AGA Análise de Dados em Astronomia I. 2. Probabilidades - parte 1

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1 1 / 14 AGA Análise de Dados em Astronomia I 2. Probabilidades - parte 1 Laerte Sodré Jr. 1o. semestre, 2018

2 2 / 14 o que são probabilidade: medida da plausibilidade de uma proposição quando não se pode estabelecer com certeza se ela é verdadeira ou falsa P(x): número entre 0 e 1 que mede o grau com que a proposição x é verdadeira (com 0 falsa e 1 verdadeira) P(x) pode ser uma função discreta ou contínua quando se tem um contínuo de proposições, P(x) fica uma função de densidade de (fdp ou pdf): P(x)dx: número entre 0 e 1 que mede o grau de plausibilidade de que uma certa variável x esteja entre x e x + dx

3 3 / 14 condicionais e conjuntas são, normalmente, condicionais, isto é, dependem ou podem depender de outras proposições: P(x y): lê-se probabilidade de x dado y P(x y) mede a plausibilidade da proposição x se a proposição y é admitida como verdadeira P(x y): tudo o que estiver a direita da barra é suposto conhecido probabilidade conjunta: P(x, y) probabilidade conjunta de duas proposições x e y

4 4 / 14 as regras fundamentais das 2 regras fundamentais das : regra da soma: P(x H) + P( x H) = 1 onde x representa a probabilidade de x ser falso regra do produto: P(x, y H) = P(x y, H) P(y H)

5 5 / 14 as regras fundamentais das aplicação da regra da soma: P(x H) + P( x H) = 1 generalização para um conjunto de proposições discretas, x k, ou contínuas, dx, mutuamente exclusivas e exaustivas : P(x k H) = 1 P(x)dx = 1 que é a regra de normalização das aplicação da regra do produto: k vamos supor que x e y são independentes: P(x y, H) = P(x H) e P(y x, H) = P(y H) portanto, P(x, y H) = P(x y, H)P(y H) = P(x H)P(y H) a probabilidade de duas proposições independentes é o produto das de cada uma

6 6 / 14 o teorema de Bayes teorema de Bayes ( 1740) da regra do produto vem que: P(x, y H) = P(x y, H) P(y H) como P(x, y H) = P(y, x H), temos o teorema de Bayes: P(x y, H) = P(y, x H) = P(y x, H) P(x H) P(y x, H) P(x H) P(y H) (que, veremos, oferece um procedimento lógico para a condução da análise estatística!)

7 7 / 14 exercícios sobre 1. jogamos um dado: qual é a probabilidade de o resultado ser par? o resultado do jogo é um número do espaço amostral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} E é o evento resultado par : E = {2, 4, 6} logo, a probabilidade de E é P(E) = n(e)/n(s) = 3/6 = 1/2

8 8 / 14 exercícios sobre 2. jogamos duas moedas: qual é a probabilidade de sair duas caras? Cada moeda pode dar cara (H, heads) ou coroa (T, tails) o espaço amostral é S = {(H, T), (H, H), (T, H), (T, T)} seja E o evento sair duas caras : E = {(H, H)} então, P(E) = n(e)/n(s) = 1/4

9 exercícios sobre 3. jogamos dois dados: qual é a probabilidade da soma dos resultados ser a) igual a 1; b) igual a 4; c) menor que 15? o espaço amostral do problema é S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6) (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6) (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6) (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} a) seja E o evento soma igual a 1 ; como não há nenhum evento em S com soma igual a 1, vem que P(E) = n(e)/n(s) = 0/36 = 0 b) seja E o evento soma igual a 4 ; nesse caso, E = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}, e portanto P(E) = n(e)/n(s) = 3/36 = 1/12 c) todos os resultados em S dão somas menores que 15 e, portanto, P(E) = n(e)/n(s) = 36/36 = 1 9 / 14

10 10 / 14 exercícios sobre 4. Uma caixa contém 4 bolas azuis, 2 vermelhas e 3 pretas. Tiramos uma bola ao acaso e a retornamos à caixa. Repetimos isso 3 vezes. Qual é a probabilidade de termos tirado 2 bolas azuis e 1 preta? o número total de bolas é n = = 9 probabilidade de tirarmos 1 bola azul: 4/9 probabilidade de tirarmos outra bola azul: 4/9 probabilidade de tirarmos 1 bola preta: 3/9 probabilidade de tirarmos 2 bolas azuis e 1 preta: 4/9 4/9 1/3 = 16/

11 11 / 14 exercícios sobre 5. Uma caixa contém 4 bolas azuis, 2 vermelhas e 3 pretas. Tiramos uma bola ao acaso e não a retornamos à caixa. Repetimos isso 3 vezes. Qual é a probabilidade de termos tirado 2 bolas azuis e 1 preta? o número total de bolas é n = = 9 probabilidade de tirarmos 1 bola azul: 4/9 probabilidade de tirarmos outra bola azul: 3/8 probabilidade de tirarmos 1 bola preta: 3/7 probabilidade de tirarmos 2 bolas azuis e 1 preta: 4/9 3/8 3/7 = 1/

12 exercícios sobre 6. 40% dos estudantes da classe disseram conhecer R e Python. 60% dos estudantes disseram conhecer Python. Qual é a probabilidade de um estudante que conhece Python conhecer também R? seja A conhecer Python e B conhecer R P(A, B) = 0.4 P(A) = 0.6 P(B A)? condicionais: P(A, B) = P(B A)P(A) logo, P(B A) = P(A, B)/P(A) = 0.4/0.6 = 2/ / 14

13 exercícios sobre 7. Comprei um aparelho cujo tempo de vida T (tempo que leva para o aparelho quebrar), de acordo como o manual, satisfaz P(T t) = exp( t/5), para todo t 0. Por exemplo, a probabilidade que o produto dure mais que 2 anos é P(T 2) = exp( 2/5) Comprei o produto e ele vem funcionando bem há 2 anos. Qual é a probabilidade de que ele quebre no terceiro ano? seja A o evento de o aparelho quebrar no terceiro ano seja B o evento de o aparelho não ter quebrado nos dois anos depois da compra queremos P(A B) temos que P(B) = P(T 2) = exp( 2/5) P(A) = P(2 T 3) = P(T 2) P(T 3) = exp( 2/5) exp( 3/5) por outro lado, B está contido em A, de modo que P(A, B) = P(A) logo, como P(A, B) = P(A B)P(B) = P(A), vem que P(A B) = P(A)/P(B) / 14

14 14 / 14 exercícios sobre 8. probabilidade de A ou B: dados 2 eventos, A e B, qual é a probabilidade de se ter A OU B? P(A ou B) = P(A) + P(B) P(A e B) eventos mutuamente exclusivos: se um ocorre o outro não ou os dois não podem ocorrer ao mesmo tempo P(A e B) = 0 exemplo 8.1: qual é a probabilidade de se obter ou 5 ou 6 jogando um dado? P(5) = P(6) = 1/6, P(5 e 6) = 0 e portanto P(5 ou 6) = 1/6 + 1/6 0 = 1/3 exemplo 8.2: qual é a probabilidade de se tirar uma carta vermelha ou um 3 em um baralho de 52 cartas (4 naipes de 13 cartas)? P(V) = 26/52; P(3) = 4/52; P(V, 3) = 2/52 e portanto P(V ou 3) = 26/52 + 4/52 2/52 = 28/52 = 7/13