SME0320 Estatistica ICMC-USP Ricardo Ehlers Lista 4

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1 SME0320 Estatistica ICMC-USP Ricardo Ehlers Lista 4 1. Dois dados honestos são lançados. Calcule a probabilidade condicional de que pelo menos um deles caia no 6 se os dados cairam em números diferentes. 2. Uma moeda honesta é lançada 4 vezes. Sabendo que o primeiro resultado foi cara, calcule a probabilidade condicional de obter pelo menos 2 caras. 3. Sabe-se que 52% dos estudantes de certa faculdade são mulheres, 5% dos estudantes desta faculdade estão se formando em ciência da computação e 2% dos estudantes são mulheres se formando em ciência da computação. Se um estudante é selecionado aleatoriamente, determine a probabilidade condicional de que, (a) seja mulher dado que ele está se formando em ciência da computação; (b) esteja se formando em ciência da computação dado que é mulher. 4. Uma estudante aguarda o recebimento de uma carta dizendo se foi aceita ou não em uma universidade. Ela estima que as seguintes probabilidades condicionais de receber a carta em cada dia da próxima semana, dado que ela tenha sido aceita ou rejeitada. Ela também estima que sua probabilidade de ser aceita é 0.6. Aceita Rejeitada Segunda Terça Quarta Quinta Sexta (a) Calcule a probabilidade de que ela receba a carta na segunda. (b) Calcule a probabilidade de que ela receba a carta na terça dado que ela não tenha recebido carta na segunda. (c) Se nenhuma carta chegar até quarta-feira, qual a probabilidade condicional de que ela tenha sido aceita?

2 (d) Calcule a probabilidade condicional de que ela seja aceita se a carta chegar na quinta. (e) Calcule a probabilidade condicional de que ela seja aceita se nenhuma carta chegar naquela semana. 5. Um réu julgado por 3 juízes é declarado culpado se pelo menos 2 dos juízes o condenarem. Suponha que, se o réu for culpado, cada juiz terá probabilidade 0.7 de condená-lo, de forma independente. Por outro lado, se o réu for inocente, essa probabilidade cai para 0.2. Se 70% dos réus são culpados, calcule a probabilidade condicional do juiz número 3 condenar um réu dado que, (a) os juízes 1 e 2 o tenham condenado; (b) um dos juízes 1 e 2 o tenha considerado culpado e outro tenha considerado inocente; (c) os juízes 1 e 2 o tenham considerado inocente. Sejam E i, i = 1, 2, 3 os eventos em que o juiz i considera o réu culpado. Esses eventos são independentes ou condicionalmente independentes? Explique. 6. Suponha que E e F sejam eventos mutuamente exclusivos de um experimento. Mostre que, se as tentativas independentes desse experimento forem realizadas, então E ocorrerá antes de F com probabilidade, P (E) P (E) + P (F ). 7. Mostre que se P (A) > 0, então P (A B) P (A B A B). 8. Duas máquinas A e B produzem 3000 peças em um dia. A máquina A produz 1000 peças, das quais 3% são defeituosas. A máquina B produz as restantes 2000, das quais 1% são defeituosas. Da produção total de um dia uma peça é escolhida ao acaso e constata-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de que a peça tenha sido produzida pela máquina A? 9. Dois dados são lançados e observa-se S, a soma dos valores obtidos nas faces. (a) Calcule a probabilidade da soma ser menor do que 8 sabendo que é um número ímpar.

3 (b) Os dados são lançados até que se obtenha soma 7 ou 8. Calcule a probabilidade do evento A = {S = 7} sabendo que o experimento terminou. 10. Um dado é viciado de tal forma que a probabilidade de sair uma face é proporcional ao seu valor, i.e. P (face x) x. Calcular: (a) A probabilidade de sair 5, sabendo-se que a face que saiu é ímpar. (b) A probabilidade de sair um número par, sabendo-se que saiu um número maior que Um médico, ao examinar uma pessoa, desconfia que ela possa ter uma certa doença e assume que a probabilidade do paciente ter a doença é 0.7. Para aumentar sua quantidade de informação o médico aplica um teste, que dá resultado positivo em 40% das pessoas sadias e em 95% das pessoas com esta doença. (a) Qual a probabilidade do teste dar resultado positivo? (b) Sabendo-se que o teste deu resultado positivo qual a probabilidade desta pessoa estar doente? (c) Foi aplicado um segundo teste que dá resultado positivo com probabilidades 0.04 e 0.98 em pessoas sadias e doentes respectivamente. Calcule a probabilidade deste teste dar positivo e a probabilidade de doença sabendo que ele deu negativo. 12. Um componente eletrônico está sendo testado e sabe-se que ele pode ter sido produzido por máquinas do tipo I, II ou III com probabilidades 0.35, 0.25 e 0.40 respectivamente. Sabe-se também que as probabilidades deste componente ser defeituoso são 0.01, 0.02 e 0.03 respectivamente para cada tipo de máquina. Calcule a probabilidade deste componente eletrônico (a) Defina os eventos e enumere as probabilidades fornecidas no problema. (b) Qual a probabilidade deste componente eletrônico não ter sido fabricada por uma máquina do tipo I? (c) Qual a probabilidade dele ser defeituoso? (d) Qual a probabilidade dele ter sido fabricado por uma máquina do tipo II sabendo-se que é defeituoso?

4 13. Uma empresa de crédito precisa saber como a inadimplência está distribuída entre seus clentes. Sabe-se que um cliente pode pertencer à uma de 4 classes distintas com probabilidades 0.50, 0.20, 0.20 e 0.10 respectivamente. Para cada uma destas classes as probabilidade de um cliente estar inadimplente são 0.30, 0.10, 0.05 e 0.05 respectivamente. Um cliente é sorteado aleatoriamente. (a) Defina os eventos e enumere as probabilidades fornecidas no problema. (b) Calcule a probabilidade de pertencer às classes A ou B. (c) Calcule a probabilidade de estar inadimplente e pertencer à classe A. (d) Qual a probabilidade dele estar inadimplente? (e) Sabendo que ele está inadimplente, qual a probabilidade dele pertencer à classe B? 14. Sejam duas moedas, uma honesta e a outra com 2 caras. Uma destas moedas foi sorteada e lançada. (a) Se o resultado foi cara, qual a probabilidade de ter sido usada a moeda honesta? (b) A moeda selecionada foi lançada novamente e o resultado foi cara. Qual a probabilidade de ser a moeda honesta? 15. Um canal de comunicação transmite dois sinais 0 e 1. O sinal 1 é transmitido 40% das vezes e recebido corretamente 95% das vezes. O sinal 0 é recebido corretamente 90% das vezes. Qual a probabilidade de (a) o sinal 1 ser recebido, (b) o sinal 1 ter sido transmitido dado que o sinal 1 é recebido. 16. Uma moeda equilibrada é jogada duas vezes. Sejam A o evento cara na primeira jogada e B o evento cara na segunda jogada. Verifique que A e B são independentes. 17. Um exame de laboratório tem eficiência de 95% para detectar uma doença quando essa doença existe de fato. Entretanto o teste aponta um resultado falso positivo para 1% das pessoas sadias testadas. Se 0.5% da população tem a doença, qual a probabilidade de uma pessoa ter a doença dado que o seu exame foi positivo?

5 18. Há 4 moedas em uma caixa. Uma delas tem duas caras, outra é honesta, outra tem duas coroas e a quarta é uma moeda viciada que dá cara em 80% das vezes. Quando uma das quatro moedas é selecionada aleatoriamente e jogada, ela dá cara. Qual a probabilidade dela ser a moeda com duas caras? 19. Faça os exercicios do final do capitulo 2 do livro texto.