FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 12.º Ano Versão 4

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 12.º Ano Versão 4 Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato. 2 (10) 1. Do desenvolvimento do binómio 2 5 x resulta um polinómio de grau 10. Determine, caso exista, o monómio (ou termo) de grau 3 do seu desenvolvimento. Qualquer termo do desenvolvimento deste binómio é da forma, com 2 Assim, 2 No termo de grau 3 temos, ou seja, Como não é um natural (de 0 a 5), o desenvolvimento de não tem termo de grau 3 1 (10) 2. As letras apresentadas abaixo representam uma linha completa do triângulo de Pascal. a b c d e f g h i j Indique, justificando, qual das opções seguintes representa o valor de c d. (A) 9 A 3 (B) 10 C 4 (C) 10 C 3 (D) 9 C 4 Como esta linha tem 10 elementos, trata-se da linha 9 (a linha n tem elementos) 1 Assim, e (os elementos da linha n são,,,, ) 3 Portanto, pela lei da Pascal, temos 3 Logo, a OPÇÃO C é a correta 3 Ficha de avaliação da Matemática A 12.º Ano Página 1/6 Versão 4

2 3. Uma turma do 12º ano, com 25 alunos, sendo 10 rapazes e 15 raparigas, ganhou um concurso cujo prémio são 10 bilhetes para uma estreia de cinema. (15) 3.1. De quantas formas podem ser sorteados os 10 bilhetes pelos rapazes e raparigas da turma, respeitando as proporções de cada sexo? Para sortear os 10 bilhetes, de forma proporcional, pelos 25 alunos da turma, os rapazes ficam com bilhetes e as raparigas ficam com bilhetes 4 Portanto, para distribuir os 10 bilhetes temos de fazer grupos de 4 rapazes e de 6 raparigas. Assim, existem formas de distribuir os bilhetes pelos 25 alunos Outra resposta (errada): 5 (15) 3.2. A Ana, a Bernardete, a Cristina e a Daniela são quatro amigas da turma que tiveram a sorte de lhes sair um bilhete. Como o cinema tem filas de precisamente 10 cadeiras, os 10 alunos compraram uma fila completa. Se a distribuição dos bilhetes for aleatória, qual é a probabilidade de as quatro amigas se sentarem em lugares consecutivos (seguidos) dessa fila? As amigas: Ana, Beatriz, Cristina e Daniela têm de ocupar 4 lugares consecutivos da fila de 10 lugares Por exemplo: A B C D é uma possível sequência 4 8 Em que: 7 representa as formas de as 4 amigas ocuparem lugares seguidos representa as permutações dos restantes 6 amigos representa as permutações das 4 amigas entre si Portanto, Outro processo: Assim, 3, representa todos os grupos de 4 lugares 5, pois só há 7 grupos com os 4 lugares seguidos Considere as funções f e g definidas nos seus respetivos domínios por: e gx 4 x 2 f x log2 2x 2 (20) 4.1. Resolva, analiticamente, a equação g x f 1. Temos = = = 2 2 Portanto, x Assim, Ficha de avaliação da Matemática A 12.º Ano Página 2/6 Versão 4

3 (20) 4.2. Mostre que a função composta, g f, é definida por 2 g f x 4x 6x 2 Temos, = = (2+2)+(2+2) = = = (20) 4.3. A figura abaixo mostra parte das representações gráficas das funções f e h, sendo h definida por h x log x. Os gráficos das duas funções intersetam-se no ponto C, e 2 8 A e B são os pontos de interseção de cada gráfico com o eixo das abcissas. Determine a área do triângulo ABC, apresentando todos os cálculos efetuados. Temos,, em que 1+1 e, em que e 2 Zero de f: 4 Zero de h: 3 Abcissa de C: 4 Ordenada de C: 2 Portanto, = = 3 (20) 5. Num lago onde não havia peixes, introduziram-se, num determinado momento, alguns peixes. Admita que, t anos depois, o número p de peixes existentes no lago é dado, aproximadamente, pela função: e 0 12 p t, t, t 0 Entretanto, noutro lago, foram também introduzidos, no mesmo instante, a mesma quantidade inicial de peixes. No entanto, neste segundo lago, o número de peixes aumentou mais lentamente do que no outro lago. Admita que, t anos depois, o número q de Ficha de avaliação da Matemática A 12.º Ano Página 3/6 Versão 4

4 peixes existentes neste segundo lago é dado, aproximadamente, pela função seguinte, para certos valores de a e de b. q t ae bt, t 0 Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, refira o que pode garantir sobre os valores de a e de b, comparando cada um deles com o valor da constante correspondente da expressão algébrica de p. Exemplo de uma possível resposta Sabemos que foram introduzidos em ambos os lagos a mesma quantidade inicial de peixes. Portanto, a quantidade inicial é a mesma em ambos os lagos, isto é, Também é dito que, no segundo lago, o número de peixes aumentou mais lentamente do que no primeiro. Portanto, para cada t positivo, temos pois Concluímos, assim, que a constante a é igual à correspondente constante da função p, constante b é maior do que a constante correspondente da função p,. Para que a composição seja considerada completa, deverá contemplar os seguintes quatro pontos: Explicação da razão pela qual ; Cálculo e conclusão de que ; Explicação da razão pela qual, para cada t positivo; Cálculo e conclusão de que. A explicação de cada um destes pontos vale 5 pontos, de acordo com os seguintes critérios: e que a o motivo apresentado está devidamente fundamentado 5 o motivo é correto mas a sua fundamentação está incompleta ou contém imperfeição 3 o motivo apresentado é correto mas a sua fundamentação está errada ou não existe 1 o motivo apresentado não é correto 0 6. O Sr. João tem uma pastelaria e não gosta de deixar nada ao acaso. Com a ajuda do ar condicionado, a temperatura ambiente dentro do estabelecimento é mantida a 20 graus. A máquina do café está programada para tirar cafés à temperatura de 70 graus. Admita que a temperatura de um café, em graus centígrados, t minutos depois de retirado da máquina é dada por uma função do tipo ct A 50e Bt, com t 0. Resolva as questões seguintes exclusivamente por métodos analíticos, recorrendo à calculadora para efetuar eventuais cálculos numéricos. Se proceder a arredondamentos nos cálculos intermédios mantenha, pelo menos, 3 casas decimais. Ficha de avaliação da Matemática A 12.º Ano Página 4/6 Versão 4

5 (20) 6.1. Sabendo que um café, que saiu da máquina a 70 graus, chega ao cliente 2 minutos depois, à temperatura de 65 graus, mostre que A 20 e B 0, 05., com t 0, representa a temperatura do café t minutos após sair da máquina Sabemos que e. Daqui resulta que: Portanto, e (2 c.d.) 1 (15) 6.2. Para os valores de A e de B referidos na alínea anterior, mostre que: 50 t ln c Temos de resolver a expressão em ordem a t (10) 6.3. Calcule lim ct t e interprete o valor obtido no contexto da situação descrita. = = = = 20 5, significa que ao fim de muito tempo a temperatura do café aproxima-se de 20 graus, isto é, vai diminuindo até se aproximar da temperatura ambiente da pastelaria 5 Nota: Se o aluno referir apenas que significa que é assíntota horizontal do gráfico de c será penalizado em 2 pontos (não atende ao contexto). 3 (10) 6.4. O Sr. João serve o café em chávenas vermelhas ou azuis. Certo dia estavam em cima do balcão 5 chávenas azuis e 4 vermelhas, formando uma fila, como ilustra a figura seguinte: Diga, justificando adequadamente, quantas filas diferentes é possível formar com estas 9 chávenas, de modo que duas chávenas vermelhas nunca fiquem juntas (ou seguidas). Para que as chávenas vermelhas não fiquem juntas, tal como mostra a figura acima, há 6 lugares onde se podem colocar, de acordo com o esquema: _A_A_A_A_A_ 5 Assim, só temos de formar grupos de 4 escolhidos entre os 6, ou seja, são possíveis filas sem chávenas vermelhass seguidas 5 Ficha de avaliação da Matemática A 12.º Ano Página 5/6 Versão 4

6 (15) 7. Nota: responda apenas a uma das duas questões seguintes, à sua escolha Lança-se 10 vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Indique, justificando adequadamente, um acontecimento cuja probabilidade seja dada por: C Sabemos que é a probabilidade de sair qualquer uma das faces do dado num único lançamento e representa a probabilidade de não sair uma determinada face do dado 2 Assim, sendo X a variável por exemplo, temos, de acordo com a lei binomial da probabilidade: representa a probabilidade de a face 1 sair exatamente 9 vezes 3 representa a probabilidade de a face 1 sair 10 vezes 2 representa a probabilidade de a face 1 sair pelo menos 9 vezes 3 Dado que, 3 A expressão dada representa a probabilidade de a face 1 sair, no máximo, 8 vezes Lançaram-se dois dados perfeitos n vezes. n 35 A probabilidade de sair pelo menos uma vez a face 1 é dada por p Quantas vezes se devem lançar os dados para que esta probabilidade seja superior a 90%? Pretendemos descobri n de modo que 1 Assim, Para temos. Portanto os dados devem ser lançados pelo menos 82 vezes 2 BOM TRABALHO! Prof. José Tinoco Ficha de avaliação da Matemática A 12.º Ano Página 6/6 Versão 4