Capítulo 2 Probabilidades

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Oswaldo Vieira Esteves
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1 Capítulo 2 Probabilidades Slide 1

2 Definições Slide 2 Acontecimento Qualquer colecção de resultados de uma experiência. Acontecimento elementar Um resultado que não pode ser simplificado ou reduzido. Espaço de resultados- Ω Constituído por todos os acontecimentos elementares.

3 Slide 3 Notação das Probabilidades P - denota a probabilidade. A, B, e C - denota acontecimentos específicos. P (A) - denota a probabilidade de ocorrer o acontecimento A.

4 Regras Básicas para o Cálculo das Probabilidades Regra 1: Frequência Relativa; Aproximação da Probabilidade Slide 4 Realize (ou observe) a experiência um grande nº de vezes, e conte o nº de vezes em que ocorreu o acontecimento A. Baseado nestes resultados, P(A) é estimada como se segue: P(A) = nº de vezes que A ocorreu nº de vezes que a experiência se realizou

5 Regras Básicas para o Cálculo das Probabilidades Regra 2: Abordagem Clássica (Requer Acontecimentos Equiprováveis) Slide 5 Suponha que uma experiência é composta por n acontecimentos elementares distintos, em que cada um tem a mesma possibilidade de ocorrer. Se o acontecimento A pode ocorrer em k desses n acontecimentos elementares, então P(A) = k n = nº de vezes que A pode ocorrer nº de acontecimentos elementares distintos

6 Lei dos Grandes Números Slide 6 Quando uma experiência é repetida um grande nº de vezes, o valor da frequência relativa (regra 1) de um acontecimento tende a se aproximar do valor da verdadeira probabilidade.

7 Exemplo Slide 7 Cartas Num baralho de cartas, planeia apostar na saída de uma carta de copas. Qual a probabilidade de perder? Solução Um baralho tem 52 cartas, 13 das quais são copas, e as restantes 52-13= 39 não. Cada carta tem a mesma possibilidade de ser retirada do baralho. Como o espaço de resultados é constituído por acontecimentos equiprováveis, usamos a abordagem clássica (regra2) e obtemos P(perder) =

8 Valores da Probabilidade Slide 8 A probabilidade de um acontecimento impossível é 0 (zero). A probabilidade de um acontecimento certo é 1. 0 P(A) 1 para qualquer acontecimento A.

9 Valores Possíveis para as Slide 9 Probabilidades Figura 2-1

10 Definição Slide 10 O complementar do acontecimento A, denotado por A c, consiste em todos os acontecimentos nos quais o acontecimento A não ocorre.

11 Arredondamento do Valor das Probabilidades Slide 11 Quando se apresenta o valor de uma probabilidade, ou se indica a fracção exacta ou se faz um arredondamento com 3 casas decimais.

12 Resumo Slide 12 Nesta secção apresentámos: Regras da Probabilidade. Lei dos Grandes Números. Acontecimentos Complementares. Arredondamento das Probabilidades.

13 Definição Slide 13 Reunião de acontecimentos Notação P(A ou B) = P(A B)= = P (o acontecimento A ocorre ou o acontecimento B ocorre ou ambos ocorrem)

14 Regra Geral para a Reunião de Acontecimentos Slide 14 Para determinar a probabilidade de o acontecimento A ou B ocorrer, determine a probabilidade de A ocorrer e a probabilidade de B ocorrer; em seguida determine o total de tal forma que nenhum acontecimento seja contado mais do que uma vez.

15 Reunião de Acontecimentos Slide 15 Regra formal P(A ou B) = P(A) + P(B) P(A e B) onde P(A e B) denota a probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente. A igualdade anterior também se escreve na forma P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)

16 Definição Slide 16 Os acontecimentos A e B são disjuntos (ou mutuamente exclusivos) se não podem ocorrer em simultâneo. Figuras 2-2 e 2-3

17 Aplicando a Regra da Reunião de Acontecimentos Slide 17 P(A ou B) A e B são disjuntos? Sim P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = P(A) + P(B) Não P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Figura 2-4

18 Exemplo Slide 18 Passageiros do Titanic Homens Mulheres Rapazes Raparigas Totais Sobreviventes Mortos Totais Determine a probabilidade de seleccionar ao acaso um homem ou um rapaz.

19 Exemplo Slide 19 Homens Mulheres Rapazes Raparigas Totais Sobreviventes Mortos Totais Determine a probabilidade de seleccionar ao acaso um homem ou um rapaz. P(homem ou rapaz) = = 1756 = * Disjuntos *

20 Exemplo Slide 20 Homens Mulheres Rapazes Raparigas Totais Sobreviventes Mortos Totais Determine a probabilidade de seleccionar ao acaso um homem ou um sobrevivente.

21 Exemplo Slide 21 Homens Mulheres Rapazes Raparigas Totais Sobreviventes Mortos Totais Determinar a probabilidade de seleccionar ao acaso um homem ou um sobrevivente. P(homem ou sobrevivente) = = 2066 = * NÃO Disjuntos *

22 Acontecimentos Complementares Slide 22 P(A) e P(A c ) são mutuamente exclusivos Todos os acontecimentos elementares ou estão em A ou em A c.

23 Regras dos Acontecimentos Complementares Slide 23 P(A) + P(A c ) = 1, logo P(A c ) = 1 P(A), P(A) = 1 P(A c )

24 Diagrama de Venn para o Acontecimento Complementar de A Slide 24 Area Total =1 Ω P(A) P(A c )=1-P(A) Figura 2-5

25 Resumo Slide 25 Nesta secção estudámos: Cálculo da reunião de acontecimentos. Acontecimentos disjuntos. Acontecimentos complementares.

26 Notação Slide 26 P(A e B) = P(A B) P(o acontecimento A ocorre na 1ª experiência e o acontecimento B ocorre na 2ª experiência )

27 Princípio Importante Slide 27 É importante notar que a probabilidade do 2º acontecimento deve ser calculada tendo em conta que o 1º acontecimento já ocorreu.

28 Notação para a Slide 28 Probabilidade Condicional P(B A) representa a probabilidade de o acontecimento B ocorrer após o acontecimento A ter ocorrido (lê-se B A como B dado A. )

29 Definições Slide 29 Acontecimentos Independentes Dois acontecimentos A e B são independentes se a ocorrência de um não afecta a probabilidade de ocorrência do outro. Se A e B não são independentes, dizem-se dependentes.

30 Algumas Regras Formais Slide 30 P(A e B) = P(A B) = P(A) P(B A) Temos também P(A B) = P(B) P(A B) Note que se A e B são acontecimentos independentes, P(B A) é igual a P(B) e P(A B) é igual a P(A).

31 Aplicando as regras de acordo com a independência Slide 31 P(A P(A e B) e B) A e B são independentes? Sim P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = P(A). P(B) Não P(A B) = P(A). P(B A) = P(B). P(A B) Figura 2-6

32 Em suma Slide 32 Na regra da probabilidade da reunião de acontecimentos, a palavra ou em P(A ou B) sugere adição. Adicione P(A) e P(B), mas de tal forma a que cada acontecimento seja considerado apenas uma vez. Na regra da probabilidade condicionada, a palavra e em P(A e B) sugere multiplicação. Multiplique P(A) e P(B), mas certifique-se de que a probabilidade do acontecimento B tem em conta o facto de que o acontecimento A já ocorreu.

33 Definição Slide 33 A probabilidade condicionada de um acontecimento é a probabilidade obtida com a informação adicional de que um outro acontecimento já ocorreu. P(B A) denota a probabilidade condicionada de o acontecimento B ocorrer, dado que o acontecimento A já ocorreu, e pode ser calculado dividindo a probabilidade de os acontecimentos A e B ocorrerem pela probabilidade de ocorrer o acontecimento A : P(B A) = P(A e B) P(A)

34 Verificando a Independência Slide 34 Já sabemos que os acontecimentos A e B são independentes se a ocorrência de um não afecta a probabilidade de ocorrência do outro. Formalmente, temos: Dois acontecimentos A e B são independentes se P(B A) = P(B) ou P(A B) = P(A) ou P(A e B) = P(A). P(B) Dois acontecimentos A e B são dependentes se P(B A) P(B) ou P(A B) P(A) ou P(A e B) P(A). P(B)

35 Complementos: a Probabilidade de Pelo Menos Um Slide 35 Pelo menos um é equivalente a um ou mais. O complementar de obter pelo menos um item é o mesmo do que não obter qualquer item.

36 Exemplo Slide 36 Sexo de uma criança. Determine a probabilidade de um casal com 3 filhos ter pelo menos uma menina. Considere que a probabilidade de nascer menina é a mesma do que a probabilidade de nascer rapaz e que o sexo de uma criança é independente do sexo dos irmãos. Solução Passo 1: Use um símbolo (letra) para representar o acontecimento em causa. Neste caso, seja A = o casal ter pelo menos uma menina, de entre os 3 filhos.

37 Solução (cont.) Exemplo Slide 37 Passo 2: Identifique o acontecimento complementar de A. A c = o casal não ter pelo menos uma menina, de entre os 3 filhos = os 3 filhos são rapazes = rapaz e rapaz e rapaz Passo 3: Determine a probabilidade do complementar: P(A) = P(rapaz e rapaz e rapaz) = =

38 Exemplo Slide 38 Solução (cont) Passo 4: Determine P(A) através do cálculo de P(A) = = Interpretação Um casal com 3 filhos, tem uma probabilidade de ter, pelo menos, uma menina.

39 Princípio Chave Slide 39 Para determinar a probabilidade de pelo menos um, calcule a probabilidade de nenhum, e depois subtraia o resultado a 1. Ou seja, P(pelo menos um) = 1 P(nenhum)

40 Resumo Slide 40 Nesta secção estudámos: Notação para P(A e B). Notação para a probabilidade condicionada. Acontecimentos independentes. Definição formal para o cálculo da probabilidade condicionada. Noção de pelo menos um.

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