Notas de aula. Idemauro Antonio Rodrigues de Lara

Transcrição

1 Notas de aula robabilidade: fundamentos Idemauro ntonio Rodrigues de Lara

2 Justificativas ase teórica para a inferência estatística. Mensuração da possibilidade de ocorrência de fenômenos ou experimentos aleatórios.

3 Exemplo opulação urbana arâmetro idade média Selecionar uma amostra de 500 indivíduos de uma população urbana e estimar a idade média. média amostral depende da escolha da amostra, portanto tem padrão aleatório variável aleatória

4 Outros Exemplos: Estimar a probabilidade de chuva em um determinado dia previsão. Calcular a probabilidade de que uma árvore de uma dada espécie, selecionada aleatoriamente, tenha mais de 150 cm de altura. Calcular a probabilidade de que em uma região da cidade, no verão, ocorram menos de 3 casos de dengue por Km².

5 robabilidade EXERIMENTO LETÓRIO OSSUEM REGULRIDDE ESTTÍSTIC

6 Exemplos 1. Selecionar uma pessoa ao acaso e avaliar exame seu tipo de sangue 2. Medir a altura de uma árvore 3. Lançamento de uma moeda 4. Tempo de reação de uma pomada anestésica 5. Número de partículas de radioativas presentes na atmosfera;

7 Conceitos Espaço mostral Eventos: 1. pessoa tem sangue + 2. altura é inferior a 120 cm 3. Ocorre cara 4. O tempo de reação é inferior a 5 minutos 5. Há ao menos 20 partículas de vírus

8 Definições de probabilidade 1. Clássica Laplace, robabilidade como limite de uma frequência relativa 3. Definição moderna: xiomas de Kolmogorov

9 Exemplo 1 No lançamento de um dado honesto, estimar a probabilidade de ocorrer face par. Espaço amostral {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento : face par = {2, 4, 6} = 3/6 = 0,50

10 Exemplo 2 Entre partos sucessivos em S e que resultaram em crianças vivas, 100 foram de gêmeos. Estimar a probabilidade de gêmeos entre os nascidos vivos. p = 100/10878 = 0,00919

11 Regras úteis robabilidade do evento complementar C robabilidade de que não ocorra o evento C 1

12 Teorema da união

13 Exemplo 3 Numa população humana, a probabilidade de ser surdo é estimada em 0,0050, a probabilidade de ser cego em 0,0085 e a probabilidade de ser cego e surdo em 0,0006. Qual é a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser surda ou cega? p = 0,0129

14 robabilidade condicional Considere as situações: 1. Qual é a probabilidade de ocorrer número 3 no lançamento de um dado honesto? 2. Qual é a probabilidade de ocorrer número 3 no lançamento de um dado honesto, se sabe-se que ocorreu número ímpar?

15 Formalizando: Dados dois eventos e de uma σ-álgebra, a probabilidade de ocorrer dado é: 0 se 0 0 se se satisfazendo aos axiomas de Kolmogorov.

16 Teorema do produto. Da definição de probabilidade condicional i n i n i n i Generalização para n eventos

17 Exemplo: aplicação em amostragem Uma empresa produz um lote de 50 filtros de combustível, dos quais 6 são defeituosos. Escolhem-se aleatoriamente e testam-se dois filtros do lote. Determine a probabilidade de ambos serem bons, se os filtros são selecionados: [a.] com reposição; 0,7744 [b.] sem reposição. 0,7722

18 Eventos Independentes Dados dois eventos e de uma σ-álgebra, dizemos que e são independentes se: ou Ou ainda:

19 Exemplo daptado de Magalhães, 2004 Em famílias com 3 filhos, defina os eventos : filhos dos dois sexos e : no máximo uma menina entre os dois filhos. dmita igual probabilidade no nascimento de meninos e meninas. Nessas condições, mostre que os eventos e são independentes.

20 Independência coletiva Exemplo Considere 3 eventos tais que: C,, e C são independentes dois a dois mas não coletivamente.

21 Independência coletiva Definição - Os eventos 1, 2,..., independentes coletivamente se: n são i i 2... im i 1 i im em que: 1 i 1 i2... im n m 2,3,..., n Número de condições a serem verificadas: n 2 n 1

22 lgumas referências ndrade, D. F.; Ogliari,.J. Estatística para as ciências agrárias e biológicas. Ed. UFSC, ussab, W. O; Morettin,.. Estatística ásica. São aulo, Saraiva, 5 ed Magalhães, M. N; Lima,. C.. Noções de robabilidade e Estatística, Edusp, 2002.