A B e A. Calcule as suas respectivas probabilidades.

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPTO. DE ESTATÍSTICA LISTA 2-BIOESTATÍSTICA II (CE020) Prof. Benito Olivares Aguilera 1 o Sem./17 1. Expresse em termos de operações entre eventos: a) A ocorre, mas B não ocorre; b) exatamente um dos eventos A ou B ocorre; c) nenhum dos dois eventos A e B ocorre. 2. Considere o lançamento de dois dados. Considere os eventos A = soma dos números obtidos igual a 9, e B = número do primeiro dado maior ou igual a 4. Enumere os c elementos de A e os de B. Obtenha A B, A B e A. Calcule as suas respectivas probabilidades. 3. Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três bolas vermelhas (V). Retira-se uma bola ao acaso da urna. Se for branca, lança-se uma moeda; se for vermelha, ela é devolvida à urna e retira-se outra bola. Dê um espaço amostral para o experimento. 4. Uma universidade tem l0 mil alunos dos quais 4 mil são considerados esportistas. Temos, ainda, que 500 alunos são do curso de biologia diurno, 700 da biologia noturno, 100 são esportistas e da biologia diurno e 200 são esportistas e da biologia noturno. Um aluno é escolhido, ao acaso, e pergunta-se a probabilidade de: a) Ser esportista. b) Ser esportista e aluno da biologia noturno. c) Não ser da biologia. d) Ser esportista ou aluno da biologia. e) Não ser esportista, nem aluno da biologia. 5. Para cada um dos seguintes experimentos, descreva um espaço amostral e calcule as probabilidades dos pontos amostrais ou eventos correspondentes: a) Lançar um dado até que a face 5 apareça pela primeira vez. b) Retiram-se cartas sucessivamente de um baralho de 52 cartas, ao acaso e com reposição, até retirar-se o primeiro rei. Registra-se o número total de retiradas. c) Quinze bolas são retiradas, ao acaso e com reposição, de uma urna contendo 5 bolas vermelhas, 9 bolas pretas, e uma bola branca. Observa-se o número de vezes que ocorre cada cor d) O experimento (c) é realizado sem reposição 6. Se P(A) = 1/3 e P(B c ) =1/4, A e B podem ser disjuntos (ou mutuamente exclusivos)?

2 7. Um dado é viciado, de tal forma que a probabilidade de sair um certo ponto é proporcional ao seu valor (por exemplo, o ponto 6 é 3 vezes mais provável de sair do que o ponto 2). Calcular: a) A probabilidade de sair 5, sabendo-se que o ponto que saiu é ímpar. b) A probabilidade de tirar um número par, sabendo-se que saiu um número maior que Uma companhia de seguros vendeu apólices a 5 pessoas, todas da mesma idade e com boa saúde. De acordo com as tábuas atuariais, a probabilidade de que uma pessoa daquela idade esteja viva daqui a 30 anos é de 2/3. Calcular a probabilidade de que daqui a 30 anos: a) exatamente duas pessoas estejam vivas; b) todas as pessoas estejam vivas; c) pelo menos 3 pessoas estejam vivas. 9. Um grupo de 12 homens e 8 mulheres concorrem a 3 prêmios através de um sorteio, sem reposição de seus nomes. Qual a probabilidade de: a) nenhum homem ser sorteado? b) um prêmio ser ganho por homem? c) dois homens serem premiados? 10. Considere dois eventos A e B, mutuamente exclusivos, com P(A) = 0,3 e P(B) = 0,5. Calcule: a) P(A B). b) P(A B). c) P(A/B). d) P(A c B c ). 11. Se P(B) = 0,4; P(A) = 0,7 e P(A B) = 0,3; calcule P(A/B c ). 12. Sendo A e B dois eventos quaisquer, indique sob que condições P(A B) = PP(BB AA). 13. Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de refeições: salada completa ou um prato à base de carne. 20% dos fregueses do sexo masculino preferem salada; 30% das mulheres escolhem carne; 75% dos fregueses são homens. Considere os seguintes eventos: H: freguês é homem A: freguês prefere salada M: Freguês é mulher B: freguês prefere carne Calcular: a) P(H), P(A H), P(B M); b) P(A H), P(A H); c) P(M A).

3 14. Acredita-se que numa certa população, 20% de seus habitantes sofrem algum tipo de alergia e são classificados como alérgicos para fins de saúde pública. Sendo alérgico, a probabilidade de ter reação a um certo antibiótico é de 0,5. Para os não alérgicos essa probabilidade é de apenas 0,05. Uma pessoa dessa população teve reação ao ingerir o antibiótico, qual a probabilidade de: a) Ser do grupo não alérgico? b) Ser do grupo alérgico? 15. Suponha que X represente o número de horas de atividade física por semana. Considere a tabela a seguir: Sexo \ Atividade 0 XX < 3 3 XX < 5 XX 5 Feminino Masculino a) Qual é a probabilidade de sortear aleatoriamente uma menina com atividade física semanal na faixa de [3, 5) horas? b) Calcule P(XX 5). c) Calcule a probabilidade de que um rapaz escolhido aleatoriamente dedique pelo menos 5 horas à atividade física. Idem para uma moça. d) Compare as respostas dadas nos itens b) e c). 16. Um casal tem dois filhos. Qual a probabilidade de: a) o segundo filho ser homem? b) o segundo filho ser homem, dado que o primeiro é homem? c) os dois filhos serem homens? d) Pelo menos um dos filhos ser homem? 17. A probabilidade de determinado teste para AIDS dar resultado negativo em portadores de anticorpos contra o vírus (falso negativo) é 10%. Supondo que falsos negativos ocorrem independentemente, qual é a probabilidade de um portador de anticorpos contra o vírus da AIDS, que se apresenta três vezes para o teste, ter tido, nas três vezes, resultado negativo? 18. Uma pessoa normal, filha de pais normais, tem um avô albino (aa). Se os outros avós não forem portadores do gene para albinismo (AA), qual a probabilidade dessa pessoa ser portadora do gene para albinismo (Aa)? 19. Suponha que a probabilidade de uma pessoa ser do tipo sanguíneo O é 40%, ser do tipo A é 30% e ser B é 20%. Suponha ainda que a probabilidade de Rh + é de 90% e que o fator Rh independe do tipo sanguíneo. Nestas condições, qual é a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso da população ser: a) O Rh +? b) AB Rh -?

4 20. Qual é a probabilidade de ser hemofílico (XhY) o filho de um homem normal (XY) e de uma filha de hemofílico (XhX)? 21. Um hospital recebe seringas descartáveis de três marcas: A, B e C. A fábrica A fornece 40% das seringas, enquanto as outras fornecem 30% cada uma. Dos registros estatísticos da área correspondente, sabe-se que a proporção de seringas produzidas por essas fábricas apresentando um pequeno defeito são 1%, 4% e 3%, respectivamente. Escolhida uma seringa aleatoriamente do estoque do hospital, a) qual a probabilidade de apresentar defeito? b) Se uma seringa apresentou defeito: de qual marca é mais provável que ela seja? 22. Em um teste de múltipla escolha, a probabilidade do aluno saber a resposta certa é p. Havendo m escolhas, se ele sabe a resposta, ele responde corretamente com probabilidade 1; se não sabe, ele responde corretamente com probabilidade 1/m. Qual a probabilidade que ele sabia a resposta, dado que a pergunta foi respondida corretamente? Calcule o limite desta probabilidade se (i) m, com p fixo e (ii) p 0, com m fixo. 23. Numa cidade do interior de São Paulo, estima-se que cerca de 20% dos habitantes têm algum tipo de alergia. Sabe-se que 50% dos alérgicos praticam esporte, enquanto que essa porcentagem entre os não alérgicos é de 40%. Para um indivíduo escolhido aleatoriamente nessa cidade, obtenha a probabilidade de: a) Não praticar esporte. b) Ser alérgico dado que não pratica esportes. 24. Das pacientes de uma Clínica de Ginecologia com idade acima de 40 anos, 60% são ou foram casadas e 40% são solteiras. Sendo solteira, a probabilidade de ter tido um distúrbio hormonal no último ano é de 10%, enquanto que para as demais essa probabilidade aumenta para 30%. Pergunta-se: a) Qual a probabilidade de uma paciente escolhida ao acaso ter tido um distúrbio hormonal? b) Se a paciente sorteada tiver distúrbio hormonal, qual a probabilidade de ser Solteira? c) Se escolhermos duas pacientes ao acaso e com reposição, qual é a Probabilidade de pelo menos uma ter o distúrbio? 25. A tabela a seguir apresenta informações de alunos de uma universidade quanto às variáveis: Período, Sexo e Opinião sobre a Reforma Agrária. Determine a probabilidade de escolhermos: a) Uma pessoa do sexo masculino e sem opinião sobre a reforma agrária? b) Uma mulher contrária a reforma agrária? c) Dentre os estudantes do noturno, um que seja a favor da reforma agrária? d) Uma pessoa sem opinião, sabendo-se que ela é do sexo feminino?

5 Período Sexo Reforma agrária Contra A favor Sem opinião Diurno Feminino Masculino Noturno Feminino Masculino Três candidatos disputam as eleições para o Governo do Estado. O candidato do partido de direita tem 30% da preferência eleitoral, o de centro tem 30% e o da esquerda 40%. Em sendo eleito, a probabilidade de dar, efetivamente, prioridade para Educação e Saúde é de 0,4; 0,6 e 0,9 para os candidatos de direita, centro e esquerda, respectivamente. a) Qual é a probabilidade de não ser dada prioridade a essas áreas no próximo governo? b) Se a área teve prioridade, qual a probabilidade do candidato de direita ter ganho a eleição? 27. Um médico desconfia que um paciente tem tumor no abdômen, pois isto ocorreu em 70% dos casos similares que tratou. Se o paciente de fato tiver o tumor, o exame de ultrassom o detectará com probabilidade 0,9. Entretanto, se ele não tiver o tumor, o exame pode, erroneamente, indicar que tem com probabilidade 0,1. Se o exame detectou um tumor, qual é a probabilidade do paciente tê-lo de fato? 28. Na tabela abaixo, os números que aparecem são probabilidades relacionadas com ocorrência de A, B, A B, etc. Assim, P(A)=0,10, enquanto que P(A B) = 0,04. Verifique se A e B são independentes. B B c A 0,04 0,06 0,10 A c 0,08 0,82 0,90 0,12 0,88 1, Sejam B1,...,Bn eventos aleatórios independentes com pk=p(bk), k=1,...,n. Obtenha a probabilidade dos seguintes eventos, em termos das probabilidades de pk a) A ocorrência de nenhum dos Bk. b) A ocorrência de pelo menos um dos Bk. c) A ocorrência de exatamente um dos Bk. d) A ocorrência de todos os Bk