Prof. Tiago Viana Flor de Santana Sala 07

Transcrição

1 5.11 Prof. Tiago Viana Flor de Santana Sala 07 Universidade Estadual de Londrina UEL Departamento de Estatística DSTA Tiago VFS (UEL/DSTA) 1 / 20

2 5.11 Definição: Seja A e B dois eventos de Ω, denomina-se probabilidade condicional a relação P(A B) = P(A B) P(B), P(B) > 0 Interpretação: P(A B) é a probabilidade de ocorrer A sabendo que ocorreu B. P(A B): leia P de A dado B. Tiago VFS (UEL/DSTA) 2 / 20

3 5.11 Na Tabela 5.3 do exemplo 5.6, Dado que um estudante, escolhido ao acaso, matriculado no curso de Estatística, qual a probabilidade de ser Mulher? Tabela 5.3 Distribuição de alunos segundo o sexo e escolha de curso. Sexo Curso Homens(H) Mulheres(F) Matemática Pura(M) Matemática Aplicada(A) Estatística(E) Computação(C) Tiago VFS (UEL/DSTA) 3 / 20

4 5.11 Na Tabela 5.3 do exemplo 5.6, Dado que um estudante, escolhido ao acaso, matriculado no curso de Estatística, qual a probabilidade de ser Mulher? Tabela 5.3 Distribuição de alunos segundo o sexo e escolha de curso. Sexo Curso Homens(H) Mulheres(F) Matemática Pura(M) Matemática Aplicada(A) Estatística(E) Computação(C) P(F E) = P(F E) P(E) = 20/200 30/200 = 2 3 = 0, 667 Posteriori P(F ) = = 17 = 0, 425 Priori 40 Tiago VFS (UEL/DSTA) 3 / 20

5 5.11 Definição: Uma consequência direta da definição de probabilidade condicional é Generalização: P(A B) = P(B)P(A B) P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 ) P(A 2 A 1 ) P(A 3 A 1 A 2 ) P(A n A 1 A 2 A n 1 ) Tiago VFS (UEL/DSTA) 4 / 20

6 Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três vermelhas (V). Suponha que são sorteadas duas bolas ao acaso, sem reposição Represente o para esse experimento. Ω = {B 1 V 2, B 1 B 2, V 1 B 2, V 1 V 2 } 2 Qual a probabilidade de cada resultado do experimento? Tiago VFS (UEL/DSTA) 5 / 20

7 3/4 V 2 B 1 V 2 ; P(V 2 B 1 ) = P(B 1 )P(V 2 B 1 ) B /5 1/4 B 2 B 1 B 2 ; P(B 2 B 1 ) = P(B 1 )P(B 2 B 1 ) 3/5 V 1 2/4 2/4 B 2 V 1 B 2 ; P(B 2 V 1 ) = P(V 1 )P(B 2 V 1 ) V 2 V 1 V 2 ; P(V 2 V 1 ) = P(V 1 )P(V 2 V 1 ) Tiago VFS (UEL/DSTA) 6 / 20

8 3/4 V 2 B 1 V 2 ; P(V 2 B 1 ) = = 3 10 B /5 1/4 B 2 B 1 B 2 ; P(B 2 B 1 ) = = /5 V 1 2/4 2/4 B 2 V 1 B 2 ; P(B 2 V 1 ) = = 3 10 V 2 V 1 V 2 ; P(V 2 V 1 ) = = 3 10 Tiago VFS (UEL/DSTA) 7 / 20

9 Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três vermelhas (V). Suponha que são sorteadas duas bolas ao acaso, com reposição Represente o para esse experimento. Ω = {B 1 V 2, B 1 B 2, V 1 B 2, V 1 V 2 } 2 Qual a probabilidade de cada resultado do experimento? Tiago VFS (UEL/DSTA) 8 / 20

10 3/5 V 2 B 1 V 2 ; P(V 2 B 1 ) = P(B 1 )P(V 2 B 1 ) = P B /5 2/5 B 2 B 1 B 2 ; P(B 2 B 1 ) = P(B 1 )P(B 2 B 1 ) = P 3/5 V 1 2/5 3/5 B 2 V 1 B 2 ; V 2 V 1 V 2 ; P(B 2 V 1 ) = P(V 1 )P(B 2 V 1 ) = P P(V 2 V 1 ) = P(V 1 )P(V 2 V 1 ) = P Tiago VFS (UEL/DSTA) 9 / 20

11 3/5 V 2 B 1 V 2 ; P(V 2 B 1 ) = = 6 25 B /5 2/5 B 2 B 1 B 2 ; P(B 2 B 1 ) = = /5 V 1 2/5 3/5 B 2 V 1 B 2 ; P(B 2 V 1 ) = = 6 25 V 2 V 1 V 2 ; P(V 2 V 1 ) = = 9 25 Tiago VFS (UEL/DSTA) 10 / 20

12 5.11 Definição: Dois conjuntos A e B são ditos se satisfazem ou, o que é equivalente P(A B) = P(A) P(A B) = P(A)P(B) Tiago VFS (UEL/DSTA) 11 / 20

13 5.11 Generalização: Uma sequência finita de eventos A 1, A 2,... A n é dita independente se satisfaz P(A i A j ) = P(A i )P(A j ) P(A i A j A l ) = P(A i )P(A j )P(A l ). P(A i A j A l A k ) = P(A i )P(A j )P(A l ) P(A k ) Ou seja, se a probabilidade das intersecções dos eventos combinados dois a dois, três a três,..., n a n é igual ao da probabilidade de cada evento. Tiago VFS (UEL/DSTA) 12 / 20

14 5.11 : Os eventos A, B e C são se satisfazem P(A B) = P(A)P(B) P(A C) = P(A)P(C) P(B C) = P(B)P(C) P(A B C) = P(A)P(B)P(C) Se a última igualdade não é válida, então os eventos são mutuamente. Tiago VFS (UEL/DSTA) 13 / 20

15 5.11 Definição: Uma coleção de eventos A i, i = 1,..., m é uma partição do se m A i = Ω i=1 e m A i = i=1 Tiago VFS (UEL/DSTA) 14 / 20

16 Definição: Se A 1, A 2,..., A n formam uma partição do e B é qualquer evento de Ω então 5.11 P(B) = P(A 1 )P(B A 1 ) + P(A 2 )P(B A 2 ) P(A n )P(B A n n = P(A i )P(B A i ) i=1 Tiago VFS (UEL/DSTA) 15 / 20

17 5.11 Teorema: Se A 1, A 2,..., A n formam uma partição do e B é qualquer evento de Ω então P(A i B) = P(A i )P(B A i ) n j=1 P(A j)p(b A j ) Tiago VFS (UEL/DSTA) 16 / 20

18 5.11 Para selecionar seus funcionários, uma empresa oferece aos candidatos um curso de treinamento durante uma semana. No final do curso, eles são submetidos a uma prova e 1 25% são classificados como bons (B); 2 50% são classificados como médios (M); 3 25% são classificados como fracos (F) Para facilitar a seleção, a empresa pretende substituir o treinamento por um teste contendo questões referentes a conhecimentos gerais e específicos. Tiago VFS (UEL/DSTA) 17 / 20

19 5.11 Para isso, gostaria de conhecer qual a probabilidade de um indivíduo aprovado no teste ser considerado fraco, caso fizesse o curso. Assim, neste ano, antes do início do curso, os candidatos foram submetidos ao teste e receberam o conceito aprovado (A) ou reprovado (R). No final do curso, obtiveram-se as seguintes probabilidades condicionais: P(A B) = 0, 80 P(A M) = 0, 50 P(A F ) = 0, 20 A empresa deve optar pelo teste ou pelo curso? Tiago VFS (UEL/DSTA) 18 / 20

20 5.11 Exercício 23 Uma companhia produz circuitos em três fábricas, I, II e III. A fábrica I produz 40% dos circuitos, enquanto a II e a III produzem 30% cada uma. As probabilidades de que um circuito integrado produzido por essas fábricas não funcione são 0,01, 0,04 e 0,03, respectivamente. Escolhido um circuito da produção conjunta das três fábricas, qual a probabilidade de o mesmo não funcionar? Tiago VFS (UEL/DSTA) 19 / 20

21 5.11 Exercício 23 Uma companhia produz circuitos em três fábricas, I, II e III. A fábrica I produz 40% dos circuitos, enquanto a II e a III produzem 30% cada uma. As probabilidades de que um circuito integrado produzido por essas fábricas não funcione são 0,01, 0,04 e 0,03, respectivamente. Escolhido um circuito da produção conjunta das três fábricas, qual a probabilidade de o mesmo não funcionar? Resp.: 0,025 Tiago VFS (UEL/DSTA) 19 / 20

22 5.11 Exercício 24 Considere a situação do problema anterior, mas suponha agora que um circuito escolhido ao acaso seja defeituoso. Determine qual a probabilidade de ele ter sido fabricado por I. Tiago VFS (UEL/DSTA) 20 / 20

23 5.11 Exercício 24 Considere a situação do problema anterior, mas suponha agora que um circuito escolhido ao acaso seja defeituoso. Determine qual a probabilidade de ele ter sido fabricado por I. Resp.: 0,16 Tiago VFS (UEL/DSTA) 20 / 20