Aula 07 Introdução ao Cálculo de Probabilidades

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1 ula 07 Introdução ao Cálculo de robabilidades Stela dami Vayego - DST/UR 1

2 xperimentos ou enômenos leatórios São experimentos que, quando repetidos em condições similares, fornecem resultados diferentes. Não podemos saber o resultado a priori. Stela dami Vayego - DST/UR 2

3 Modelos robabilísticos Distribuições de robabilidades Verificação do fenômeno na natureza + construção da sua distribuição de freqüências conhecimento empírico + teoria das probabilidades matematizar a natureza criar modelos probabilísticos Stela dami Vayego - DST/UR 3

4 Vantagem dos Modelos robabilísticos Ser possível, com algumas suposições adequadas hipóteses ou conjecturas e sem a necessidade de se observar diretamente o fenômeno, estabelecer distribuições de probabilidades que representam muito bem as distribuições de freqüências, que só podem ser construídas após observar o fenômeno. Utilizar as probabilidades para exprimir a chance de ocorrência de determinado fenômeno aleatório. Stela dami Vayego - DST/UR 4

5 spaço mostral Ω O conjunto de todos os possíveis resultados do experimento é chamado de espaço amostral e é denotado pela letra grega Ω. Um espaço amostral é dito discreto quando ele for finito ou infinito enumerável; É dito contínuo quando for infinito, formado por intervalos de números reais. Stela dami Vayego - DST/UR 5

6 xemplos: 1 Numa fazenda, após selecionar um cordeiro com 3 meses de idade, ao acaso, verificar se pesa mais de 30Kg. Ω {sim, não} 2 Numa uma amostra de 3 cordeiros verificar quantos pesam mais de 30Kg. Ω {SSS, SSN, SNS, NSS, SNN, NSN, NNS, NNN} ou {0, 1, 2, 3} 3 Numa fazenda, selecionar um cordeiro e anotar seu peso. Ω {x, tal que x R e x 0 Kg }. Stela dami Vayego - DST/UR 6

7 ventos leatórios Chamamos de evento a qualquer subconjunto do espaço amostral: é um evento Ω Stela dami Vayego - DST/UR 7

8 Operações entre ventos a União: b intersecção: c complementar: c Ω Ω Ω Stela dami Vayego - DST/UR 8

9 Operação Conjunto vento a União b Intersecção c Complementar c reúne os elementos de ambos os conjuntos formado somente pelos elementos que estão em e formado pelos elementos que não estão em ocorre quando ocorrer pelo menos um deles, ou ambos ocorre quando ocorrer ambos os eventos e ocorre quando não ocorrer o evento não Stela dami Vayego - DST/UR 9

10 ventos Mutuamente xclusivos Disjuntos ventos são ditos mutuamente exclusivos se e só se eles não puderem ocorrer simultaneamente. e são mutuamente exclusivos Ω Stela dami Vayego - DST/UR 10

11 xemplo: Numa população de 200 ovinos das raças, Hampshire e Suffolk, os animais podem ser fecundos e não fecundos, conforme tabela: Raça Sim ecundidade Não Total Hampshire Suffolk Total a Dê exemplo de um evento simples. b Dê exemplo de um evento combinado. c Qual é o complemento do evento animal é Suffolk? d or que animal é Suffolk e é fecundo é um evento combinado? Stela dami Vayego - DST/UR 11

12 robabilidade de ventos nfoque Clássico n n Ω nfoque statístico xiomas lim n m n Stela dami Vayego - DST/UR 12

13 lgumas ropriedades 0 Ω 1 robabilidade do evento complementar c 1 Ω c Stela dami Vayego - DST/UR 13

14 Stela dami Vayego - DST/UR 14 Regra da soma das probabilidades + Ω Se e mutuamente exclusivos, então: +

15 xemplo: Nos dados do exemplo anterior, se um animal for selecionado aleatoriamente, qual a probabilidade de que: a O animal seja Hampshire? b O animal não seja Hampshire? c O animal seja Hampshire e fecundo? d O animal não seja Hampshire e não seja fecundo? e O animal seja Hampshire ou seja fecundo? f O animal não seja Hampshire ou seja fecundo? Stela dami Vayego - DST/UR 15

16 xemplo: Numa população de 200 ovinos das raças, Hampshire e Suffolk, os animais podem ser fecundos e não fecundos, conforme tabela: Raça Sim ecundidade Não Total Hampshire Suffolk Total Qual a probabilidade de um animal ser Hampshire sabendo que ele é fecundo? Stela dami Vayego - DST/UR 16

17 robabilidade Condicional Sejam e eventos quaisquer, sendo > 0. Definimos a probabilidade condicional de dado por Stela dami Vayego - DST/UR 17

18 Stela dami Vayego - DST/UR Regra do produto Teorema da Multiplicação ou

19 ventos independentes Dois ou mais eventos são independentes quando a ocorrência de um dos eventos não influencia a probabilidade da ocorrência dos outros. Nesse caso: e e são independentes. Stela dami Vayego - DST/UR

20 xemplo: Um cientista quer saber se existe dependência entre a cegueira para cores evento C e a surdez nos homens evento S. ara tanto ele observou um grande número de homens e obteve as seguintes probabilidades: Cegueira Sim S Surdez Não NS Total Sim C 0,0004 0,0796 0,0800 Não NC 0,0046 0,9154 0,9200 Total 0,0050 0,9950 1,0000 Qual a probabilidade de surdez sabendo que o homem selecionado é cego? Stela dami Vayego - DST/UR 20

21 Teorema da probabilidade total xemplo : ara selecionar os funcionários, uma empresa oferece aos candidatos um curso de treinamento durante uma semana. No final do curso, eles são submetidos a uma prova e 25% são classificados como bons, 50% como médios M e os restantes 25% como fracos. ara facilitar a seleção, a empresa pretende substituir o treinamento por um teste contendo questões referentes a conhecimentos gerais e específicos. 80% dos classificados. ara isso, gostaria de conhecer a probabilidade de um indivíduo ser aprovado no teste. Stela dami Vayego - DST/UR

22 Stela dami Vayego - DST/UR Teorema da probabilidade total k... ]... [ k k k i i i 1

23 Teorema de ayes xemplo: Uma empresa de sementes fiscalizadas vende pacotes com 20Kg cada. s máquinas, e C enchem 25, 35 e 40% do total produzido, respectivamente. Da produção de cada máquina 5, 4 e 2%, respectivamente, são pacotes fora do peso aceitável. scolha-se ao acaso um pacote e verifica-se que esta fora do peso. Qual a probabilidade dele ter vindo máquina? Stela dami Vayego - DST/UR

24 Stela dami Vayego - DST/UR Teorema de ayes i i i i i