Métodos Estatísticos 2006

Transcrição

1 Fenómeno e Experiência leatórios Métodos Estatísticos ª ula Teoria Elementar da Probabilidade Fenómeno (ou processo) aleatório O acaso interfere na ocorrência do resultado nos quais o fenómeno se pode traduzir Experiência aleatória Uma situação à qual estão associados de forma não controlada dois ou mais resultados possíveis. Lançamento de uma moeda - cara ou coroa. João oronha DT/ES 1 João oronha DT/ES 2 Espaço mostral Árvore de Resultados Espaço amostral (S ou ) o conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória. Lançamento de uma moeda {ara, oroa} Lançamento de um dado {1, 2, 3, 4, 5, 6 } úmero de itens defeituosos {0, 1, 2, 3,...} trasos no início da aula [0, + [ Pode ser discreto ou contínuo Os discretos podem ser Finitos ou infinitos Discreto finito Discreto infinito ontínuo João oronha DT/ES 3 João oronha DT/ES 4 1

2 contecimento contecimento um subconjunto do espaço amostral. S (espaço amostral) contecimento contecimento Simples ontém apenas um resultado contecimento omposto ontém mais do que um resultado contecimento erto contém todos os elementos do espaço amostral contecimento impossível sair um 7 num lançamento de um dado onjunto vazio ø S (espaço amostral) úmero impar úmero par 3 úmero <4 João oronha DT/ES 5 João oronha DT/ES 6 Operações com acontecimentos Reunião de com U Operações com acontecimentos Intersecção de com João oronha DT/ES 7 João oronha DT/ES 8 2

3 Operações com acontecimentos omplementar de Ā Probabilidade Definição clássica Se uma experiência aleatória tiver resultados mutuamente exclusivos e igualmente prováveis e se uma acontecimento contiver desses resultados ( ) então P ( ) = Probabilidade é a razão entre o número de resultados (casos) favoráveis e o número de resultados possíveis João oronha DT/ES 9 João oronha DT/ES 10 Dado que 0 então 0 P() 1 probabilidade está compreendida entre 0 e 1 P ( ) = Sendo o espaço amostral, P(), a probabilidade do acontecimento certo é dada por P()=1 contecimento certo P(ø)=0 contecimento impossível P() P(Ā) = 1- P() João oronha DT/ES 11 João oronha DT/ES 12 3

4 contecimentos Mutuamente Exclusivos = ø P ( ) = P (ø) Se e forem dois acontecimentos mutuamente exclusivos P ( U ) = P()+P() João oronha DT/ES 13 João oronha DT/ES 14 E se e não forem mutuamente exclusivos? P ( U ) = P()+P() P( ) E se em vez de 2 forem 3? P ( U U ) = P()+P() + P () P( ) P( ) P( ) + P ( ) João oronha DT/ES 15 João oronha DT/ES 16 4

5 P( ) = P() P ( ) Probabilidade ondicional Qual a probabilidade de ocorrer quando já ocorreu? P ( ) = P( ) P ( ) P ( ) = P ( ) ip ( ) João oronha DT/ES 17 João oronha DT/ES 18 contecimentos independentes Dois acontecimentos são independentes quando a ocorrência de um não afecta o outro P( ) = P( ) P( ) = P ( ) Mas como vimos anteriormente Permutações Permutações de n elementos distintos agrupamentos desses elementos que diferem uns dos outros apenas pela ordem em que os elementos estão dispostos. P ( ) = P ( ) ip ( ) Se e são independentes temos então P ( ) = P ( ) ip ( ) Pn = n ( n 1) ( n 2) 1= n! João oronha DT/ES 19 João oronha DT/ES 20 5

6 rranjos rranjos de n elementos distintos k a k os agrupamentos constituídos por k dos n elementos que diferem quer pelos elementos que neles figuram quer pela ordem na qual se dispõem. n P k n! = = n ( n k)! ( n k)! ombinações ombinações de n elementos distintos k a k os agrupamentos constituídos por k dos n elementos que diferem apenas pelos elementos que os compõem não sendo relevante a ordem pela qual se dispõem n n n k r n k n = kn k = ( 1) ( + 1)! = = k! k!( n k)! k! João oronha DT/ES 21 João oronha DT/ES 22 6