Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática A Ano Lectivo 2011/12 Distribuição de probabilidades 12.º Ano

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1 Escola Secundária/, da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática A Ano Lectivo 0/ Distribuição de probabilidades.º Ano Nome: N.º: Turma:. Numa turma do.º ano, a distribuição dos alunos por idade e sexo é a seguinte: Para formar uma comissão que vai preparar um baile de finalistas, vão ser sorteadas três rapazes e duas raparigas desta turma..º X anos anos Rapazes Raparigas a Qual é a probabilidade de a comissão ficar constituída apenas por jovens de anos? Apresente o resultado na forma de dízima, com quatro casas decimais. b Admita agora que já estão sorteados quatro dos cinco jovens que vão constituir a comissão: os três rapazes e uma rapariga, a qual tem anos de idade. Para a comissão ficar completa, falta, portanto, escolher aleatoriamente uma rapariga. Seja X a variável aleatória: número de raparigas de anos que a comissão vai incluir. Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X. Apresente as probabilidades na forma de fração.. O João tem, no bolso, seis moedas: duas moedas de euro e quatro de 0 cêntimos. O João retira, simultaneamente e ao acaso, duas moedas do bolso. a Seja X a quantia, em euros, correspondente às moedas retiradas pelo João. Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X, apresentando as probabilidades na forma de fração irredutível. b Depois de ter retirado as duas moedas do bolso, o João informou a sua irmã Inês de que elas eram iguais. Ela apostou, então, que a quantia retirada era de euros. Qual é a probabilidade de a Inês ganhar a aposta? Apresente o resultado sob a forma de fração irredutível. a Seja um espaço de resultados finito, associado a uma experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos possíveis, mas não certos. Prove que A e B são independentes se, e só se, PB ( A PB ( A. b Numa caixa existem cinco bolas brancas e três bolas pretas. Ao acaso tiram-se sucessivamente duas bolas da caixa, não repondo a primeira bola na caixa, antes de retirar a segunda. b Utilizando a propriedade enunciada na alínea anterior, mostre que os acontecimentos «a primeira bola retirada é preta» e «a segunda bola retirada é branca» não são independentes. b Seja X a variável aleatória «número de bolas brancas que ficam caixa, após a extração das duas bolas». Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X. Apresente as probabilidades na forma de fração irredutível.

2 . A Sofia tem dois dados equilibrados. Um dos dados é um cubo com as faces numeradas de a. O outro dado é um octaedro com as faces numeradas de a. A Sofia lança os dois dados e observa os números saídos (nas faces que ficam voltadas para cima. a No âmbito desta experiência, dê um exemplo de dois acontecimentos, A e B, nem impossíveis, nem certos, e tais que A B e PA ( B PA (. b Seja X a variável aleatória: soma dos números saídos. Determine PX (. Apresente o resultado na forma de fração irredutível. c Considere os acontecimentos: C: o produto dos números saídos é. D: os números saídos são iguais. Sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada, indique o valor de PC ( D e de PD ( C. Numa pequena composição, justifique a sua resposta, começando por explicar o significado das probabilidades pedidas, no contexto da situação descrita.. Uma caixa, que designamos por caixa, contém duas bolas pretas e três bolas verdes. Uma segunda caixa, que designamos por caixa, contém duas bolas pretas e uma bola verde. a Considere a seguinte experiência: retirar, ao acaso, uma bola de cada caixa. Seja X a variável aleatória: «número de bolas verdes que existem no conjunto das duas bolas retiradas». Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X, apresentando as probabilidades na forma de fação irredutível. b Considere agora que, tendo as duas caixas a sua constituição inicial, se realiza a seguinte experiência: ao acaso, retiram-se simultaneamente três bolas da caixa e colocam-se na caixa ; em seguida, novamente ao acaso, retiram-se simultaneamente duas bolas da caixa. Sejam os acontecimentos: A: «as três bolas retiradas da caixa são da mesma cor»; B: «as duas bolas retiradas da caixa são de cores diferentes». Sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada, determine o valor de PB ( A, apresentando o seu valor na forma de fração irredutível. Numa pequena composição, explique o raciocínio que efetuou. O valor pedido deverá resultar da interpretação do significado de PB ( A, no contexto do problema, significado esse que deverá começar por explicar. c Considere agora que, na caixa, tomando como ponto de partida a sua constituição inicial, se colocam mais n bolas, todas amarelas. Esta caixa fica, assim, com duas bolas pretas, uma bola verde e n bolas amarelas. Considere a seguinte experiência: ao acaso, retiram-se sucessivamente duas bolas dessa caixa. Sabendo que a probabilidade de uma delas ser amarela e a outra ser verde é, determine o valor de n. 9. Uma caixa contém dez bolas. Quatro bolas estão numeradas com número, cinco com o número e uma com o número. a Extrai-se, ao acaso, uma bola da caixa. Seja X o número da bola extraída. Construa a tabela da distribuição da variável aleatória X, apresentando as probabilidades na forma de dízima.

3 b Da caixa novamente completa, tiram-se simultaneamente, ao acaso, duas bolas. Determine a probabilidade de essas duas bolas terem o mesmo número. Apresente o resultado na forma de fração irredutível. c Considere, uma vez mais, a caixa com a sua constituição inicial. Tira-se, ao acaso, uma bola da caixa, observa-se o número e repõe-se a bola na caixa juntamente com mais dez bolas com o mesmo número. Seguidamente, tira-se ao acaso, uma segunda bola da caixa. Sejam A e B os seguintes acontecimentos: A: «sair bola com o número na primeira extração»; B: «sair bola com o número na segunda extração». Sem aplicar a fórmula da probabilidade condicionada, indique, na forma de fração, o valor de PB ( A. Numa pequena composição, explique o seu raciocínio, começando por referir o significado de PB ( A, no contexto da situação descrita.. A Patrícia tem uma caixa com cinco bombons de igual aspeto exterior, mas só um é que tem licor. A Patrícia tira, ao acaso, um bombom da caixa, come-o e, se não for o que tem licor, experimenta outro. Vai procedendo desta forma até encontrar e comer o bombom com licor. Seja X a variável aleatória «número de bombons sem licor que a Patrícia come». Qual é a distribuição de probabilidades da variável X? [A] [B] [C] [D] x i 0 P( X xi 0, 0, 0, 0, 0, x i 0 P( X xi 0, 0, 0, 0, 0, x i P( X xi 0, 0, 0, 0, 0, x i P( X xi 0, 0, 0, 0, 0,. Uma certa variável aleatória X tem a seguinte distribuição de probabilidades: x i P( X xi a b Qual é a média dessa variável aleatória? [A] a b [B] a b [C] a b [D] a b 9. Numa caixa estão bolas brancas e bolas pretas. Extraem-se ao acaso, e em simultâneo, três bolas da caixa. Seja X o número de bolas brancas extraídas. Sabe-se que a distribuição de probabilidades da variável aleatória X é: x i P( X xi a a Qual é a probabilidade de se extraírem menos de três bolas brancas? [A] [B] [C] [D]

4 0. Numa caixa estão três cartões, numerados de a. Extraem-se ao acaso, e em simultâneo, dois cartões da caixa. Seja X : «o maior dos números saídos». Qual é a distribuição de probabilidades da variável X? [A] [B] [C] [D] x i P( X xi x i P( X xi x i P( X xi x i P( X xi. A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é dada pela tabela ( a e b designam números reais. A média da variável aleatória X é igual a. x i 0 P( X xi a b b Qual é o valor de a e o valor de b? [A] [C] a e a e b [B] b [D] a e a e b b. Um dado equilibrado, com as faces numeradas de a, é lançado duas vezes. Seja X a variável aleatória que designa o «número de vezes que, nesses dois lançamentos, sai face par». A distribuição de probabilidades da variável X é dada pela tabela ( a e b designam números reais. x i 0 P( X xi a b Qual das seguintes afirmações é verdadeira? [A] [C] a e a e b [B] b [D] a e a e b b. Na figura está representada a planificação de um dado equilibrado. Lança-se este dado duas vezes. Seja X a variável aleatória: «soma dos números saídos nos dois lançamentos». Indique o valor de k, tal que P( X k. 9 [A] [B] [C] [D]

5 . A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é dada pela tabela ( a designa um número real. Qual é o valor médio desta variável aleatória? x i 0 P( X xi a a 0, [A], [B], [C], [D],. Uma variável aleatória X tem a distribuição de probabilidade dada pela tabela ( a e b designam números reais positivos. Sabe-se que o valor médio da variável aleatória X é,. x i 0 a a P( X xi 0, 0, b Qual é o valor de a? [A] [B], [C] [D],. O João vai lançar seis mil vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de a, e vai adicionar os números saídos. De qual dos seguintes valores é de esperar que a soma obtida pelo João esteja mais próxima? [A] 0000 [B] 000 [C] 000 [D] 000 Soluções 00 p 0,00 X x i 0 P( X x i X x i, P( X x i p P( X X x i P( X x i PC ( D PD ( C X x i 0 P( X x i X x i P( X x i 0, 0, 0, A C PB ( A p n 0 PB ( A C A C C B A C A

6 Escola Secundária/, da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática A Ano Lectivo 0/ Distribuição de probabilidades.º Ano Proposta de Resolução:. a A comissão é constituída por rapazes e raparigas. Ora, temos raparigas. À primeira vista poderá parecer-nos que existem maneiras diferentes de escolher, ao acaso, duas dessas raparigas. Mas, essa suposição está errada. Admitamos que queremos escolher duas raparigas de entre as seguintes três: Ana, Beatriz, Celina. É fácil concluir que existem apenas três possibilidades: Ana, Beatriz, Ana, Celina e Beatriz, Celina. Não seis: (Ana, Beatriz, (Beatriz, Ana, (Ana, Celina, (Celina, Ana, (Beatriz, Celina e (Celina, Beatriz. Isto é, como não interessa a ordem dos dois elementos considerados, o valor procurado é, que traduz o número de subconjuntos de dois elementos que se podem obter de um conjunto de três elementos. Admitamos agora que pretendemos escolher três rapazes de entre quatro: Abel, Belmiro, Carlos, Daniel. É imediato concluir que existem apenas Abel, Belmiro, Daniel, Abel, Carlos, Daniel e Belmiro, Carlos, Daniel. maneiras, não : Abel, Belmiro, Carlos, Porque é que divide por? Basta reparar que cada um desses subconjuntos de três elementos dá origem a ternos ordenados com esses três elementos. Portanto, regressando ao problema, concluímos existirem maneiras de selecionar duas das doze raparigas e maneiras de selecionar três dos catorze rapazes. Logo, NCP 0. De forma análoga, conclui-se: NCF (número de maneiras de escolher rapazes de anos, de entre, e escolher raparigas de anos, de entre. Logo, a probabilidade pedida é ( p C C C C 00 p 0,00., usando notação de cálculo combinatório b Para terminar a constituição da comissão falta apenas escolher uma rapariga, de entre disponíveis: delas com anos e delas com anos. Portanto, a variável aleatória X pode assumir os valores: 0 e. Assim: P( X 0 P(escolher uma rapariga de anos P( X P(escolher uma rapariga de anos Logo, a tabela de distribuição de probabilidades da variável X é: X x i 0 P( X x i

7 . a A variável aleatória X pode assumir os seguintes valores: : o João retira as duas moedas de euro;, : o João retira uma moeda de euro e uma moeda de 0 cêntimos; : o João retira duas moedas de 0 cêntimos. Como o João retira as duas moedas simultaneamente (e não as distinguindo entre si, o número de casos possíveis é NCP, ou seja, é o número de subconjuntos de dois elementos de um conjunto de seis elementos (ver resolução do problema anterior. O João pode retirar duas moedas de 0 cêntimos de maneiras diferentes, logo NCFX. O João pode retirar uma moeda de euro e uma moeda de 0 cêntimos de maneiras diferentes, logo NCF. X, O João pode retirar as duas moedas de maneira, logo NCFX. Assim, temos: C P( X ( P( X C C C P( X, ( P( X C C P( X ( P( X C Logo, a tabela de distribuição de probabilidades da variável X é: X x i, P( X x i Nota: Admita que o João, ao retirar simultaneamente duas moedas do bolso, começa por pegar numa delas e, seguidamente, numa outra. Desta forma, as probabilidades acima indicadas podem ser calculadas da seguinte maneira: P( X (Porquê? P( X, (Porquê? P( X (Porquê? b Vamos resolver o problema recorrendo à interpretação da probabilidade condicionada. Se as duas moedas eram iguais, então ambas eram de euro ou ambas eram de 0 cêntimos. Logo, o número de casos possíveis é NCP NCFX NCFx. O número de casos favoráveis é NCF NCFX. C Logo, a probabilidade pedida é p. ( p C C

8 . a Ora, PB ( A PB ( A PA ( B PA ( B PA ( PA ( PA ( PA ( B PA ( PA ( B ( PA ( PA ( B PA ( PA ( B 0 PA ( B PA ( PA ( B PA ( B PA ( B PA ( P(( AB ( AB PA ( B PA ( P(( AA B PA ( B PA ( P( B PA ( B PA ( PB ( A e B são independentes b Consideremos os acontecimentos: A: «a primeira bola retirada é preta»; B: «a segunda bola retirada é branca». Ora, PB ( A, pois, se a primeira bola extraída é preta, ficam na caixa bolas: brancas e pretas. Logo, a probabilidade de, na segunda extração, retirar uma bola branca é. Por outro lado, PB ( A, pois, se a primeira bola extraída não é preta, ficam na caixa bolas: brancas e pretas. Logo, a probabilidade de, na segunda extração, retirar uma bola branca é. Portanto, tendo em conta a propriedade enunciada em a, dado que PB ( A PB ( A, então os acontecimentos A e B não são independentes. b Como inicialmente há bolas brancas na caixa, depois de extraídas duas bolas poderão ficar na caixa, ou bolas brancas. Logo, a variável aleatória X pode assumir os valores:, ou. Passando a calcular as probabilidades, temos: P( X P( AB P( A P( B A P( X P(( AB ( AB P( AB P( AB P( A P( B A P( A P( B A P( X P( AB P( A P( B A Logo, a tabela de distribuição de probabilidades da variável X é: X x i P( X x i

9 . a Se A B, tem-se que AB A, pelo que PA ( B PA (. Portanto, basta apresentar dois acontecimentos diferentes, A e B, nem impossíveis, nem certos, e tais que A B. Um exemplo possível é: A: «sair face no dado cúbico»; B: «sair face par no dado cúbico». b O número de casos possíveis é NCP, pois existem resultados possíveis no dado cúbico e, para cada um deles, existem resultados possíveis no dado octaédrico. O número de casos favoráveis é NCF, visto que os casos favoráveis são: (,, (,, (, e (,. Logo, P( X. c PC ( D significa «probabilidade de o produto dos números saídos ser, sabendo que os números saídos são iguais». Se os números saídos são iguais, existem seis casos possíveis, que são (,, (,, (,, (,, (, e (,, dos quais apenas um, que é o caso (,, é favorável ao acontecimento «o produto dos números saídos é». Tem-se, assim, PC ( D. PD ( C significa «probabilidade de os números saídos serem iguais, sabendo que o produto dos números saídos é». Se o produto dos números saídos é, existem dois casos possíveis, que são (, e (,, dos quais um, que é o caso (,, é favorável ao acontecimento «os números saídos são iguais». Tem-se, assim, PD ( C.. a Como de cada uma das caixas podemos tirar zero ou uma bola verde, então a variável aleatória X pode assumir os valores: 0, e. Consideremos o acontecimento i i,. Tendo em consideração que os acontecimentos V e V são independentes, temos: V : «tirar uma bola verde da caixa i», com ( 0 ( ( ( P X P V V P V P V ( (( ( ( ( ( ( ( ( P X P V V V V P V V P V V P V P V P V P V ( ( ( ( P X P V V P V P V Logo, a tabela de distribuição de probabilidades da variável X é: X x i 0 P( X x i 9

10 b Sejam os acontecimentos: A: «as três bolas retiradas da caixa são da mesma cor»; B: «as duas bolas retiradas da caixa são de cores diferentes». PB ( A significa «probabilidade de as duas bolas retiradas da caixa serem de cores diferentes, sabendo que as três bolas retiradas da caixa são da mesma cor». Se as três bolas retiradas da caixa e colocadas na caixa são da mesma cor, terão de ser necessariamente todas verdes, pois a caixa apenas contém bolas pretas. Após a transferência dessas bolas verdes para a caixa, esta ficará com bolas pretas e bolas verdes. Ao retirarmos duas bolas desta caixa, existem NCP casos possíveis (note que as bolas são retiradas simultaneamente, portanto os resultados elementares são conjuntos de dois elementos e não pares ordenados, dos quais apenas NCF são favoráveis ao acontecimento «sair uma bola de cada cor». Assim, de acordo com a Regra de Laplace, a probabilidade pedida é. C C (, usando cálculo combinatório C c Admitamos que, ao retirar simultaneamente duas bolas da caixa, se começa por pegar numa das bolas e, seguidamente, numa outra bola. Assim, a probabilidade pedida pode ser expressa por (onde o índice indica a ordem pela qual a bola foi pegada: p P(( A V ( V A PA ( V PV ( A PA ( PV ( A PV ( PA ( V n n n n n n n ( n( n (usando cálculo combinatório, temos: n n C C C n n p ( n( n ( n( n Como p, vem: 9 n n n0 n n n 0 n 0 n Como n, a solução procurada é n 0. 0

11 . a Como as bolas estão numeradas com os números, e, então a variável aleatória X pode assumir os valores:, e. Passando a calcular as probabilidades, temos: P( X 0, 0 P( X 0, 0 P( X 0, 0 Logo, a tabela de distribuição de probabilidades da variável X é: X x i P( X x i 0, 0, 0, 0 9 b O número de casos possíveis é NCP, pois das dez bolas da caixa retiram-se duas simultaneamente, não interessando, por isso, a ordem da sua seleção. c Para que as duas bolas tenham o mesmo número, há duas hipóteses: têm ambas o número ou têm ambas o número. O número de casos favoráveis da primeira hipótese é N e o número de casos favoráveis da segunda hipótese é N 0. Portanto, o número de casos favoráveis ao acontecimento «as duas bolas terem o mesmo número» é NCF NN. Logo, a probabilidade pedida é p. C C 0 ( p, usando cálculo combinatório 0 C Admitindo que, ao retirar simultaneamente duas bolas da caixa, se começa por pegar numa das bolas e, seguidamente, numa outra bola, podemos calcular a probabilidade pedida da seguinte forma: p P("," "," (Porquê? A: «sair bola com o número na primeira extração»; B: «sair bola com o número na segunda extração». PB ( A significa «probabilidade de sair bola com o número na segunda extração, sabendo que saiu bola com o número na primeira extração». Se na primeira extração saiu uma bola com o número, então essa bola foi reposta na caixa juntamente com mais dez bolas com o mesmo número. A caixa fica, assim, com bolas com o número, com bolas com o número e uma bola com o número, num total de 0 bolas. Assim, de acordo com a Regra de Laplace, a probabilidade de extrairmos agora da caixa «uma bola com o número» é. 0 0

12 . Como há apenas bombons sem licor, a variável aleatória X : «número de bombons sem licor que a Patrícia come» pode assumir os valores: 0,,, e. As respetivas probabilidades são: P( X 0 0, P( X 0, P( X 0, P( X 0, P( X 0, Logo, a alternativa correta é A.. Ora, pixi ab ab. i Logo, a alternativa correta é C. 9. Como pi aa a. i Assim, P( X P( X P( X. Logo, a alternativa correta é C. 0. Como se extraem em simultâneo dois cartões, a variável aleatória X : «o maior dos números saídos» pode assumir os valores: e. Como existem três casos possíveis ( ( (, P X P ( (,, P X P Logo, a alternativa correta é A.,,, e,, as respetivas probabilidades são:. Ora, p i b i abb. 0bb px i i a i Logo, a alternativa correta é C.

13 . Na experiência aleatória considerada existem NCP casos possíveis. O número de casos favoráveis ao acontecimento «não sair qualquer face par» é NCFX 0 9. O número de casos favoráveis ao acontecimento «sair apenas uma face par» é NCFX. O número de casos favoráveis ao acontecimento «sair duas faces pares» é NCFX 9. Deste modo, as respetivas probabilidades são: 9 P( X 0 P( X a 9 P( X b Logo, a alternativa correta é C.. A variável aleatória X : «soma dos números saídos nos dois lançamentos» pode assumir os valores:, e. As respetivas probabilidades são: ( ( ( ( 9 P X P P P ( (( ( ( ( ( ( 9 P X P P P P P ( ( ( ( 9 P X P P P Logo, a alternativa correta é B.. Como pi aa0, a 0,. i Assim, px i i 0, 0 0, 0,,. i Logo, a alternativa correta é A.. Ora, pi i 0, 0,b b 0,. 0, 0 0, aba, a px i i i Logo, a alternativa correta é C.. Como o dado é equilibrado e tendo em conta a distribuição de probabilidades da variável aleatória X : «número saído», é de admitir que as respectivas frequências absolutas, num total de seis mil lançamentos, sejam aproximadamente as indicadas na tabela: x i P( X xi f i Assim, é de esperar que a soma obtida pelo João esteja próxima de: 000 ( Logo, a alternativa correta é A.