Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática A Tema I Probabilidades e Combinatória. 1º Teste de avaliação.
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- Giovanni Mirandela Benke
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1 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 2º Ano de Matemática A Tema I Probabilidades e Combinatória º Teste de avaliação Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 0 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. NOTA: No fim há um formulário sobre distribuições de probabilidade. Num saco estão quatro bolas indistinguíveis ao tato e numeradas de a 4. Extraem-se ao acaso, e em simultâneo, duas bolas do saco. Seja X a variável aleatória: média aritmética dos números das bolas extraídas. O valor de P ( X = 2,5 ) é: (A) 2 (B) 6 (C) (D) 2 2. Em cada uma das opções seguintes (A, B, C e D) estão representadas quatro figuras, constituídas cada uma delas, por quadrados e círculos numerados de a 5. Para cada opção, considere: A experiência que consiste na escolha aleatória de um dos cinco elementos que constituem a figura; Os acontecimentos: X: a figura tem número par e Y: a figura é um círculo. Em qual das opções se tem P( X Y) 2 =? Professora: Rosa Canelas
2 . Seja Ω o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos (A Ω e B Ω ) Sabe-se que P( A) = 0,5 e que P( B) = 0,7 Podemos garantir que (A) (B) A e B são acontecimentos contrários A e B são acontecimentos compatíveis. (C) A está contido em B. (D) O acontecimento A B é certo. 4. Uma variável aleatória X tem a seguinte distribuição de probabilidades: x i 0 a 2a P ( X = x i ) 0, 0,5 b Sabe-se que o valor médio do valor da variável aleatória é 2,7 Qual é o valor de a? (A) (B) 2,5 (C) 2 (D),5 5. O diâmetro, em milímetros, dos parafusos produzidos por uma certa máquina é uma variável aleatória X com distribuição normal, de valor médio 5. Qualquer parafuso produzido por essa máquina passa por um controle de qualidade. Ao passar por esse controle, o parafuso é aprovado se o seu diâmetro estiver compreendido entre 4, e 5,9 milímetros. Caso contrário, é rejeitado. Sabe-se que 99,7% dos parafusos são aprovados. Qual é o desvio padrão da variável aleatória X? (A) 0, (B) 0, (C) 0,6 (D) 0,9 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. Professora: Rosa Canelas 2
3 . Num saco há seis bolas, sendo três delas vermelhas, duas azuis e uma preta. Considere a experiência que consiste na extração aleatória de uma bola e no registo da cor... Qual é o espaço amostral?.2. Identifique os acontecimentos elementares e indique qual deles tem maior probabilidade de ocorrer... Considere os acontecimentos: A: sair bola vermelha ; B: sair bola verde ; C: não sair bola azul ; D: não sair bola amarela... Represente os acontecimentos na forma de conjuntos...2. Identifique um acontecimento impossível, um acontecimento elementar, um acontecimento composto.... Indique a probabilidade de ocorrer cada um dos acontecimentos A, B, C e D. 2. Numa estação de serviço, observou-se que 2% dos seus clientes compram gasolina sem chumbo 95, 56% preferem sem chumbo 98 e os restantes gastam gasóleo. Verificou-se ainda que, dos clientes que compram gasolina sem chumbo 95, 20% enchem o depósito, o mesmo acontece com 60% dos que compram gasóleo e com 25% dos que gastam gasolina sem chumbo Determine a probabilidade de um automobilista abastecer o seu automóvel nesta estação de serviço, e não encher o depósito Sabe-se que um cliente encheu o depósito do seu carro. Qual é a probabilidade de ter abastecido com gasolina sem chumbo 98? Apresente o resultado em percentagem arredondado às décimas.. Sejam A e B dois acontecimentos associados a uma experiência aleatória... Mostre que, se A e B forem acontecimentos independentes, tem-se: P( A B) = P( A) + P( B) P( A).2. Admita que A e B são independentes e que P( A) = e P( A B) ( B) P A. 2 =. Determine 6 4. Numa caixa há 5 bolas, 2 pretas e azuis. Considere a experiência aleatória que consiste em retirar da caixa, simultaneamente e ao acaso, duas bolas e verificar a cor das mesmas. 4.. Determine a probabilidade de serem extraídas as duas Professora: Rosa Canelas
4 bolas pretas. Apresente o resultado na forma de fração irredutível Admita que a experiência vai ser realizada três vezes, nas mesmas condições. Seja X a variável aleatória número de vezes em que as bolas extraídas são pretas. Calcule o valor médio da variável X. Nota: se não resolveu a questão 4. tome para valor da probabilidade de as bolas extraídas serem pretas 2 5. Formulário: COTAÇÕES DO GRUPOII QUESTÃO COTAÇÃO Professora: Rosa Canelas 4
5 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 2º Ano de Matemática A Tema I Probabilidades e Combinatória º Teste de avaliação Grupo I NOTA: No fim há um formulário sobre distribuições de probabilidade. (C) Num saco estão quatro bolas indistinguíveis ao tato e numeradas de a 4. Extraem-se ao acaso, e em simultâneo, duas bolas do saco. Seja X a variável aleatória: média aritmética dos números das bolas extraídas. 2 4,5 2 2,5 2,5 2,5 2 2,5,5 4 2,5,5 4 P ( X = 2,5) = = 2 2. (C) Em cada uma das opções seguintes (A, B, C e D) estão representadas quatro figuras, constituídas cada uma delas, por quadrados e círculos numerados de a 5. Para cada opção, considere: A experiência que consiste na escolha aleatória de um dos cinco elementos que constituem a figura; Os acontecimentos: X: a figura tem número par e Y: a figura é um círculo. Tem-se P( X Y) 2 = na opção C por lá termos que a probabilidade e a figura ter 2 números pares sabendo que a figura é um quadrado. De facto temos 2 dos quadrados com números pares.. (B) Seja Ω o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos (A Ω e B Ω ) Sabe-se que P( A) = 0,5 e que P( B) = 0,7 Podemos garantir que A e B são acontecimentos compatíveis. Professora: Rosa Canelas 5
6 4. (A)Uma variável aleatória X tem a seguinte distribuição de probabilidades: x i 0 a 2a P ( X = x i ) 0, 0,5 b Sabe-se que o valor médio do valor da variável aleatória é 2,7. O valor de b é b = ( 0,5 + 0,) = 0,2 e então a é tal que: 0 0, + a 0,5 + 2a 0, 2 = 2,7 0,5a + 0, 4a = 2,7 0,9a = 2,7 a = 5. (B) O diâmetro, em milímetros, dos parafusos produzidos por uma certa máquina é uma variável aleatória distribuição normal, de valor médio 5. X com Qualquer parafuso produzido por essa máquina passa por um controle de qualidade. Ao passar por esse controle, o parafuso é aprovado se o seu diâmetro estiver compreendido entre 4, e 5,9 milímetros. Caso contrário, é rejeitado. Sabe-se que 99,7% dos parafusos são aprovados, pelo que 4, é 5 σ e 5,9 é 5 + σ. Finalmente dado que σ = 0,9 σ = 0, Grupo II. Num saco há seis bolas, sendo três delas vermelhas, duas azuis e uma preta. Considere a experiência que consiste na extração aleatória de uma bola e no registo da cor... O espaço amostral é E = {vermelho, azul, preto}.2. Identifiquemos os acontecimentos elementares {vermelho}, {azul} e {preto}. O que tem maior probabilidade de ocorrer é {vermelho}.. Considere os acontecimentos: A: sair bola vermelha ; B: sair bola verde ; C: não sair bola azul ; D: não sair bola amarela... Representemos os acontecimentos na forma de conjuntos: A D = = { vermelho} B = { } = C = { vermelho,preto} { vermelho,azul,preto }..2. B é um acontecimento impossível, A é um acontecimento elementar e C é um acontecimento composto. Professora: Rosa Canelas 6
7 ... Indiquemos a probabilidade de ocorrer cada um dos acontecimentos A, B, C e D. 6 2 ( ) = = P( B) = 0 P( C) = = ( ) P A P D = 2. Numa estação de serviço, observou-se que 2% dos seus clientes compram gasolina sem chumbo 95, 56% preferem sem chumbo 98 e os restantes gastam gasóleo. Verificou-se ainda que, dos clientes que compram gasolina sem chumbo 95, 20% enchem o depósito, o mesmo acontece com 60% dos que compram gasóleo e com 25% dos que gastam gasolina sem chumbo Determinemos a probabilidade de um automobilista abastecer o seu automóvel nesta estação de serviço, e não encher o depósito. P( E) = 0,2 0,8 + 0,56 0,75 + 0,2 0,4 = 0,724 E 20% SC95 2% 80% 25% 56% SC98 E E E 2% 75% E 60% E G 40% E 2.2. Sabe-se que um cliente encheu o depósito do seu carro. A probabilidade de ter abastecido com gasolina sem chumbo 98 é ( ) ( ) P SC98 E 0,56 0,25 P( SC98 E) = = 0,507 P E 0,2 0,2 + 0,56 0,25 + 0,2 0,6 P( SC98 E) 50,7%. Sejam A e B dois acontecimentos associados a uma experiência aleatória... Mostremos que, se A e B forem acontecimentos independentes, tem-se: P( A B) = P( A) + P( B) P( A) Ora P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) = P( A) + P( B) P( A) P( B) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A + P B P A = P A + P B P A.2. Admitamos que A e B são independentes e que P( A) = e P( A B) ( B) começando por calcular ( ) P A P B. P( A B) = P( A) P( B) leva a que ( ) ( ) Então P( A B) 2 = + = =. Determinemos 6 = 2 P B P B = P(B) = Professora: Rosa Canelas 7
8 4. Numa caixa há 5 bolas, 2 pretas e azuis. Considere a experiência aleatória que consiste em retirar da caixa, simultaneamente e ao acaso, duas bolas e verificar a cor das mesmas. 4.. Determinemos a probabilidade de serem extraídas as duas bolas pretas. 2 P = = Admitamos que a experiência vai ser realizada três vezes, nas mesmas condições. Seja X a variável aleatória número de vezes em que as bolas extraídas são pretas. Calculemos P( X = 0) = binompdf,,0 = 0,728(9) 0 P P2 A A2 A P PP2 PA PA2 PA P2 P2P P2A P2A2 P2A A AP AP2 AA2 AA A2 A2P A2P2 A2A A2A A AP AP2 AA AEA2 P( X = ) = binompdf,, = 0,24 0 P( X = 2) = binompdf,,2 = 0,026(9) 0 P( X = ) = binompdf,, = 0,00 0 Para construirmos a tabela de distribuição de probabilidade x i 0 2 P(X=x i ) 0,728(9) 0,24 0,026(9) 0,00 Calculemos o valor médio da variável X. O valor médio é 0,. Professora: Rosa Canelas 8
9 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 2º Ano de Matemática A Tema I Probabilidades e Combinatória º Teste de avaliação Critérios de correcção Grupo I (50 pontos) Cada resposta certa vale 0 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos C C B A B Grupo II (50 pontos) {V} 2 {A} 2 {P} 2 {V} é o mais provável A 2 B 2 C 2 D Acontecimento impossível Acontecimento elementar Acontecimento composto P(A) 2 P(B) 2 P(C) 2 P(D) Árvore 0 Professora: Rosa Canelas 9 Ano Lectivo 200/20
10 Resposta Aplicar P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) 5 Aplicar P( A B) = P( A) P( B) 5 Completar a demonstração Calcular P( A ) 0 Calcular P( A B) Tabela 5 Resultado Tabela 4 P( X = 0) 4 P( X = ) 4 P( X = 2) 4 P( X = ) 4 Valor médio 5 Total 200 Professora: Rosa Canelas 0 Ano Lectivo 200/20
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