Estatística: exercícios (2008/2009)

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1 I STITUTO POLITÉC ICO DE BRAGA ÇA ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA E GESTÃO DE MIRANDELA Estatística: exercícios (2008/2009) Folha de exercícios n.º 4 : probabilidades Utilizando diagramas de Venn, verifique quais dos seguintes conjuntos são iguais entre si:, B A,,,,,, Considere a experiência aleatória Lançar um dado equilibrado. a) Identifique o espaço amostral da experiência aleatória descrita. b) Identifique o seguinte acontecimento: Sair uma face voltada para cima com um número par de pintas. c) Calcule a probabilidade do acontecimento da alínea anterior Considere a experiência aleatória Lançar duas moedas equilibradas. a) Identifique o espaço amostral da experiência aleatória descrita anteriormente. b) Calcule a probabilidade do acontecimento Sair pelo menos uma cara. c) Calcule a probabilidade do acontecimento Não sair cara Numa fábrica de automóveis, 4 em cada 10 automóveis produzidos têm cor branca. Desses, apenas 1 vem equipado com sistema ABS, enquanto que, dos restantes 6, 4 deles vêm equipados com sistema ABS. a) Escolhendo, ao acaso, um carro produzido pela fábrica, calcule a probabilidade de ele não vir equipado com sistema ABS. b) Escolhendo, ao acaso, um carro equipado com sistema ABS, qual a probabilidade de ter cor branca? 1/5

2 4.5. Sabe-se, por inquéritos médicos, que um indivíduo pertencente a uma determinada população tem a probabilidade de 0,01 de ser infectado pelo vírus R e a probabilidade de 0,05 de ser infectado pelo vírus S. a) Sabendo que estas contaminações são independentes, qual a probabilidade de um indivíduo, escolhido ao acaso, ser infectado por pelo menos um desses vírus? b) Numa amostra de indivíduos dessa população, quantos se espera encontrar contaminados com pelo menos um desses vírus? 4.6. Supondo que A e B são dois acontecimentos associados a uma experiência aleatória e que P(A) = 0,5, P(B) = 0,3 e P(A B) = 0,2. a) Dê o significado, em termos de acontecimento, a e calcule a sua probabilidade. b) Calcule a probabilidade P(A\B). Serão aleatoriamente independentes os acontecimentos A e B? Justifique a resposta Numa população 60% dos indivíduos tem excesso de peso e 30% tem tensão alta. Sabe-se ainda que 35% dos indivíduos não tem excesso de peso nem tensão alta. Pode concluir que a tensão arterial é independente do peso? Justifique a sua resposta Numa instituição do ensino superior fez-se, durante bastante tempo, um estudo sobre o número de alunos que se matriculam nos cursos livres de Inglês e Francês, tendo-se concluído que: 25% dos alunos matriculam-se apenas em Inglês; 12% dos alunos matriculam-se apenas em Francês; 5% dos alunos matriculam-se em ambas as disciplinas. a) Construa um diagrama de Venn para ilustrar a situação. b) Sejam os acontecimentos I - Matricular-se em Inglês e F - Matricular-se em Francês. Determine a probabilidade de um aluno daquela instituição: (i) se matricular em Inglês ou em Francês; (ii) se matricular em Inglês, dado que se matriculou em Francês; (iii) não se matricular em Inglês, dado que se matriculou em Francês. c) Justifique que os acontecimentos I e F não são independentes. 2/5

3 4.9. Numa determinada população, 20% dos habitantes lêem o semanário As ovidades da Semana, 10% lêem o semanário Bem informado e 4% lêem ambos os semanários. Escolhida uma família ao acaso, calcule a probabilidade de: a) ler pelo menos um semanário; b) não ler qualquer semanário; c) ler um e um só semanário Em cima de uma mesa existem 4 urnas com 5 bolas (brancas e pretas). Sabe-se que: a urna n.º 1 tem 3 bolas brancas, a urna n.º 2 tem 1 bola branca, a urna n.º 3 tem 5 bolas brancas, a urna n.º 4 tem 4 bolas brancas. Retirando uma bola ao acaso de uma das urnas, qual a probabilidade de sair bola branca? Nas experiências que Mendel realizou com ervilhas, observou 315 redondas e amarelas, 108 redondas e verdes, 101 enruladas e amarelas 32 enruladas e verdes. Calcule estimativas das seguintes probabilidades: a) P(redonda e amarela); b) P(redonda\verde); c) P(redonda); d) P(amarela\ ) Efectuou-se um estudo sobre as vendas de automóveis no stand AUTO-MÓVEL, o qual revelou que: 15% dos clientes compram automóvel com alarme e com rádio; 20% dos clientes compram automóvel sem alarme e sem rádio; 45% dos clientes compram automóvel com alarme (com ou sem rádio); Um cliente acaba de comprar um automóvel. 3/5

4 a) A Marina, empregada do stand, que nada sabia das preferências desse cliente e não tomou conhecimento do equipamento do automóvel que ele tinha comprado, apostou que esse automóvel estava equipado com rádio, mas não tinha alarme. Qual é a probabilidade de a Marina acertar? Apresente o resultado na forma de percentagem. b) Posteriormente, alguém informou a Marina que o referido automóvel foi equipado com alarme. Ela apostou, então, que o automóvel também tinha rádio. Qual é a probabilidade de a Marina ganhar esta nova aposta? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível A probabilidade de um indivíduo de determinada cidade ser diabético é 0,10. O teste utilizado para detectar a doença dá resultado positivo em 90% dos diabéticos e em 5% dos não diabéticos. a) Qual a probabilidade de o teste, a um indivíduo escolhido ao acaso, ser positivo? b) Sabendo que o teste é positivo, qual a probabilidade de o indivíduo ser diabético? Numa exposição encontram-se 12 quadros, dos quais 9 são autênticos e 3 são cópias. Um comprador escolhe um quadro ao acaso e pede a opinião a um perito sobre a sua autenticidade. Sabe-se que se o quadro é autêntico, o perito considera-o como tal em 80% dos casos e quando o quadro é uma cópia, o perito considera-o como tal em 65% dos casos. a) Qual a probabilidade de o perito considerar o quadro autêntico? b) Sabendo que o perito afirma que o quadro escolhido é autêntico, qual a probabilidade de o quadro o ser de facto? Um estudo realizado na empresa Profalta, onde o número de homens a trabalhar é o dobro do número de mulheres, revelou que as mulheres faltam ao trabalho com probabilidade igual a 0; 05 e que os homens o fazem com probabilidade igual a 0; 02. Num dia aleatoriamente seleccionado diga qual a probabilidade de: a) Faltar uma pessoa. b) Sabendo que faltou uma pessoa, tratar-se de uma mulher Uma fábrica utiliza três máquinas para a produção de um mesmo produto, com as seguintes percentagens de produção: M 1 : 40%; M 2 : 35% e M 3 : 25%. As percentagens de peças defeituosas produzidas por cada máquina são, respectivamente, 4%, 2% e 1%. a) Escolhida uma peça ao acaso da produção total, calcule a probabilidade de ser não defeituosa. 4/5

5 b) Qual a probabilidade de ter sido produzida pela máquina M 1, observando-se que é defeituosa? c) Se fossem retiradas duas peças, sucessivamente e com reposição, da produção total, qual a probabilidade de que apenas uma fosse defeituosa? Num estudo sobre «novos hábitos» dos alunos, observa-se que: 10% costumam tomar o pequeno-almoço durante a aula; outros 30% acham ser a melhor altura para pôr a conversa em dia, dos quais 90% nunca têm dúvidas; 30% tanto dos que tomam o pequeno-almoço como dos restantes, têm por hábito apresentar dúvidas sobre a matéria leccionada. a) Sabendo-se que um aluno apresentou uma dúvida sobre a matéria, qual a probabilidade de estar a tomar o pequeno-almoço? b) Pode afirmar-se que mais de 80% dos alunos não apresentam dúvidas na aula? Os trabalhadores da companhia Viversegura, Lda. foram classificados em três níveis de acordo com o grau de instrução: formação mínima, formação média e formação superior. Sabe-se que: nenhum dos trabalhadores com formação mínima aufere mais do que 1000 ; 55% dos trabalhadores têm salário superior a 1000 ; 40% dos trabalhadores com formação média tem salário superior a 1000 ; 70% dos trabalhadores com formação superior tem salário superior a 1000 ; 10% dos trabalhadores tem formação mínima. a) Calcule a probabilidade de um trabalhador escolhido ao acaso ter formação média. b) Determine a probabilidade de um trabalhador ter formação superior, sabendo que ganha mais de /5