Prova Escrita de Matemática

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Luiz Gustavo Borja Câmara
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1 Nova School of Business and Economics Acesso ao Ensino Superior por Maiores de 23 Anos Data: 27 de Maio de 2016 Duração: 2 horas Instruções: Esta prova é constituída por dois grupos: I e II. O grupo I contém sete perguntas de escolha múltipla e quatro respostas possíveis para cada uma, das quais apenas uma está correta. Para cada pergunta, circule a resposta que considera correta, não apresentando os cálulos efetuados. Se circular mais do que uma resposta para a mesma pergunta, será considerado que não respondeu à pergunta. Cada resposta certa vale 1 valor, cada resposta errada vale 1 valores e cada resposta não dada ou 3 inválida vale 0 valores. A cotação total mínima deste grupo é 0 valores. O grupo II contém três perguntas de resposta aberta, a primeira com três alíneas, a segunda com cinco alíneas e a terceira com duas alíneas. A cotação de cada alínea está indicada antes do seu enunciado. Apresente todos os cálculos e justifique todos os raciocínios que efetuar. Se necessitar de efetuar arredondamentos em passos intermédios, utilize duas casas decimais. Responda a cada pergunta no espaço que lhe corresponde, podendo utilizar a frente e o verso de cada folha. Não serão esclarecidas dúvidas durante a realização da prova. Se necessitar de assumir uma hipótese para a resposta a uma questão, indique-o, e seja coerente com a hipótese que assumiu nos passos que se seguirem. Utilize apenas material de escrita e máquina de calcular. Não utilize telemóveis nem material de consulta. Não desagrafe esta prova. As últimas duas páginas desta prova são destinadas a rascunhos, cujos conteúdos não serão corrigidos. Nome: 1

2 Grupo I 1 O primeiro e quarto elementos de uma determinada linha do triângulo de Pacal somam 36. Quanto somam o terceiro e quarto elementos da linha anterior? a) 8. b) 36. c) 7. d) O António, a Beatriz, a Catarina e o Diogo foram a uma sessão gratuita de cinema, sem garantia de terem lugares. Quando lá chegaram, havia apenas 3 lugares seguidos vagos. Sortearam quem se sentaria e em que lugares. Qual a probabilidade de o António se ter sentado no lugar do meio? a) b) c) d) Seja f uma função real de variável real, cujo contradomínio é [ 1; 3]. Qual o contradomínio da função g = 2 f? a) [1; 5]. b) [0; 3]. c) [ 1; 0]. d) [ 1; 3]. 4 Seja f uma função real de variável real ímpar. O que pode garantidamente afirmar sobre a função g = f? a) É par. b) É ímpar. c) É injetiva. d) Não tem zeros. 2

3 5 Sejam f e g duas funções reais de variável real tais que g(x) = ln(x) e lim x 2 +((g f)(x)) =. Qual das seguintes pode ser a expressão de f(x)? a) 4 2 x. b) x. c) e x. d) x Realizou-se uma corrida cujo linha de partida e de chegada se localizavam no mesmo local, denominado origem. O percurso levava os atletas a afastarem-se cada vez da origem, numa primeira fase, e, depois do ponto de retorno, a aproximarem-se cada vez mais dela, até a atingirem. A distância, d, medida em km, a que um dos atletas participantes se encontrava da origem, t horas após a partida, é dada por d(t) = t 3 13t t. Ao fim de quanto tempo de corrida este atleta atingiu o ponto de retorno? a) 2 horas. b) 1 hora e 30 minutos. c) 5 horas. d) 2 horas e 30 minutos. 7 As representações no plano complexo das 4 raízes de índice 4 de um número complexo z encontram-se nos eixos do referencial. Qual dos seguintes números complexos pode ser z? a) cis ( π ). 2 b) 2i. c) 3cis ( 3 π). 2 d) 3. 3

4 Grupo II 1 (4 valores) Numa turma de uma escola em Lisboa, todos os alunos são adeptos de, no máximo, 2 clubes de futebol, entre Sporting, Benfica e Belenenses. As seguintes informações são conhecidas: A turma tem 20 alunos. 2 dos alunos não são adeptos de qualquer clube. Nenhum aluno é adepto de, simultaneamente, Sporting e Benfica. Há 8 alunos que são adeptos do Sporting, mas não do Belenenses. Há tantos alunos adeptos, simultaneamente, de Benfica e Belenenses, como os que são adeptos apenas do Belenenses. é 1 5. A probabilidade de um adepto do Sporting, escolhido ao acaso, ser adepto do Belenenses A probabilidade de um adepto do Belenenses, escolhido ao acaso, não ser adepto do Benfica é 3 4. a) (2 valores) Calcule o número de alunos desta turma que são adeptos do Belenenses. (Se não conseguir resolver esta questão, assuma, nas seguintes, que há, nesta turma, 10 alunos adeptos do Sporting, 2 dos quais são adeptos do Belenenses). b) (1 valor) Os 10 alunos desta turma que são adeptos do Sporting vão organizar um jogo de futsal entre si, formando duas equipas de 5 jogadores cada. Para isso, vão sortear a composição das equipas e as posições de cada jogador (cada equipa vai ter um guarda-redes, um fixo, um ala esquerdo, um ala direito e um pivot). Qual a probabilidade de os dois alunos que são adeptos do Belenenses jogarem a ala direito? Apresente o resultado com arredondamento às centésimas. c) (1 valor) O Abel é um dos alunos que vai jogar o jogo de futsal. Sabe-se que a probabilidade de cada remate do Abel resultar em golo é 1 e que o Abel vai rematar 5 2 vezes à baliza durante o jogo. Seja X a variável aleatória Número de golos marcados pelo Abel durante o jogo de futsal. Qual o valor médio de X? Apresente o resultado na forma de fração irredutível. 4

5 Resposta Pergunta 1 5

6 6

7 2 (6, 5 valores) Sejam f e g duas funções reais de variável real. f é definida por: e (x 1)2 se x < 1 f(x) = { log 3 (2 + sen(ax)) se x 1 (a R) g é uma função contínua, de domínio R, cujo gráfico está representado na figura abaixo: a) (1 valor) Sabendo que f é contínua em x = 1, determine a. (Se não conseguir resolver esta questão, assuma, nas seguintes, que a = π 2 ). b) (1 valor) Indique, justificando, o domínio e o contradomínio de f. (Se não conseguir resolver esta questão, assuma, nas seguintes, que D f = R). c) (2, 5 valores) Estude a monotonia e a concavidade de f no intervalo ] ; 5], indicando os intervalos onde a função é crescente e decrescente, os pontos em que atinge mínimos e máximos relativos, os intervalos em que o seu gráfico tem a concavidade voltada para cima e para baixo e os pontos de inflexão do seu gráfico, sempre que cada um deles exista. (Lembre-se que, para qualquer α R, sen 2 (α) + cos 2 (α) = 1.) d) (1 valor) Averigue da existência de assíntotas verticais do gráfico de f g. e) (1 valor) Mostre que g f tem pelo menos um zero no intervalo [0; 3]. 7

8 Resposta Pergunta 2 8

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10 10

11 11

12 3 (2, 5 valores) Em C, conjunto dos números complexos, considere z 1 = 2cis ( π 4 ), z 2 = 3 + 3i e z 3 = 2cis ( 11 6 π). a) (1, 5 valores) Calcule z 3 z 1 z 2. Apresente o resultado na forma algébrica. z 3 +i (Lembre-se que z e z representam, respetivamente, o módulo e o conjugado de z). b) (1 valor) Seja z 4 = a + i, com a > 1. Seja R a região do plano complexo definida por: Im(z) Im(z 1 ) arg(z) arg(z 1 ) z z 1 z z 4 Determine a de forma a que a área de R seja 1. (Lembre-se que Im(z) e arg(z) representam, respetivamente, a parte imaginária e o argumento de z). 12

13 Resposta Pergunta 3 13

14 14

15 Rascunhos 15

16 16

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Nome: Nº. Página 1 de 9 Nome: Nº Página 1 de 9 Página 2 de 9 1. Uma urna contém 5 bolas, numeradas de 1 a 5 e indistinguíveis ao tato. Retiram-se sucessivamente 3 bolas com reposição e em cada extração anota-se o número obtido.