Lista de Exercícios #1 Assunto: Probabilidade

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1 1. ANPEC 2017 Questão 07 Com relação à Teoria da Probabilidade pode-se afirmar que: (0) Sejam os eventos independentes A e B, então P(A B) P(A) P(B). (1) Se A B, então P(A) P(B) P(B A). (2) Seja A, B e C eventos independentes se, e somente se, P(A B C) P(A) P(B) P(C). (3) Considere um conjunto finito A 1, A 2,, A n um conjunto de eventos tais que os eventos condicionais A i A 1 A 2,, A i 1 tenham probabilidades positivas. Então n n P( i=1 A i ) = P(A 1 ). P(A 2 A 1 ). P(A 3 A 1 A 2 ).. P(A n i=1 A i ). (4) Se dois eventos são disjuntos, então P(A B) P(A)P(B). 2. ANPEC 2017 Questão 13 Considere dois eventos, A e B, os quais são mutuamente excludentes, sendo P(A) a probabilidade de ocorrência de A e P(B) a probabilidade de ocorrência de B, então: (0) P(A B) = 0; (1) P(B A) = 1; (2) A e B são independentes se, e somente se, P(A B) = P(A) e P(B A) = P(B); (3) A e B são independentes se P(A B) = P(A); (4) A e B são independentes se P(B A) = P(B). 3. ANPEC 2016 Questão 04 Uma determinada empresa tem três diferentes unidades (A, B e C). A tabela abaixo mostra o número de funcionários homens e o número de funcionárias mulheres em cada uma das três unidades: Homens Mulheres Unidade A Unidade B Unidade C Com base nessas informações, é correto afirmar: (0) Suponha que um funcionário dessa empresa escolhido aleatoriamente seja uma mulher. A probabilidade de que essa pessoa trabalhe na unidade B é igual a 25%; 1

2 (1) A probabilidade de um funcionário escolhido aleatoriamente ser homem e trabalhar na unidade C é igual a 12,5%; (2) A probabilidade de um funcionário escolhido aleatoriamente ser um homem que trabalha na unidade A ou uma mulher que trabalha na unidade C é igual a 45%; (3) Suponha que um funcionário da empresa escolhido aleatoriamente trabalhe na unidade B. A probabilidade de que essa pessoa seja uma mulher é igual a 15%; (4) Considere que um funcionário da empresa escolhido aleatoriamente seja um homem. A probabilidade de que essa pessoa trabalhe na unidade A é igual a 25%. 4. ANPEC 2016 Questão 15 Cinco (5) parafusos defeituosos foram misturados com sete (7) outros parafusos bons numa caixa e vendidos para a instalação de um armário que precisa de quatro (4) parafusos. Qual a probabilidade de que quatro (4) parafusos defeituosos sejam escolhidos em sequência? Multiplique o resultado por 1000 e considere apenas a parte inteira do resultado. 5. ANPEC 2015 Questão 04 Em uma determinada cidade, 60% dos moradores são mulheres e 40% são homens. Entre as mulheres, 80% estão empregadas e 20% estão desempregadas. Entre os homens, 90% estão empregados e 10% estão desempregados. Obtenha a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente nessa cidade ser mulher, dado que está desempregada, e multiplique o resultado por ANPEC 2014 Questão 03 A tabela abaixo oferece informações sobre uma determinada cidade. A População Economicamente Ativa (PEA) de 120 habitantes que está em busca de emprego ou participando do mercado de trabalho possui a seguinte distribuição: Empregado Desempregado Possui curso superior Não possui curso superior Com base nessas informações, é correto afirmar que: 2

3 (0) A taxa de desemprego da PEA é de 25%; Lista de Exercícios #1 (1) Se um indivíduo tem curso superior, a probabilidade de que esteja desempregado é igual a 20%; (2) Se um indivíduo está empregado, a probabilidade de que tenha curso superior é maior do que a probabilidade de que não tenha curso superior; (3) 1/3 dos indivíduos que participam do mercado de trabalho possuem curso superior; (4) Se um indivíduo está desempregado, a probabilidade de que não possua curso superior é igual a 75%. 7. ANPEC 2014 Questão 12 Suponha que as ocupações são agrupadas em 3 níveis: alto (A), médio (M) e baixo (B). Seja A1 o evento que a ocupação do pai é o nível alto, M1 o evento que a ocupação do pai é nível médio, e B1 o evento que a ocupação do pai é nível baixo. De forma análoga, seja A2 o evento que a ocupação do filho é o nível alto, M2 o evento que a ocupação do filho é nível médio e B2 o evento que a ocupação do filho é nível baixo. Temos a seguinte matriz de probabilidades condicionais: A2 M2 B2 A1 0,45 0,48 0,07 M1 0,05 0,70 0,25 B1 0,01 0,50 0,49 Nesta tabela, temos as probabilidades condicionais da ocupação do filho dada à ocupação do pai. Por exemplo, Pr[A2/A1]=0,45. Suponha que na geração de pais 10% estão em A, 40% em M e 50% em B. Julgue as seguintes afirmativas: (0) A probabilidade de um pai e um filho estarem ambos em ocupações de baixo nível é 0,49; (1) A probabilidade de um filho estar em uma ocupação de alto nível é 15%; (2) Se a ocupação do filho é A2, a probabilidade do pai ter ocupação A1 é 0,45; (3) Se a ocupação do pai é baixa, a probabilidade da ocupação do filho ser alta é 0,01; (4) A probabilidade de pai e filho ambos terem ocupações de alto nível é 0,045. 3

4 8. ANPEC 2013 Questão 02 Suponha que uma companhia administre três fundos mútuos. Denote por Ai o evento associado a um acréscimo de valor do i-ésimo fundo mútuo em um determinado dia (i = 1,2,3). Sabe-se: P(A1) = 0,55 P(A2) = 0,60 P(A3) = 0,45 P( A1 A2) = 0,82 P( A1 A3 ) = 0,7525 P( A2 A3 ) = 0,78 P( A2 A3 A1) = 0,20 É correto afirmar que: (0) Os eventos A1 e A2 são independentes. (1) A probabilidade dos fundos 1 e 2 aumentarem de valor, dado que o fundo 3 aumentou de valor, é 0,33. (2) A probabilidade dos fundos 1 e 2 aumentarem de valor é 0,33. (3) Os eventos A1, A2 e A3 são independentes. (4) A probabilidade dos fundos 1 e 2 não aumentarem de valor em um determinado dia é 0, ANPEC 2013 Questão 09 Uma firma de consultoria econômica possui um modelo para prever recessões. O modelo prevê corretamente uma recessão com probabilidade de 80% quando ela realmente está a caminho e com probabilidade de 10% quando ela não está a caminho. A probabilidade não condicional de a economia passar por uma recessão é de 20%. Se o modelo prevê uma recessão, qual é a probabilidade de que ela realmente esteja a caminho? Multiplique o resultado por 100 e arredonde para o número inteiro mais próximo. 10. ANPEC 2012 Questão 04 Uma companhia de seguros classifica os motoristas em três grupos: X, Y e Z. A experiência indica que a probabilidade de um motorista do grupo X ter pelo menos um acidente em um ano é 0,4, enquanto as probabilidades correspondentes para os grupos Y e Z são 0,15 e 0,1, respectivamente. Dos motoristas que contratam seguro, 30% são classificados no grupo X, 20% em Y e os 50% restantes no grupo Z. Assuma que, em cada grupo, os acidentes nos anos subsequentes ocorrem independentemente. É correto afirmar que: 4

5 (0) A probabilidade de um novo cliente sofrer um acidente no primeiro ano é 0,65. (1) A probabilidade de um cliente do grupo Z não sofrer um acidente em 2 anos é 0,36. (2) A probabilidade de um novo cliente não sofrer nenhum acidente em 2 anos é 0,6575. (3) Se um novo cliente não tiver nenhum acidente nos 2 primeiros anos, a probabilidade dele pertencer ao grupo X é inferior a 0,2. (4) A probabilidade de um novo cliente sofrer um acidente no segundo ano é inferior a 0,3, dado que ele sofreu um acidente no primeiro ano. 11. ANPEC 2011 Questão 3 Julgue as afirmativas: (0) Três eventos A, B e C são independentes se e somente se P(A B C) = P(A)P(B)P(C). (1) Se P(A) = (1/3) e P(B c ) = 1/5, A e B não são disjuntos. (2) Se P(A) = 0,4, P(B) = 0,8 e P(A B) = 0,2, então P(B A) = 0,4. (3) Se P(B) = 0,6 e P(A B) = 0,2, então P(A c B c ) = 0,88. (4) Se P(A) = 0, então A =. 12. ANPEC 2011 Questão 15 Num torneio de squash entre três jogadores, A, B e C, cada um dos competidores enfrenta todos os demais uma única vez (isto é, A joga contra B, A joga contra C e B joga contra C). Assuma as seguintes probabilidades: P(A vença B) = 0,6, P(A vença C) = 0,7, P(B vença C) = 0,6 Assumindo independência entre os resultados das partidas, compute a probabilidade de que A vença um número de partidas pelo menos tão grande quanto qualquer outro jogador. Multiplique o resultado por ANPEC 2010 Questão 3 Sobre a Teoria das Probabilidades e considerando A, B e C três eventos quaisquer, mas com probabilidades de ocorrência diferentes de zero, indique as alternativas corretas e falsas: (0) P(A B) / P(B A) = P(A)/P(B) ; (1) Se dois eventos A e B são mutuamente exclusivos e exaustivos, eles são independentes; 5

6 (2) P(A B C) = P(A B) + P(C) se A, B e C são independentes; (3) Probabilidade é uma função que relaciona elementos do espaço de eventos a valores no intervalo fechado entre zero e um; (4) P(A B C) P(A)+P(B)+P(C), com desigualdade estrita se, e somente se, os eventos forem independentes. 14. ANPEC 2009 Questão 2 Sobre Teoria das Probabilidades indique as alternativas corretas e falsas: (0) Sejam 3 eventos A, B e C. Então, podemos demonstrar que P( A B) P( C B) P( A B C) P( C B) P( A B C ), assumindo que todos os eventos tem probabilidade positiva. (1) Se dois eventos A e B são independentes, os eventos A e B não serão necessariamente independentes. (2) Se A, B e C são três eventos tais que A e B são disjuntos, A e C são independentes e B e C são independentes e supondo-se que 4P(A) = 2 P(B) = P(C) e P(A B C)=5P(A), pode-se dizer que P(A) = 1/6. (3) Se uma família tem exatamente n crianças (n 2) e assumindo-se que a probabilidade de que qualquer criança seja uma menina é igual a ½ e todos os nascimentos são independentes, pode-se afirmar que dado que a família tem no mínimo uma menina, a probabilidade da mesma ter no mínimo um menino é igual a (1 (0,5) n-1 )/ (1 (0,5) n ). (4) Se A, B e C são eventos com probabilidade não nula, definidos em um espaço amostral S, então P(A C B C)=P(A B C)/P(B C). 15. ANPEC 2008 Questão 13 Uma seguradora verificou que, se um motorista acidentou o carro no ano 2005, a probabilidade de que ele repita o acidente em 2006 é de 60%; e que se ele não acidentou o carro em 2005, a probabilidade de que isso aconteça em 2006 é de 30%. Assuma que as probabilidades sejam estáveis ao longo do tempo. Pergunta-se: tendo o motorista se acidentado em 2005, qual a probabilidade de que ele venha a se acidentar novamente em 2007? 16. ANPEC Questão 13 Um jogador tem R$2.000,00, aposta R$1.000,00 de cada vez e ganha R$1.000,00 com probabilidade 0,5. Ele pára de jogar se perder os R$2.000,00 ou ganhar R$4.000,00. Qual é a probabilidade de que ele perca todo o seu dinheiro após no máximo 5 rodadas de jogo? Multiplique o resultado por 8. 6

7 17. ANPEC Questão 12 Lista de Exercícios #1 Em uma região, 25% da população são pobres. As mulheres são sobre-representadas neste grupo, pois constituem 75% dos pobres, mas 50% da população. Calcule a proporção de pobres entre as mulheres. Multiplique o resultado por 100 e omita os valores após a vírgula. 18. ANPEC Questão 15 As lâmpadas coloridas produzidas por uma fábrica são 50% vermelhas, 30% azuis e 20% verdes. Em uma amostra de 5 lâmpadas, extraídas ao acaso, encontre a probabilidade de duas serem vermelhas, duas serem verdes e uma ser azul. Multiplique o resultado por ANPEC Questão 12 Três máquinas, A, B e C, produzem respectivamente 50%, 30% e 20% do número total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas na produção dessas máquinas são respectivamente 3%, 4% e 5%. Uma peça é selecionada ao acaso e constata-se ser ela defeituosa. Encontre a probabilidade de a peça ter sido produzida pela máquina A. (Use apenas duas casas decimais. Multiplique o resultado final por 100). 20. ANPEC Questão 1 Considere o espaço amostral S, os eventos A e B referentes a S e a medida de probabilidade P. (0) Se P(A) = 1, P(B) = 2 (1) Se A B, então P(A B) P(A). (2) Se P(A) = 1, P(B) = 1 e P(A B) = 2 3 indicam os eventos complementares. 1, e A e B são mutuamente exclusivos, então P(A B) = , então P(A 4 C B C ) = 5, em que A 12 C e B C (3) Se B 1,B2,..., Bk representam uma partição de um espaço amostral S, então para A S P( Bi ) P( A Bi ) tem-se que P( Bi A) k, i 1, 2,... k. P( B ) P( A B ) j 1 (4) Se P(A B) = 0 então A e B são independentes. j j 7

8 21. ANPEC Questão 1 Os formandos de determinada faculdade de economia tomaram as seguintes decisões para o ano seguinte: Decisão Homens Mulheres Totais Fazer mestrado em economia Fazer outros cursos Procurar emprego Totais Com base nessas informações, é correto afirmar: (0) A probabilidade de que as mulheres continuem estudando é aproximadamente 46% superior à dos homens. (1) Sabendo-se que alguém optou por procurar emprego, a probabilidade de ser homem é 64%. (2) Se a probabilidade de ser aprovado no exame de seleção para mestrado em economia é de 30%, espera-se que 1/4 dos homens iniciem o curso no ano seguinte. (3) Se a probabilidade de encontrar emprego é de 40% e a de ser aprovado nos exames de seleção é de 30% e 45%, respectivamente, para o mestrado em economia e para os outros cursos, espera-se que 9 mulheres atingirão seus objetivos. (4) Entre os formandos que pretendem continuar estudando, 1/3 é mulher que pretende fazer mestrado em economia. 22. ANPEC Questão 1 Considere a terna (S,,P), em que S é o conjunto Universo, é o conjunto dos possíveis eventos e, P é uma medida de probabilidade. Verifique quais das afirmativas abaixo são verdadeiras (V) e quais são falsas (F): (0) Se dois eventos são disjuntos, eles serão também independentes. (1) Para dois eventos quaisquer A e B, Prob (A) = Prob (A B c ) + Prob (A B), em que B c é o complemento de B. (2) Sejam dois eventos A e B, em que Prob (A) = 1/2 e Prob (B) = 1/3. Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então Prob (B A c ) é igual a 1/6. (3) Sejam os eventos A, B e C, tais que Prob (A B C) = Prob(A). Prob(B). Prob(C). Pode-se então afirmar que estes eventos são independentes. 8

9 23. ANPEC Questão 15 Lista de Exercícios #1 Com relação à Teoria da Probabilidade podemos afirmar que: (0) Sendo A e B dois eventos independentes e se P(A) = 0,5 e P(B) = 0,4, então P(A B) = 0,5. (1) Sendo A e B dois eventos mutuamente exclusivos e se P(A) = 0,5 e P(B) = 0,4, então P(A B) = 0,5. (2) Seja S um espaço amostral e A e B dois eventos quaisquer associados a S. Então P( A B) P( A B) ocorreu o evento B. 1, onde P( A B) = probabilidade de ocorrência do evento A dado de (3) Um projeto para ser transformado em lei deve ser aprovado pela Câmara dos Deputados e pelo Senado. A probabilidade de ser aprovado pela Câmara dos Deputados é de 40%. Caso seja aprovado pela Câmara, a probabilidade de ser aprovado no Senado é 80%. Logo, a probabilidade desse projeto ser transformado em lei é de 32%. (4) Num processo eletivo 55% dos votantes são homens. Sabe-se que dentre os homens 40% preferem o candidato A, 50% o candidato B e os 10% restantes votam nos demais candidatos. Dentre as mulheres 60% preferem A, 25% preferem B e o restante os demais candidatos. Se um voto escolhido ao acaso for para o candidato A, a probabilidade deste voto ser de uma mulher é de 55,1%. 24. ANPEC Questão 2 Considere um espaço amostral com a terna (,,P), onde é o conjunto Universo, é o conjunto dos possíveis eventos e, P, é uma medida de probabilidade. Assim, pode-se afirmar: (0) Se A, B e C são eventos de, então o evento exatamente um dos eventos ocorre é expresso na notação de conjunto como (A B C ) (A B C ) (A B C). (1) Se A e B são dois eventos quaisquer de, então P(AUB) P(A) + P(B). (2) Se A e B são dois eventos quaisquer de, onde P(A)=1/2, P(B)=1/3 e P(A B) =3/4, então P( A B)=1/4 e P(A B ) =1/4. (3) Se A e B são dois eventos quaisquer de, então se P(A B) > P(A) tem-se que P(B A) > P(B). 9

10 25. ANPEC Questão 3 A tabela de contingência a seguir apresenta os dados de uma amostra de 150 empresas, classificados segundo quatro grupos industriais e se o retorno sobre o capital próprio é maior ou menor que o retorno médio na amostra. Grupo Retorno sobre o capital próprio Total Industrial Acima da média (A) Abaixo da média (B) I II III IV Total Com base nestas informações, verifique as seguintes afirmações: (0) Se selecionarmos uma empresa ao acaso, a probabilidade da empresa ser do grupo III ou ter o retorno sobre o capital próprio abaixo da média é 40%. (1) Se selecionarmos uma empresa ao acaso, a probabilidade da empresa ser do grupo I é de 40%. (2) Se a empresa escolhida ao acaso for do grupo II, a probabilidade do retorno sobre o capital próprio estar acima da média é 50%. (3) Se duas empresas diferentes são escolhidas ao acaso, a probabilidade de sair primeiro uma empresa do grupo I e depois uma empresa do grupo III é aproximadamente igual a 8%. (4) O evento grupo I independe estatisticamente do evento retorno sobre o capital próprio acima da média. 10