, r n(n 1... (n r + 1 n! (n r! r n Outra demonstração: processo para permutar n ojetos: permutar r primeiros e depois permutar (n-r restantes. no. permutações n ojetos no. permutações r primeiros no. permutações (n-r restantes P(n, n P(n, r P(n r, n r P(n, r P(n,n P(n r,n r n! (n r!

6 Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem 3 Número de cominações de tamanho r: ( n r C(n, r n! r n r!(n r! Demonstração: processo para permutar r ojetos dentre n ojetos: selecionar r ojetos e depois permutá-los. no. permutações r ojetos no. seleções r ojetos no. permutações dos r selecionados P(n, r C(n, r P(r, r C(n, r P(n,r P(r,r n! r!(n r! 4 Número de multiconjuntos (seleções com repetição de tamanho r: (( n ( r n 1+r (n 1+r! r C(n 1 + r, r r!(n 1! Demonstração: exemplo de seleção para n 3, r 4 ojetos: a,,c seleção: accc (1a, 0, 3c a c x//xxx 4 x, 2 / x xxx no. seleções no. posições para / (2 no. posições para x (4 ( 2+4 ( no. seleções no. posições para / (n-1 no. posições para x (r (( n ( r n 1+r ( n 1 n 1+r (n 1+r! r r!(n 1! Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem amostras de 2 ojetos de {x 1, x 2, x 3 } (n 3, r 2 Amostras de r ojetos extraídas de conjunto de n ojetos distintos com repetição sem repetição x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 3 x 2 x 1 arranjo x 2 x x 2 x 3 P(3, 2 6 (ordem importante x 2 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 3 x 2 x 3 x 1 x 3 x 2 x 3 x 3 {x 1, x 1 } {x 1, x 2 } {x 1, x 2 } {x 1, x 3 } seleção {x 1, x 3 } ( ( 3 ( {x2, x 3 } C(3, 2 3 (sem ordem {x 2, x 2 } {x 2, x 3 } {x 3, x 3 } arranjo (com ordem seleção (sem ordem com repetição sem repetição n r P(n, r n! (n r! (( n ( r n 1+r ( r C(n, r n r n! r!(n r!

7 Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem Exemplos Número de sequências de tamanho r: número de sequências n r Número de permutações: P(n, n n! P(n, r n! (n r! Número de cominações de tamanho r: ( n r C(n, r n! r!(n r! Número de multiconjuntos de tamanho r: (( n r ( n 1+r r ( n 1+r n 1 (n 1+r! r!(n 1! Número de resultados possíveis no lançamento de 3 dados: N Número de arranjos das cartas de um aralho: N 2 P(52, 52 52! 7, Número de mãos de 5 cartas, no aralho: N 3 ( Número de dominós: N 4 ( ( 7 ( ( 2 8 ( Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem Exemplo 4.9 Oservações: ( n ( r n n r n! 2πn ( n e n (Stirling Número de senhas de 4 dígitos decimais. sem repetição: N 1 P(10, 4 10! 6! 5040 com repetição: N

8 Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem Exemplo 4.10 Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem Permutação com ojetos idênticos Pôquer: proailidade de ocorrer um flush (5 cartas do mesmo naipe. p(flush no. flushes no. mãos de 5 cartas 4 C(13,5 0, C(52,5 Exemplo: número de permutações com as letras, a, n, a, n, a. Solução 1: 3 posições para a: N a C(6, posições para n: N n C(3, posição para : N C(1, 1 1 no. permutações N a N n N Solução 2: 1 posição para : N C(6, posições para a: N a C(5, posições para n: N n C(2, 2 1 no. permutações N N a N n Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem Permutação com ojetos idênticos Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem Permutação com ojetos idênticos n ojetos, r k do tipo k r 1 + r r m n P(n; r 1, r 2,..., r m C(n; ( ( r 1, r 2,..., r m ( n n r1 n r1 r 2... r m 1... r 1 n! r 2 r 1!r 2!... r m! n! P(n; r 1, r 2,..., r m r 1!r 2!... r m! r 1 + r r m n r m n! P(n; r 1, r 2,..., r m r 1 + r r m n r 1!r 2!... r m! Outra demonstração: processo para permutar n ojetos distintos: 1 considerar grupos de ojetos idênticos: permutar grupos; 2 considerar ojetos distintos nos grupos: permutar ojetos nos grupos. total de permutações no. permutações dos grupos no. permutações em cada grupo n! P(n; r 1, r 2,..., r m r 1!r 2!... r m! 155 P(n; r 1, r 2,..., r m n! r 1!r 2!...r m! 156

9 Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem Permutação com ojetos idênticos Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem Permutação com ojetos idênticos Exemplo: número de permutações com as letras, a, n, a, n, a. n ojetos, r k do tipo k r 1 + r r m n Solução 3: no. permutações P(6; 3, 2, 1 6! 3!2!1! 60 P(n; r 1, r 2,..., r m C(n; ( ( r 1, r 2,..., r m ( n n r1 n r1 r 2... r m 1... r 1 n! r 2 r 1!r 2!... r m! r m se m 2 então r 1 + r 2 n ( ( n n P(n; r 1, r 2 C(n; r 1, r 2 r 1 r 2 n! r 1!r Cominatória ásica 2o. modelo de contagem: distriuição 2o. MODELO DE CONTAGEM: DISTRIBUIÇÃO Cominatória ásica 2o. modelo de contagem: distriuição Distriuição de 2 olas em 3 caixas distintas Distriuição de r olas em n caixas distintas. Aspectos a serem considerados: olas distintas/idênticas ocupação: exclusiva: máximo de uma ola por caixa não exclusiva: qualquer número de olas por caixa olas distintas ocupação não exclusiva ocupação exclusiva olas idênticas

10 Cominatória ásica 2o. modelo de contagem: distriuição Cominatória ásica 2o. modelo de contagem: distriuição Distriuição de 2 olas em 3 caixas distintas 1. r olas distintas em n caixas (caixas distintas atriuição de número de 1 a n a cada ola no. maneiras n r 2. r olas distintas em n caixas, máximo de 1 ola por caixa escolha ordenada de r caixas para as olas no. maneiras P(n, r 3. r olas idênticas em n caixas seleção de r caixas com repetição no. maneiras (( n r 4. r olas idênticas em n caixas, máximo de 1 ola por caixa seleção de r caixas no. maneiras C(n, r ( n r olas distintas olas idênticas ocupação não exclusiva ocupação exclusiva ( ( P(3, 2 6 C(3, Cominatória ásica 2o. modelo de contagem: distriuição Exemplo 4.11 Cominatória ásica 3o. modelo de contagem: equação 3o. MODELO DE CONTAGEM: EQUAÇÃO Distriuição de r olas idênticas em n caixas, pelo menos uma ola em cada caixa. colocar uma ola em cada caixa e distriuir (r n restantes. no. maneiras ( ( n r n Exemplo: número de soluções inteiras para Solução por enumeração expĺıcita: x 1 x 2 x x 1 + x 2 + x 3 2 x i 0 Número de soluções 6 ( (

11 Cominatória ásica 3o. modelo de contagem: equação Cominatória ásica 3o. modelo de contagem: equação Seleção com repetição: equivalências Prolemas equivalentes: Número de soluções inteiras para x 1 + x x n r x i 0 Número de maneiras de distriuir r olas idênticas em n caixas distintas, com qualquer número de olas por caixa. Número de maneiras de selecionar r ojetos dentre n ojetos, com repetições permitidas. amostra de 2 ojetos distriuição de 2 olas idênticas no. de soluções inteiras de {x 1, x 2, x 3 } em 3 caixas distintas x 1 + x 2 + x 3 2, x i 0 x 1 x 2 x 3 x 1 x x 1 x x 1 x x 2 x x 2 x x 3 x Cominatória ásica 3o. modelo de contagem: equação Exemplo 4.12 Cominatória ásica 3o. modelo de contagem: equação Exemplo 4.13 Número de maneiras de distriuir 5 alas (idênticas a 3 crianças: a sem restrições; cada criança recee pelo menos uma ala. a x 1 + x 2 + x 3 5, x i 0 no. soluções ( ( dar uma ala a cada criança e distriuir o resto; x 1 + x 2 + x 3 ( , x i 0 Número de soluções inteiras para x 1 + x 2 + x 3 10, x i 2 y i x i 2 y i 0 (y (y (y y 1 + y 2 + y 3 ( y i 0 no. soluções ( ( no. soluções ( (

12 Cominatória ásica 3o. modelo de contagem: equação Exemplo 4.14 Cominatória ásica 3o. modelo de contagem: equação Exemplo 4.15 Número de soluções inteiras para x 1 + x 2 + x 3 + x 4 10, x i 0 Solução 1: no. total de soluções no. de soluções para: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 0 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 1. x 1 + x 2 + x 3 + x 4 10 Solução 2: no. total de soluções no. soluções para: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 10 x i 0 no. total de soluções ( ( 5 10 Número de soluções inteiras para 2x 1 + x 2 + x 3 4, x i 0 y 1 2x 1, y 2 x 2, y 3 x 3 y 1 + y 2 + y 3 4 y 1 0, 2, 4,..., y 2 0 y 3 0 a y 1 0 y 2 + y 3 4 y i 0 N 1 ( ( y 1 2 y 2 + y 3 2 y i 0 N 2 ( ( c y 1 4 y 2 + y 3 0 y i 0 N 3 ( ( no. soluções N 1 + N 2 + N Cominatória ásica 3o. modelo de contagem: equação Cominatória ásica Exemplos e aplicações EXEMPLOS E APLICAÇÕES Prolemas equivalentes: Número de maneiras de selecionar r ojetos dentre n ojetos, sem repetição. Número de maneiras de distriuir r olas idênticas em n caixas distintas, máximo de uma ola por caixa. Número de soluções inteiras para x 1 + x x n r x i 0, 1 Modelos de contagem amostragem distriuição equação Permutação (ou cominação com ojetos idênticos

13 Cominatória ásica Exemplos e aplicações Exemplo 4.16 Cominatória ásica Exemplos e aplicações Exemplo 4.17 Mega-sena: - números de 1 a 60; sorteio: 6 números; aposta simples: 6 números. - premiação: sena, quina, quadra (6, 5, 4 números sorteados. espaço amostral S: N(S ( 60 6 eventos de interesse em S: 6, 5 ou 4 números entre os sorteados. pro(sena 1 ( 60 6 pro(quina (6 5 ( ( 60 6 pro(quadra (6 4 ( ( 60 6 Jogo de pôquer: proailidade de se oter full house (uma trinca e um par. sequência de etapas independentes: - escolher carta da trinca - selecionar trinca - escolher carta do par - selecionar par pro(f ull house ( 13 ( 4 12 ( 4 1 3( 1 ( Cominatória ásica Exemplos e aplicações Exemplo 4.18 Cominatória ásica Exemplos e aplicações Exemplo 4.19 Número de maneiras de distriuir as 52 cartas do aralho entre 4 jogadores, se cada um recee 13 cartas. Solução 1: distriuição por etapas: primeiro, segundo, terceiro e quarto jogadores: no. maneiras ( 52( 39 ( 26 ( Solução 2: - alinhar cartas; - permutar 13 4 fichas com nomes dos jogadores: no. maneiras P(52; 13, 13, 13, 13 52! 13!13!13!13! Número de maneiras de alocar 100 parentes em 5 ministérios: a sem restrições; 20 parentes em cada ministério. alinhar parentes e atriuir ministério a cada um. a N maneiras. (permutar 20 5 fichas com nome do ministério N 2 P(100; 20, 20, 20, 20, ! (20! 5 maneiras

14 Cominatória ásica Exemplos e aplicações Exemplo 4.20 Cominatória ásica Exemplos e aplicações Exemplo 4.21 Número de arranjos das letras de JARDIM, com vogais em ordem alfaética. Estratégia: - seleção das posições das vogais: N 1 ( restrição de ordem para A e I: N arranjo das consoantes: N 3 P(4, 4 Número de arranjos das letras de JARDIM, com vogais consecutivas. Estratégia: - construção de supervogais AI e IA: N 1 P(2, 2 - arranjo das consoantes e uma supervogal : N 2 P(5, 5 N N 1 N N N 1 N 2 N Cominatória ásica Exemplos e aplicações Exemplo 4.22 Cominatória ásica Exemplos e aplicações Exemplo 4.23 Número de arranjos das letras de JARDIM, sem vogais consecutivas. - supor vogais idênticas e consoantes idênticas (V e C; - arranjar 2 V s e 4 C s sem V s consecutivos; - considerar vogais e consoantes distintas: permutar V s e C s. Alternativa 1: colocar V s, depois C s: V CV N ( ( 3 3 P(4, 4 P(2, Alternativa 2: colocar C s, depois V s: C C C C N ( 5 2 P(4, 4 P(2, Controle de qualidade: Uma firma produz 10 mil componentes de computador. Toma-se uma amostra de 100 componentes, e verifica-se que 5 estão defeituosos. Qual é a proailidade que isto ocorra se existem k componentes defeituosos? - espaço amostral: N(S C(10.000, evento: amostra com 5 ítens defeituosos; N(E C(k, 5C( k, 95 C(k, 5 C( k, 95 pro(amostra c/ 5 ítens defeituosos C(10.000,

15 Cominatória ásica Exemplos e aplicações Exemplo 4.24 Cominatória ásica Partições PARTIÇÕES Paradoxo de De Méré: 1. Proailidade de que 4 lançamentos de um dado produza pelo menos um Proailidade de que 24 lançamentos de um par de dados produza pelo menos um par de pro(no mínimo um , pro(no mínimo um par de , (De Méré achava que estas proailidades deveriam ser iguais, pois 4 corresponde a 2/3 das 6 possiilidades, e 24 corresponde a 2/3 das 36 possiilidades. Partição de um conjunto C em n suconjuntos: conjunto de n suconjuntos não vazios, disjuntos dois a dois, cuja união é C. Exemplo: C { 1, 2, 3, 4 } 3-partição: {{ 1, 2 }, { 3 }, { 4 }} Partição de um número inteiro positivo n: coleção não ordenada de inteiros positivos cuja soma é igual a n. Exemplo: partições do número 4: 4 3, 1 2, 2 2, 1, 1 1, 1, 1, Cominatória ásica Partições Exemplo 4.25 Cominatória ásica Partições Exemplo 4.26 Número de maneiras de oter r centavos com moedas de 1, 5, 10 e 25 centavos. Número de maneiras de particionar r em inteiros positivos distintos de valor máximo m. Solução 1: número de soluções para x 1 + x 2 + x 3 + x 4 r Solução 2: número de soluções para x 1 0, 1, 2,... x 2 0, 5, 10,... x 3 0, 10, 20,... x 1 0, 25, 50,... y 1 + 5y y y 4 r y 1, y 2, y 3, y 4 0 número de soluções para exemplo: r 4, m 4: x 1 + x x m r 4 3, 1 x i 0, i

16 Cominatória ásica Partições Exemplo 4.27 Cominatória ásica Partições Exemplo 4.28 Número de maneiras de particionar r em inteiros positivos de valor máximo m. Número de maneiras de particionar 4 em no máximo 3 inteiros positivos (partições de 4 em no máximo 3 partes. número de soluções para x 1 + x x m r x i 0, i, 2i, 3i,... exemplo: r 4, m 3: 3, 1 2, 2 2, 1, 1 1, 1, 1, 1 4 3, 1 2, 2 2, 1, Cominatória ásica Partições Cominatória ásica Partições (3,1 (2,2 partições de 4 em partes de tamanho 3 partições de 4 em no máximo 3 partes (2,1,1 (2,2 Prolemas equivalentes: Número de partições de r em no máximo m partes. Número de partições de r em inteiros positivos de valor máximo m. Número de soluções inteiras para x 1 + x x m r x i 0, i, 2i, 3i,... (2,1,1 (3,1 (1,1,1,1 (

17 Cominatória ásica Partições Exemplo 4.29 Cominatória ásica Partições Exemplo 4.30 Número de distriuições de 4 olas distintas em 3 caixas idênticas, com qualquer número de olas por caixa. no. partições de { 1, 2, 3, 4 } em no máximo 3 suconjuntos: { 1, 2, 3, 4 } { 1 }{ 2 }{ 3, 4 } { 1 }{ 2, 3, 4 } { 1 }{ 3 }{ 2, 4 } { 2 }{ 1, 3, 4 } { 1 }{ 4 }{ 2, 3 } { 3 }{ 1, 2, 4 } { 2 }{ 3 }{ 1, 4 } { 4 }{ 1, 2, 3 } { 2 }{ 4 }{ 1, 3 } { 1, 2 }{ 3, 4 } { 3 }{ 4 }{ 1, 2 } { 1, 3 }{ 2, 4 } { 1, 4 }{ 2, 3 } Número de distriuições de 4 olas idênticas em 3 caixas idênticas, com qualquer número de olas por caixa. número de partições do inteiro positivo 4 em no máximo 3 partes. (4 (3,1 (2,2 (2,1, Cominatória ásica Partições Cominatória ásica Identidades cominatórias IDENTIDADES COMBINATÓRIAS Prolemas equivalentes: Número de distriuições de r olas distintas em n caixas idênticas, com qualquer número de olas por caixa. Número de partições do conjunto { 1, 2,..., r } em no máximo n suconjuntos. Prolemas equivalentes: Número de distriuições de r olas idênticas em n caixas idênticas, com qualquer número de olas por caixa. Número de partições do inteiro positivo r em no máximo n partes. Argumentos cominatórios podem ser usados para provar identidades. são usualmente mais simples que indução ou álgera; associam conteúdo à identidade, facilitando sua fixação. Idéia: contar a mesma coisa de duas maneiras diferentes

18 Cominatória ásica Identidades cominatórias Exemplo 4.31 Cominatória ásica Identidades cominatórias Exemplo 4.32 ( ( n n k n k ( ( ( n n 1 n 1 + k k 1 k no. sequências inárias de tamanho n com k 1 s no. sequências inárias de tamanho n com (n k 0 s no. suconjuntos de tamanho k no. suconjuntos onde elemento x aparece + no. suconjuntos onde x não aparece Cominatória ásica Identidades cominatórias Exemplo 4.33 Cominatória ásica Identidades cominatórias Exemplo 4.34 n ( n 2 n k k0 no. suconjuntos de conjunto de n elementos no. suconjuntos de 0 elementos + no. suconjuntos de 1 elemento +. no. suconjuntos de n elementos ( ( ( ( n p n n k p k k p k no. grupos de p pessoas com k ĺıderes no. grupos de p pessoas no. suconjuntos de k ĺıderes no. suconjuntos de k ĺıderes no. grupos de (p k não ĺıderes

19 Cominatória ásica Identidades cominatórias Exemplo 4.35 Cominatória ásica Identidades cominatórias r ( ( n + i n + r + 1 i r i0 ou r (( (( n + 1 n + 2 i r i0 Outras identidades: ( n n k ( n k + 1 k + 1 k (1 no. multiconjuntos de r elementos de conjunto de n + 2 elementos no. multiconjuntos em que elemento x aparece 0 vezes + no. multiconjuntos em que elemento x aparece 1 vez +. no. multiconjuntos em que elemento x aparece r vezes n ( ( i n + 1 k k + 1 ik n ( n 2 ( 2n i n i0 (2 ( Cominatória ásica Identidades cominatórias Exemplo 4.36 Cominatória ásica Identidades cominatórias Coeficientes inomiais Avaliar S (n 2(n 1(n n S (i 2(i 1i i3 n ( i 3! 3 i3 ( n + 1 3! 4 (identidade 2 (a + x 3 (a + x(a + x(a + x aaa + aax + axa + axx + xaa + xax + xxa + xxx a 3 + 3a 2 x + 3ax 2 + x 3 (a + x n : 2 n produtos coeficiente de a n r x r ( n r identidade 2: n ( ( i n + 1 k k + 1 ik

20 Cominatória ásica Identidades cominatórias Teorema inomial Cominatória ásica Identidades cominatórias Teorema multinomial n ( n (a + x n a n r x r r r0 (x x k n r 1 + +r k n C(n; r 1,..., r k x r xr k k se a 1: n ( n (1 + x n x r r r0 Prova: (x x k n (x } x k {{ (x x k } n Cada termo do resultado é da forma x r xr k k, r r k n. O número de termos desta forma é o número de maneiras de selecionar r 1 x 1 s,..., r k x k s, totalizando um total de n destes ojetos, ou seja, C(n; r 1, r 2,..., r k (igual a P(n; r 1, r 2,..., r k Cominatória ásica Identidades cominatórias Exemplo 4.37 Exemplos de uso do teorema inomial: n r0 ( n r 2 n. Prova: asta fazer a x 1. ( n ( 0 + n ( 2 + n ( 4... n ( 1 + n ( n 1 FIM Prova: asta fazer a 1 e x 1. teorema inomial: n ( n (a + x n a n r x r r r