MATEMÁTICA Conjuntos. Professor Marcelo Gonzalez Badin

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Carlos Eduardo Antas Canário
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1 MATEMÁTICA Conjuntos Professor Marcelo Gonzalez Badin

2 Alguns símbolos importantes Œ Pertence / Tal que œ Não Pertence : Tal que $ " fi Existe Não existe Qualquer (para todo) Portanto Se, e somente se,...(equivalência) Se...então... (implicação) $ x / x + 5 = 7 " x, x > 0 x < 3 fi x < 5 x < 5 fi x < 3 V F > Maior < Menor Maior ou igual Menor ou igual Conectivo ou Ÿ Conectivo e Existe x tal que x + 5 = 7 Para todo x, x é positivo x + 1 = 5 2x = 8 V

3 Conjunto e elemento As noções de conjunto e elemento são chamadas, em Matemática, de noções primitivas ou conceitos primitivos (não possuem definição). Conjunto, como o próprio nome indica, dá uma idéia de coleção. Assim, toda coleção de objetos, pessoas, números ou coisas constitui um conjunto. Os objetos que formam um conjunto são chamados elementos. Representações Extensão: {a,e,i,o,u} Compreensão (Sentença Matemática): {x é letra / x é vogal} Diagrama de Venn: a e i o u

4 Número de elementos de um conjunto Indicados por n(a) o número de elementos de um conjunto finito A. A = {1; 3; 7; 10} B = {a, {b, c}} n(a) = 4 n(b) = 2 Observe que o conjunto B só possui dois elementos: a e {b,c} Um conjunto pode ser elemento de outro conjunto! Apesar da noção de conjunto estar fortemente ligada à idéia de coleção, é importante que guardemos as definições de: Conjunto unitário: Conjunto com um único elemento. Conjunto vazio: Conjunto sem qualquer elemento. Representações do Conjunto vazio: ou Não é conjunto vazio! n( ) = 0 Conjunto unitário cujo elemento é o conjunto vazio.

5 Igualdade: Dois conjuntos são iguais se possuem os mesmos elementos. Exemplos: a) Considere os conjuntos A = {a, b, c} e B= {c, a, b} A e B possuem os mesmos elementos, logo A = B. Note que a ordem dos elementos não altera o conjunto. b) Considere os conjuntos: D = {a, b, a} e E = {a, b} Os conjuntos D e E possuem os mesmos elementos. Sendo assim, D = E. Para evitar confusões, quando um elemento se repete num conjunto é conveniente escrevê-lo uma única vez.

6 Pertinência pertence não pertence A = {1; 3; 5; 7} 3 A 9 A As relações de pertinência são usadas entre elemento e conjunto Subconjunto Dizemos que um conjunto B é um subconjunto de A, se, e somente se, todo elemento de B é também elemento de A. A = {1; 2; 3; 4; 5} B = {1; 3; 5} D = {2; 4; 6} B A A B D A B está contido em A A contém B D não está contido em A As relações de continência são usadas entre conjunto e conjunto A A, A A, A Um conjunto com n elementos possui 2 n subconjuntos

7 Operações entre conjuntos Intersecção e A B = { x / x A e x B} A B Se A«B =, dizemos que A e B são disjuntos União ou A B A B = { x / x A ou x B} Diferença A B = { x / x A e x B} A B Obs.: Se B A, A B é chamado complementar de B em relação a A A B Neste caso, A B = B A

8 1. Sendo: A = {1; 2; 3; 4; 5} e B = {4; 5; 6; 7}, determine: a) A B A B b) A B A B = {4; 5} n(a«b) = 2 = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} n(a»b) = 7 n(a) = 5 n(b) = 4 Obs.: n(a»b) = n(a) + n(b) n(a«b) c) A B A B = {1; 2; 3} A B d) B A B A = {6; 7}

9 2. Em um grupo de 500 pessoas, 190 são leitores do jornal E, 240 são leitores do jornal F e 70 lêem ambos (E e F). Quantas dessas pessoas não lêem nenhum desses dois jornais? E F E F Com base no diagrama, constatamos que 140 pessoas não lêem nenhum dos dois jornais.

10 3. Numa classe com 100 alunos foi feita uma pesquisa sobre a paixão dos estudantes por algumas disciplinas. Constatou-se que: 60 gostam de Matemática; 40 gostam de História; 30 gostam de Biologia; 20 gostam de Matemática e História; 15 gostam de Matemática e Biologia; M gostam de História e Biologia; 2 2 gostam das três disciplinas H a) Quantos alunos gostam de mais de uma dessas matérias? b) Quantos não gostam de nenhuma das três? 7 B Com base no diagrama, respondemos: a) = alunos gostam de mais de uma dessas matérias. b) 13 alunos não gostam de nenhuma das três. 13

11 Conjuntos Numéricos Naturais IN= {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6;...} Inteiros Z Racionais = {...; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5;...} Q a = x / x =, com a Z e b Z b Racionais + Irracionais = Reais N Z Q R IR IR Q * Z IN Z * Z + = inteiros diferentes de zero = {...; 2; 1; 1; 2; 3;...} = inteiros não negativos = {0; 1; 2; 3; 4; 5;...} Z * = inteiros positivos = {1; 2; 3; 4; 5;...} +

12 4. Classifique as sentenças a seguir em verdadeira (V) ou falsa (F): a) ( F ) 7 IN b) ( V) 3 Z Todo decimal exato é racional! c) ( F) 0 IR * x = 0, (x10) d) ( F) 10x = 7, e) ( V) f) ( V) h) ( F ) 2 5 Z 85,3 Q * 2 Z 3 g) ( V ) Q+ 8 6 Q 9x = 7 x = 7 9 0, = 7 9 Toda dízima periódica é racional! i) ( V) 4 IN j) ( V ) 0, Q

13 Todo decimal exato é racional! Toda dízima periódica é racional! Uma fração irredutível é dízima periódica se no denominador aparecer fator diferente de 2 e = 2.7 Dízima 20 = Decimal exato 3 15 = 1 5 Decimal exato

14 Intervalos reais 0 {x IR / x > 5} 5 ]5; [ 1 {x IR / x 1} ] ; 1] 2 7 {x IR / 2 < x 7} ]2; 7] 3 {x IR / x < 3 ou x > 8} ] ; 3[ 8 ]8; [

15 0 1 2 { x IR / 0 < x 1 ou x > 2} ]0; 1] ]2; [ {x IR / 3 < x < 6 e x 5} ]3; 5[ ]5; 6[

16 5. Considere os conjuntos: A = {x IR / 2 x 10} e B = {x IR / 3 < x < 12} Determine os conjuntos A«B e A»B. A B A B A B { x x } A B= IR / 3 < 10 A B { } ou você escreve = ]3,10] A B= x IR / 2 x < 12 A B ou você escreve = [ 2,12[

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