probabilidade PE-MEEC 1S 09/10 16 Capítulo 2 - de probabilidade 2.1 Experiências aleatórias. resultados. Acontecimentos probabilidade.

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1 Capítulo 2 - Noções básicas de probabilidade 2.1 Experiências aleatórias. Espaço de resultados. Acontecimentos 2.2 Noção de probabilidade. Interpretações de Laplace, frequencista e subjectivista. Axiomas e teoremas decorrentes 2.3 Probabilidade condicionada 2.4 Teoremas da probabilidade composta e da probabilidade total. Teorema de Bayes) 2.5 Acontecimentos independentes Capítulo 2 - Noções básicas de probabilidade PE-MEEC 1S 09/10 16

2 2.1 Experiências aleatórias. Espaço de resultados. Acontecimentos Definição: Uma experiência aleatória é uma experiência que, repetida sempre nas mesmas condições, não produz sempre o mesmo resultado. PE-MEEC 1S 09/10 17

3 2.1 Experiências aleatórias. Espaço de resultados. Acontecimentos Definição: Uma experiência aleatória é uma experiência que, repetida sempre nas mesmas condições, não produz sempre o mesmo resultado. Características: (i) repetibilidade; (ii) os resultados particulares são imprevisíveis mas é possível descrever o conjunto dos resultados possíveis; (iii) apesar dos resultados particulares serem imprevisíveis é possível observar um padrão de regularidade ao fim de um grande número de realizações. PE-MEEC 1S 09/10 17

4 2.1 (cont.) Exemplos: jogos de azar: lançamento de uma moeda; lançamento de um dado; escolha de uma carta num baralho. energia consumida numa reacção química; duração de uma chamada telefónica; característica defeituosa ou não defeituosa de peças produzidas em série. PE-MEEC 1S 09/10 18

5 2.1 (cont.) Definição: Chama-se espaço de resultados ao conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória. Representa-se geralmente por Ω ou S. PE-MEEC 1S 09/10 19

6 2.1 (cont.) Definição: Chama-se espaço de resultados ao conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória. Representa-se geralmente por Ω ou S. Exemplos: Experiência Ω E 1 lançamento de moeda Ω 1 = {cara,coroa} E 2 lançamento de dado Ω 2 = {,,,,, } E 3 duração de chamada telefónica Ω 3 = [0,+ [ E 4 classificação de uma peça Ω 4 = {defeituosa, não defeituosa} = E 5 obs. sucessiva de peças até encontrar uma defeituosa = {d, n} Ω 5 = {d, nd, nnd, nnnd,...} PE-MEEC 1S 09/10 19

7 2.1 (cont.) Definição: Um espaço de resultados é discreto se tiver um número finito ou infinito numerável de elementos. Exemplos: Ω 1, Ω 2, Ω 4 (finitos) e Ω 5 (infinito numerável) são discretos. PE-MEEC 1S 09/10 20

8 2.1 (cont.) Definição: Um espaço de resultados é discreto se tiver um número finito ou infinito numerável de elementos. Exemplos: Ω 1, Ω 2, Ω 4 (finitos) e Ω 5 (infinito numerável) são discretos. Definição: Um acontecimento é um subconjunto do espaço de resultados de uma experiência aleatória. Exemplos: E 1 : A 1 = {cara} E 2 : A 2 = {n. o de pontos inferior a 3} = {, } (definição em compreensão) E 3 : A 3 = {duração inferior a 30 unidades} = [0,30[ E 4 : A 4 = {d} (definição em extensão) PE-MEEC 1S 09/10 20

9 2.1 (cont.) - acontecimento impossível Ω - acontecimento certo PE-MEEC 1S 09/10 21

10 2.1 (cont.) - acontecimento impossível Ω - acontecimento certo Definição: Dada uma experiência aleatória, diz-se que ocorreu o acontecimento A se e só se ao realizar a experiência (uma única vez) o resultado obtido é um elemento de A. Exemplo: Considere-se E 2, se o dado for lançado e sair pode dizer-se que ocorreu A 2 ; se o dado for lançado e sair pode dizer-se que não ocorreu A 2. PE-MEEC 1S 09/10 21

11 2.1 (cont.) Operações com acontecimentos ( operações com conjuntos): complementação (A); união (A B); intersecção (A B); diferença (A\B) Rever: diagramas de Venn; propriedades das operações (comutativas, associativas, distributivas, elementos neutros, elementos absorventes, leis de De Morgan, dupla negação). PE-MEEC 1S 09/10 22

12 2.1 (cont.) Definição: Dois acontecimentos A e B dizem-se mutuamente exclusivos se não puderem ocorrer simultaneamente, ou seja, se A B =. Ω A B PE-MEEC 1S 09/10 23

13 2.2 Noção de probabilidade. Interpretações de Laplace, frequencista e subjectivista. Axiomas e teoremas decorrentes A probabilidade é uma medida que pretende quantificar a possibilidade de ocorrência de cada acontecimento. Como definir probabilidade? Como calcular probabilidades? PE-MEEC 1S 09/10 24

14 2.2 Noção de probabilidade. Interpretações de Laplace, frequencista e subjectivista. Axiomas e teoremas decorrentes A probabilidade é uma medida que pretende quantificar a possibilidade de ocorrência de cada acontecimento. Como definir probabilidade? Como calcular probabilidades? Interpretação/definição clássica ou de Laplace: Dado um espaço de resultados com N elementos cuja ocorrência (por questões de simetria/indiferença) é igualmente possível, a probabilidade de qualquer acontecimento A é dada por P(A) = #A N = n.o de casos favoráveis a A n. o de casos possíveis = Rever cálculo combinatório. PE-MEEC 1S 09/10 24

15 2.2 (cont.) Limitação A definição clássica não pode ser aplicada quando: o espaço de resultados tem um número infinito de elementos; os elementos não são igualmente possíveis. = São necessárias outras interpretações de probabilidade! Definição: Dada uma experiência aleatória que se realizou n vezes, e um acontecimento A, chama-se frequência relativa do acontecimento A, ao quociente f n (A) = n(a) n onde n(a) representa o número de vezes que se observou o acontecimento A (ou seja, é a frequência absoluta de A). PE-MEEC 1S 09/10 25

16 2.2 (cont.) Exemplo: Imagine-se uma experiência aleatória só com dois resultados possíveis mas que não sejam necessariamente igualmente possíveis. Pode ser o caso do lançamento de uma moeda em que não se tem a certeza de que a moeda é equilibrada ou a experiência E 4 da Secção 2.1 (classificação de peças em defeituosas ou não defeituosas). PE-MEEC 1S 09/10 26

17 2.2 (cont.) Exemplo: Imagine-se uma experiência aleatória só com dois resultados possíveis mas que não sejam necessariamente igualmente possíveis. Pode ser o caso do lançamento de uma moeda em que não se tem a certeza de que a moeda é equilibrada ou a experiência E 4 da Secção 2.1 (classificação de peças em defeituosas ou não defeituosas). Repetindo a experiência um número muito elevado de vezes observa-se que a frequência relativa dos acontecimentos elementares (que são só dois, neste caso), tende a estabilizar à medida que o número de repetições cresce (embora a sequência particular de valores seja imprevisível). PE-MEEC 1S 09/10 26

18 Exemplo (cont.): O gráfico seguinte mostra 10 sequências de frequências relativas (fictícias) cada uma correspondendo a 3000 realizações de uma experiência aleatória com o verdadeiro valor de P(A) = fn(a) n 1 Simulação com números pseudo-aleatórios. Código na Nota 1.

19 2.2 (cont.) Interpretação/definição frequencista: A probabilidade do acontecimento A, P(A), é o limite para o qual tende a frequência relativa, f n (A), quando n. PE-MEEC 1S 09/10 28

20 2.2 (cont.) Interpretação/definição frequencista: A probabilidade do acontecimento A, P(A), é o limite para o qual tende a frequência relativa, f n (A), quando n. Limitação: A definição frequencista não pode ser aplicada quando não é possível repetir a experiência um número muito elevado de vezes; não é possível repetir a experiência exactamente nas mesmas condições. PE-MEEC 1S 09/10 28

21 2.2 (cont.) Interpretação/definição frequencista: A probabilidade do acontecimento A, P(A), é o limite para o qual tende a frequência relativa, f n (A), quando n. Limitação: A definição frequencista não pode ser aplicada quando não é possível repetir a experiência um número muito elevado de vezes; não é possível repetir a experiência exactamente nas mesmas condições. Exemplo: Qual a probabilidade de ganhar o Totobola com uma única aposta? Há 3 13 = casos possíveis, mas não são igualmente possíveis! Inviabiliza a interpretação de Laplace Os jogos entre as mesmas equipas não correspondem a repetições nas mesmas condições do próximo jogo, nem são em número suficientemente elevado! Inviabiliza a interpretação frequencista PE-MEEC 1S 09/10 28

22 2.2 (cont.) Interpretação/definição frequencista: A probabilidade do acontecimento A, P(A), é o limite para o qual tende a frequência relativa, f n (A), quando n. Limitação: A definição frequencista não pode ser aplicada quando não é possível repetir a experiência um número muito elevado de vezes; não é possível repetir a experiência exactamente nas mesmas condições. Exemplo: Qual a probabilidade de ganhar o Totobola com uma única aposta? Há 3 13 = casos possíveis, mas não são igualmente possíveis! Inviabiliza a interpretação de Laplace Os jogos entre as mesmas equipas não correspondem a repetições nas mesmas condições do próximo jogo, nem são em número suficientemente elevado! Inviabiliza a interpretação frequencista = São necessárias outras interpretações de probabilidade! PE-MEEC 1S 09/10 28

23 2.2 (cont.) Interpretação/definição subjectivista ou subjectiva: Admite-se que cada pessoa pode atribuir a cada acontecimento um número a que chama probabilidade do acontecimento e que expressa o seu grau de credibilidade pessoal em relação à ocorrência do acontecimento. PE-MEEC 1S 09/10 29

24 2.2 (cont.) Interpretação/definição subjectivista ou subjectiva: Admite-se que cada pessoa pode atribuir a cada acontecimento um número a que chama probabilidade do acontecimento e que expressa o seu grau de credibilidade pessoal em relação à ocorrência do acontecimento. A probabilidade subjectiva de um dado acontecimento pode variar de indivíduo para indivíduo, mas deve ser coerente para o mesmo indivíduo. PE-MEEC 1S 09/10 29

25 2.2 (cont.) Interpretação/definição subjectivista ou subjectiva: Admite-se que cada pessoa pode atribuir a cada acontecimento um número a que chama probabilidade do acontecimento e que expressa o seu grau de credibilidade pessoal em relação à ocorrência do acontecimento. A probabilidade subjectiva de um dado acontecimento pode variar de indivíduo para indivíduo, mas deve ser coerente para o mesmo indivíduo. A coerência é garantida pela definição axiomática. Os axiomas são inspirados em propriedades verificadas pelas interpretações anteriores (clássica e frequencista) e a sua verificação é exigida no caso da interpretação sujectivista; Consoante a situação, é razoável admitir qualquer uma das interpretações. PE-MEEC 1S 09/10 29

26 2.2 (cont.) Definição axiomática: As probabilidades dos acontecimentos pertencentes ao conjunto dos acontecimentos definidos em Ω, designado por F (ver Obs. 1), é um número satisfazendo os três Axiomas seguintes: Axioma 1 P(Ω) = 1 Axioma 2 0 P(A) 1, A F (ver Obs. 2) Axioma 3 A,B: A B= P(A B) = P(A) + P(B) (ver Obs. 3) PE-MEEC 1S 09/10 30

27 2.2 (cont.) Definição axiomática: As probabilidades dos acontecimentos pertencentes ao conjunto dos acontecimentos definidos em Ω, designado por F (ver Obs. 1), é um número satisfazendo os três Axiomas seguintes: Axioma 1 P(Ω) = 1 Axioma 2 0 P(A) 1, A F (ver Obs. 2) Axioma 3 A,B: A B= P(A B) = P(A) + P(B) (ver Obs. 3) Detalhes técnicos: Obs. 1 Se Ω for discreto F pode conter todos os subconjuntos de Ω, caso contrário é necessário impor restrições; Obs. 2 Rigorosamente basta exigir que P(A) 0; Obs. 3 Há autores que consideram uma sequência contável de acontecimentos em vez de apenas dois. PE-MEEC 1S 09/10 30

28 2.2 (cont.) Teoremas (Resultados) decorrentes dos Axiomas: Os axiomas permitem estabelecer um conjunto de resultados para determinar probabilidades de acontecimentos resultantes de operações entre acontecimentos (mas é sempre necessária uma base de partida, obtida através de uma das interpretações anteriores). PE-MEEC 1S 09/10 31

29 2.2 (cont.) Teoremas (Resultados) decorrentes dos Axiomas: Os axiomas permitem estabelecer um conjunto de resultados para determinar probabilidades de acontecimentos resultantes de operações entre acontecimentos (mas é sempre necessária uma base de partida, obtida através de uma das interpretações anteriores). Resultado 1: P(A) = 1 P(A) Demonstração: A A = Ω, A A = pelo Axioma 3, P(Ω) = P(A A) = P(A) + P(A) pelo Axioma 1, P(Ω) = 1 } P(A)+P(A) = 1 PE-MEEC 1S 09/10 31

30 2.2 (cont.) Teoremas (Resultados) decorrentes dos Axiomas: Os axiomas permitem estabelecer um conjunto de resultados para determinar probabilidades de acontecimentos resultantes de operações entre acontecimentos (mas é sempre necessária uma base de partida, obtida através de uma das interpretações anteriores). Resultado 1: P(A) = 1 P(A) Demonstração: A A = Ω, A A = pelo Axioma 3, P(Ω) = P(A A) = P(A) + P(A) pelo Axioma 1, P(Ω) = 1 Resultado 2: P( ) = 0 } P(A)+P(A) = 1 Demonstração: consequência do Resultado 1 e do Axioma 1, pois = Ω PE-MEEC 1S 09/10 31

31 2.2 (cont.) Resultado 3: Se A B então P(A) P(B) Demonstração: Se A B, pode escrever-se B = A (B\A) e A (B\A) = pelo Axioma 3, P(B) = P(A) + P(B\A) pelo Axioma 2, P(B\A) 0 logo P(B) P(A) Ω B A Obs.: Notar que para A e B genéricos (isto é, A não necessariamente contido em B), se tem P(B\A) = P(B) P(A B) (Exercício: demonstrar!) PE-MEEC 1S 09/10 32

32 2.2 (cont.) Resultado 4: A,B P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Demonstração: Pode escrever-se A B = I II III, com I = A\B, II = A B, III = B\A, e I II = I III = II III = Ω pelo Axioma 3, P(A B) = P(I) + P(II) + P(III) P(A) = P(I) + P(II) A I II III B P(B) = P(II) + P(III) das duas últimas igualdades tira-se P(I) = P(A) P(II) e P(III) = P(B) P(II), o que substituído na primeira igualdade dá o resultado pretendido, pois II = A B. PE-MEEC 1S 09/10 33

33 2.2 (cont.) Resultado 5: dados três acontecimentos A, B e C, quaisquer P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + +P(A B C) Demonstração: Escrever A B C = (A B) C e aplicar o resultado anterior. PE-MEEC 1S 09/10 34

34 2.2 (cont.) Resultado 5: dados três acontecimentos A, B e C, quaisquer P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + +P(A B C) Demonstração: Escrever A B C = (A B) C e aplicar o resultado anterior. Resultado 6: Dados k acontecimentos, A 1, A 2,..., A k, quaisquer ( k k k P (A 1 A k ) = P A i ) = P (A i ) P (A i A j ) + i=1 i=1 i<j=1 + ( 1) k+1 P (A 1 A k ) Demonstração: Faz-se por indução, aplicando o Resultado 4. PE-MEEC 1S 09/10 34

35 2.3 Probabilidade condicionada Cálculo de probabilidades quando há alguma informação adicional sobre o resultado de uma experiência. É importante porque em muitos casos é mais fácil calcular probabilidades condicionadas do que não condicionadas PE-MEEC 1S 09/10 35

36 2.3 Probabilidade condicionada Cálculo de probabilidades quando há alguma informação adicional sobre o resultado de uma experiência. É importante porque em muitos casos é mais fácil calcular probabilidades condicionadas do que não condicionadas Exemplo: Considere-se o lançamento de um dado equilibrado com 6 faces (Ω = {1,2,3,4,5,6}), e os acontecimentos A - sai a face 2, A = {2} B - sai a face 1, B = {1} C - sai face com número 2, C = {1,2} dado equilibrado P(A) = P(B) = 1 6, P(C) = 1 3. Informação adicional: saiu face par (acontecimento D) D = {2, 4, 6} espaço de resultados reduzido PE-MEEC 1S 09/10 35

37 2.3 (cont.) Exemplo (cont.): As probabilidades dos acontecimentos A, B e C, são alteradas em face da informação adicional de que ocorreu o acontecimento D! Notação: representa-se por P(A D) a probabilidade de A ocorrer sabendo que D ocorreu (pode ler-se probabilidade condicionada de A dado D). PE-MEEC 1S 09/10 36

38 2.3 (cont.) Exemplo (cont.): As probabilidades dos acontecimentos A, B e C, são alteradas em face da informação adicional de que ocorreu o acontecimento D! Notação: representa-se por P(A D) a probabilidade de A ocorrer sabendo que D ocorreu (pode ler-se probabilidade condicionada de A dado D). É simples verificar que no espaço reduzido (D) P(A D) = 1 3 no espaço original (Ω) = P(B D) = 0 = P(C D) = 1 3 = P(A D) P(D) P(B D) P(D) P(C D) P(D) PE-MEEC 1S 09/10 36

39 2.3 (cont.) Definição: A probabilidade condicionada do acontecimento A sabendo que ocorreu B (tal que P(B) > 0) é P(A B) = P(A B) P(B) PE-MEEC 1S 09/10 37

40 2.3 (cont.) Definição: A probabilidade condicionada do acontecimento A sabendo que ocorreu B (tal que P(B) > 0) é P(A B) = P(A B) P(B) A probabilidade condicionada (sendo fixo o acontecimento condicionante, D, com P(D) > 0) é uma nova medida de probabilidade que verifica os Axiomas e os Resultados decorrentes destes. A1. P(Ω D) = 1 A2. 0 P(A D) 1 A3. A,B P (A B D) = P(A D) + P(B D) R1. P(A D) = 1 P(A D) R4. P (A B D) = P(A D) + P(B D) P(A B D) etc. PE-MEEC 1S 09/10 37

41 2.4 Teoremas da probabilidade composta e da probabilidade total. Teorema de Bayes) Muitas vezes P(A B) é conhecida ou fácil de obter recorrendo ao espaço de resultados reduzido e a definição de probabilidade condicionada é usada para calcular P(A B). Lei das probabilidades compostas (ou regra da multiplicação) dados 2 acontecimentos tais que P(A) > 0 e P(B) > 0 P(A B) = P(B)P(A B) = P(A)P(B A) PE-MEEC 1S 09/10 38

42 2.4 (cont.) Lei das probabilidades compostas (geral) dados n acontecimentos tais que P(A i ) > 0, i = 1,...n P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 ) P(A n A 1 A 2 A n 1 ) PE-MEEC 1S 09/10 39

43 2.4 (cont.) Exemplo: Imagine que uma pessoa tem um conjunto de 10 chaves aparentemente iguais mas das quais apenas uma abre uma certa porta. As chaves são testadas uma a uma (ao acaso) e separadas se não conseguirem abrir a porta. Qual é a probabilidade de abrir a porta à primeira tentativa? E à segunda? A i - a porta é aberta na i-ésima tentativa (i = 1,...,n) P(A 1 ) = P(A 2 ) = P(A 3 ) = P(A 10 ) = PE-MEEC 1S 09/10 40

44 2.4 (cont.) Exemplo: E se as chaves que não abrem não forem separadas? Qual é a probabilidade de abrir a porta à primeira tentativa? E à segunda? A i - a porta é aberta na i-ésima tentativa (i = 1,...,n) P(A 1 ) = P(A 2 ) = P(A 3 ) =. P(A 10 ) = PE-MEEC 1S 09/10 41

45 2.4 (cont.) Exemplo: Considere uma fábrica de produzir torneiras em que há duas linhas de produção tais que linha 1 probabilidade de defeituosa = 0.05 linha 2 probabilidade de defeituosa = 0.02 sabe-se ainda que a linha 1 produz apenas 1/4 da produção total. Se as duas produções estiverem misturadas e for escolhida uma torneira ao acaso qual é a probabilidade de ela ser defeituosa? PE-MEEC 1S 09/10 42

46 2.4 (cont.) Exemplo: Considere uma fábrica de produzir torneiras em que há duas linhas de produção tais que linha 1 probabilidade de defeituosa = 0.05 linha 2 probabilidade de defeituosa = 0.02 sabe-se ainda que a linha 1 produz apenas 1/4 da produção total. Se as duas produções estiverem misturadas e for escolhida uma torneira ao acaso qual é a probabilidade de ela ser defeituosa? Resolução: acontecimentos D - torneira defeituosa L 1 - torneira produzida na linha 1 L 2 - torneira produzida na linha 2 (= L 1 ) PE-MEEC 1S 09/10 42

47 2.4 (cont.) elementos fornecidos: P(L 1 ) = 1/4, P(L 2 ) = P(L 1 ) = 3/4, P(D L 1 ) = 0.05, P(D L 1 ) = 0.02 Como combiná-los? PE-MEEC 1S 09/10 43

48 2.4 (cont.) elementos fornecidos: P(L 1 ) = 1/4, P(L 2 ) = P(L 1 ) = 3/4, P(D L 1 ) = 0.05, P(D L 1 ) = 0.02 Como combiná-los? D = (D L 1 ) (D L 1 ) notar que D L 1 e D L 1 são mutuamente exclusivos. P(D) = P(D L 1 ) + P(D L 2 ) = = P(D L 1 )P(L 1 ) + P(D L 1 )P(L 1 ) = = = Ω L 1 L 1 D = PE-MEEC 1S 09/10 43

49 2.4 (cont.) Lei da probabilidade total dado 1 acontecimento tal que P(A) > 0 P(B) = P(B A)P(A) + P(B A)P(A) PE-MEEC 1S 09/10 44

50 2.4 (cont.) Lei da probabilidade total dado 1 acontecimento tal que P(A) > 0 P(B) = P(B A)P(A) + P(B A)P(A) Generalização: e se forem mais do que duas linhas de produção, por exemplo 4? P(D) = P(D L 1 )P(L 1 )+P(D L 2 )P(L 2 )+P(D L 3 )P(L 3 )+P(D L 4 )P(L 4 ) Cuidado! Para que esta expressão seja válida é necessário que L 1 L 2 L 3 L 4 = Ω L 1 L 2 =,, L 3 L 4 = L i L j =, i j=1,...4 PE-MEEC 1S 09/10 44

51 2.4 (cont.) Ω L 1 L 2 D L 3 L 4 PE-MEEC 1S 09/10 45

52 2.4 (cont.) Ω L 1 L 2 D L 3 L 4 Definição: Os acontecimentos A 1, A 2,..., A m formam uma partição de Ω se A 1 A 2 A m = Ω e A i A j =, i j=1,...m (ou seja são exaustivos e mutuamente exclusivos) PE-MEEC 1S 09/10 45

53 2.4 (cont.) Lei da probabilidade total (geral) Se A 1, A 2,..., A m é uma partição de Ω tal que P(A i ) > 0, i, então P(B) = P(B A 1 )P(A 1 ) + + P(B A m )P(A m ) PE-MEEC 1S 09/10 46

54 2.4 (cont.) Lei da probabilidade total (geral) Se A 1, A 2,..., A m é uma partição de Ω tal que P(A i ) > 0, i, então P(B) = P(B A 1 )P(A 1 ) + + P(B A m )P(A m ) Exemplo (cont.): Foi escolhida uma torneira ao acaso e verificou-se que era defeituosa. Qual é a probabilidade dessa torneira ter sido produzida na linha 1? P(L 1 D) = P(L 1 D) P(D) = P(D L 1)P(L 1 ) P(D) = PE-MEEC 1S 09/10 46

55 2.4 (cont.) Lei da probabilidade total (geral) Se A 1, A 2,..., A m é uma partição de Ω tal que P(A i ) > 0, i, então P(B) = P(B A 1 )P(A 1 ) + + P(B A m )P(A m ) Exemplo (cont.): Foi escolhida uma torneira ao acaso e verificou-se que era defeituosa. Qual é a probabilidade dessa torneira ter sido produzida na linha 1? P(L 1 D) = P(L 1 D) P(D) = P(D L 1)P(L 1 ) P(D) = E na linha 2? P(L 2 D) = P(L 1 D) = 1 P(L 1 D) PE-MEEC 1S 09/10 46

56 2.4 (cont.) Teorema de Bayes Se A 1, A 2,..., A m é uma partição de Ω tal que P(A i ) > 0, i, então para qualquer acontecimento B tal que P(B) > 0 P(A i B) = P(B A i)p(a i ) P(B) = P(B A i )P(A i ) P(B A 1 )P(A 1 ) + + P(B A m )P(A m ) PE-MEEC 1S 09/10 47

57 2.4 (cont.) Teorema de Bayes Se A 1, A 2,..., A m é uma partição de Ω tal que P(A i ) > 0, i, então para qualquer acontecimento B tal que P(B) > 0 P(A i B) = P(B A i)p(a i ) P(B) = P(B A i )P(A i ) P(B A 1 )P(A 1 ) + + P(B A m )P(A m ) Exercício: Um novo teste de diagnóstico para a SIDA é anunciado como sendo 99% eficaz na detecção da doença mas tendo uma probabilidade de 1% de conduzir a um falso positivo. Supondo que o teste vai ser aplicado numa população com taxa de incidência de SIDA de 0.5%, calcular a probabilidade de uma pessoa para a qual o teste deu positivo ter de facto SIDA. PE-MEEC 1S 09/10 47

58 2.5 Acontecimentos independentes Se P(A B) = P(A) = P(A B) P(B) conclui-se que a ocorrência de B não afecta a ocorrência de A, faz então sentido dizer que A e B são independentes. Notar que P(A B) = P(A) P(B A) = P(B). PE-MEEC 1S 09/10 48

59 2.5 Acontecimentos independentes Se P(A B) = P(A) = P(A B) P(B) conclui-se que a ocorrência de B não afecta a ocorrência de A, faz então sentido dizer que A e B são independentes. Notar que P(A B) = P(A) P(B A) = P(B). Definição: Dois acontecimentos A e B são independentes se se verificar uma das seguintes condições (equivalentes excepto quando um dos acontecimentos tem probabilidade nula) 1. P(A B) = P(A), (se P(B) > 0) 2. P(B A) = P(B), (se P(A) > 0) 3. P(A B) = P(A)P(B) PE-MEEC 1S 09/10 48

60 2.5 (cont.) Observações: 1. se A é tal que P(A) = 0, então A é independente de qualquer outro acontecimento; 2. todo o acontecimento A é independente de e de Ω; 3. se P(A) > 0 e P(B) > 0 e P(A B) = (A e B mutuamente exclusivos), então A e B não são independentes; 4. se A e B são independentes também o são A e B, A e B, A e B. PE-MEEC 1S 09/10 49

61 2.5 (cont.) Observações: 1. se A é tal que P(A) = 0, então A é independente de qualquer outro acontecimento; 2. todo o acontecimento A é independente de e de Ω; 3. se P(A) > 0 e P(B) > 0 e P(A B) = (A e B mutuamente exclusivos), então A e B não são independentes; 4. se A e B são independentes também o são A e B, A e B, A e B. Exercício: demonstrar as afirmações anteriores. PE-MEEC 1S 09/10 49

62 2.5 (cont.) Observações: 1. se A é tal que P(A) = 0, então A é independente de qualquer outro acontecimento; 2. todo o acontecimento A é independente de e de Ω; 3. se P(A) > 0 e P(B) > 0 e P(A B) = (A e B mutuamente exclusivos), então A e B não são independentes; 4. se A e B são independentes também o são A e B, A e B, A e B. Exercício: demonstrar as afirmações anteriores. Na maior parte dos casos a independência é admitida à partida pelas condições de realização da experiência e usa-se esse conhecimento para calcular probabilidades de outros acontecimentos. PE-MEEC 1S 09/10 49

63 2.5 (cont.) Independência de mais do que dois acontecimentos A, B e C são independentes se P(A B C) = P(A)P(B)P(C) P(A B) = P(A)P(B) P(A C) = P(A)P(C) P(B C) = P(B)P(C) A 1, A 2,..., A n são acontecimentos independentes se para qualquer número inteiro 2 r n e qualquer grupo de r acontecimentos A i1, A i2,..., A ir P (A i1 A i2 A ir ) = P(A i1 )P(A i2 ) P(A ir ) PE-MEEC 1S 09/10 50

64 2.5 (cont.) Independência condicional A e B são independentes dado C se P(A B C) = P(A C)P(B C) Notar que independência entre A, B e C independência condicional mas não o contrário. PE-MEEC 1S 09/10 51