1.3 Probabilidade Condicional e Independência

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1 .3 robabilidade Condicional e Independência Com informações adicionais, o Espaço Amostral que contém os eventos aos quais são atribuídos probabilidades pode ser modificado Noção de robabilidade Condicional: probabilidade a ser obfda a parfr da revisão do espaço amostral com informação adicional. Ex..4: robabilidade de escolha de 4 cartas de um Fpo Aqui, há 4 etapas, 52 elementos (cartas), o evento impõe o Fpo de carta e cada etapa muda as possibilidades de escolha da etapa seguinte (sem reposição). Nesta caso o espaço amostral passa a ter um número de escolhas dado por Como só existe uma forma das 4 quartas serem de um certo Fpo, a probabilidade do evento será dada por Resultado que também pode ser obfdo ajustando-se o espaço amostral em cada etapa:

2 .3 robabilidade Condicional e Independência robabilidade Condicional: Se A e B são dois eventos em S e (B) > 0, a probabilidade condicional de A dado B, denotada por (A/B), é definida como: ( A / B) ( A B) ( B). Note-se, então, que: - Evento B passa a ser o espaço amostral, ou seja, ( B) B / ( ) 0 ( A / B) - ara A e B disjuntos ( A B φ ): 0 ( B) ( B / A) 0 ( A) 0

3 .3 robabilidade Condicional e Independência Ex..5: Experimento de jogar duas moedas (justas) sucessivamente e observar faces para cima. S {( CA,CA ),( CA,CR ),( CR,CA)( CR,CR) } Considere-se, então, as probabilidades dos eventos: i) Obtenção de duas caras, dado que na primeira moeda obteve-se cara. Com esta informação, é possível definir um novo espaço amostral com eventos que consideram esta informação: B {( CA,CA)( CA,CR) }, cuja probabilidade é dada por B 2 / 4 / 2 {} Note-se que a probabilidade do evento A CA,CA é dada por: ( A) {( CA,CA) } / 4. Assim, a probabilidade do evento em questão será dada por ( A B) ( A) / 4 A / B / 2 B B / 2

4 .3 robabilidade Condicional e Independência ii) Obtenção de duas caras, dado que em ao menos uma moeda obteve-se cara. Com nova informação, tem-se o novo conjunto de resultados possíveis: C CR,CA, CA,CR, CA,CA evento de ao menos uma cara. { } {} 4 Como visto, A CA,CA /. Desta forma, a probabilidade do evento em questão é obfda como: ( A C) ( C) ( A) / 4 ( A / C) / 3 C 3 / 4

5 .3 robabilidade Condicional e Independência iii) Obtenção de uma cara e uma coroa, dado que na primeira moeda obtevese coroa. Com esta informação, é possível definir um novo espaço amostral com eventos que consideram esta informação: D {( CR,CA)( CR,CR) }. Assim, a probabilidade condicional do evento E {( CR,CA)( CA,CR) } será dada por: ( E D) E / D D / 4 Com E D {( CR,CA) }, ( E D) / 4, ( D) / 2 E / D / / 2 2

6 .3 robabilidade Condicional e Independência Observações (robabilidade Condicional): a. ara qualquer evento B para o qual B >, é possível mostrar que a probabilidade de eventos condicionada ao evento B, (./ B) > 0, obedece aos axiomas da probabilidade. rova: exercício para casa. 0 b. (Regra de Bayes) Da definição de probabilidade condicional, ( A B) A / B ( A B) ( B ). ( A / B) ( B) ( A ). ( B / A) Logo, ( A) A / B B / A. B

7 .3 robabilidade Condicional e Independência b. (Regra de Bayes). É possível definir a Regra de Bayes de forma ampla. Seja A, A2,A3,... uma parfção contável (finita ou infinita) de S e B qualquer conjunto para o qual B. ara todo e qualquer evento A i, ( A / B) i j 0 ( B / A ). ( A ) i ( B / A ). ( A ) j i j ar o caso de uma parfção composta de apenas dois eventos A e, A2 C A. Logo: A ( A / B) 2 ( B / A ). ( A ) C C ( B / A ). ( A ) + ( B / A ). ( A ).

8 .3 robabilidade Condicional e Independência Ex..7 (Regra de Bayes) (M. cap.). Firma exploradora de petróleo. Eventos: A: erfuração produz petróleo B: CaracterísFcas geológicas da localidade favorecem descoberta de petróleo ela experiência, sabe-se que: - ( A ) 0, 06. Com esta informação, a probabilidade do evento perfuração C não produz petróleo A é, simplesmente, ( A C ) 0, B / A 0, e ( B / A C ) 0, 40 Questão: dado que uma localidade apresenta caracterísfcas favoráveis (evento B), qual a chance de se obter petróleo? De outra forma, A i / B ( A / B) ( B / A ). ( A ) C ( B / A ). ( A ) + ( B / A ). ( A ) Com era de se esperar, A / B >. 0, 85. 0, 06 0, 85. 0, , 40. 0, 94 C A i 02,?

9 .3 robabilidade Condicional e Independência Eventos Independentes: Dois eventos A e B são estafsfcamente independentes se ( A B) ( B ). ( A) Nesta situação: Como ( A / B) A B B, então ( A / B) ( A) B B ( B A) ( A) ( B) ( A) ( B / A) ( B / A) ( A) ( B) ( A) Ou seja, ocorrência de um evento não afeta ocorrência de outro.

10 .3 robabilidade Condicional e Independência Teorema.6 Se A e B são eventos independentes, então os seguintes pares de eventos também serão independentes: a. A e C b. A e B C c. A e C B C B rova: exercício para casa.

11 .3 robabilidade Condicional e Independência Ex..8 (M. Cap.) Uma firma escolhe mensalmente um trabalhador para premiação (escolha aleatória) a parfr da seguinte estrutura setorial: Vendas Admin. rodução Total Homens Mulheres Total a. O evento de se escolher uma mulher é independente do evento de se escolher uma trabalhador do setor administrafvo? Ou seja, mulher Ad min. mulher. Ad min.? Como ( mulher ) 0, 55, ( Ad min. ) 0, 30 e mulher Ad min. 065, mulher. Ad min. 0, 55 0, 30 0, 5000 Eventos são independentes. 65,

12 .3 robabilidade Condicional e Independência Ex..8 (M. Cap.) Uma firma escolhe mensalmente um trabalhador para premiação (escolha aleatória) a parfr da seguinte estrutura setorial: Vendas Admin. rodução Total Homens Mulheres Total b. O evento de se escolher uma mulher é independente do evento de se escolher um trabalhador do setor da produção? Ou seja, ( mulher r odução) ( mulher).( produção)? Como ( produção) 0, 20, ( mulher produção) 0, 05 e mulher. produção 0, 55 0, 20 0, Independentes, já que, então os eventos não são estat. ( mulher produção) 0, 05 ( mulher).( produção) 0,

13 .3 robabilidade Condicional e Independência Obs.: a definição de independência entre mais de dois eventos exige uma condição mais forte que a estabelecida para o caso de dois eventos. Tal dificuldade deriva do fato de que, por exemplo, para três eventos A, B e C onde: ( A B) ( A ). ( B) ( ) ( A B C) ( A).( B).( C) não é garanfdo que, A C A. C e B C B. C, e vice e versa.

14 .3 robabilidade Condicional e Independência Ex..9 : Experimento de lançamento de dois dados. S,, 2,,... 6,, 2,, 2, 2,..., ,,..., Amostral com 36 pares ordenados. { ( 6, 6) } { } A {pares com mesmo número},, 2, 2, 33,, 4, 4, 55,, 6. 6 B {soma está entre 7 e 0}, o que define B com 8 elementos C {soma é 2 ou 7 ou 8}, o que define C com 2 elementos, Espaço 6 Nestes casos, A 6 / 36 /, ( B) 8 / 36 / 2 e ( C) 2 / 36 / 3 Além disto, A B C 4, 4 / 36 ( / 6) ( / 2) ( / 3) A. B. C Contudo, ( B C) ( pares com soma 7 ou 8) /36 ( B ). ( C) ( / 2)(. / 3) ( A B) ( 4, 4),( 55, ) 2 / 36 / 8 ( A ). ( B) ( / 6)(. / 2) ( A C) (, ),( 4, 4 ) 2 / 36 / 8 ( A ). ( C) ( / 6)(. / 3)

15 .3 robabilidade Condicional e Independência Eventos Mutuamente Independentes O eventos A, A2,A3,..., A n são mutuamente independentes se, para qualquer sub-coleção A,A,..., A, k j A ij k j Ai, i2 i3 ( A ) ( A A A... A ) ( A ). ( A )...( A ) i i2 i3 ik i i2 ij ik ik

16 .3 robabilidade Condicional e Independência Ex..20: Lançamento de uma moeda três vezes. S {( CACACA ),( CACACR ),( CACRCA ),( CRCACA ),( CRCRCA ),( CRCACR ),( CACRCR ),( CRCRCR) } Hi : evento em que resultado é cara no i-ésimo lançamento, i, 2, 3. H {( CACACA ),( CACACR ),( CACRCA ),( CACRCR) } Com moeda justa, cada elemento do espaço amostral tem probabilidade /8 de ocorrer (ocorrência de um resultado não afeta ocorrência de outro). Assim, a probabilidade de ocorrência de H é dada por: ( H ) 4 / ( H ) ( H ) 8 2 H, H 3 3 Neste caso, note-se que H 2 e são mutuamente independentes, já que: ( H H H ) ( { CA,CA,CA} ) / 8 ( H ) ( H ) ( H ) ( / 2)(. / 2)(. / 2)

17 .3 robabilidade Condicional e Independência Ex..20: Lançamento de uma moeda três vezes (confnuação) Além disto, para qualquer par de Hi,, i j. or exemplo, ( H H ) ( { CACACA,CACACR} ) 2 / / ( H ) ( H ) ( / 2)(. 2) 2 / ( H H ) ( H ) ( H ) i j i j