PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME NACIONAL DE MATEMÁTICA B (PROVA 735) 2ªFASE. =3 log 3,5+1 =3 log 3,5+1

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1 PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME NACIONAL DE MATEMÁTICA B (PROVA 735) 2ªFASE Grupo I 1. O tempo que o recipiente demorou a ficar vazio é o zero da função Q, pelo que é necessário calcular o zero da função Q. Introduz-se a função Q, na calculadora gráfica =3 log +1 =3 log +1 log2 Através da observação do gráfico, conclui-se que o zero da função é 7. Assim, pretende-se saber qual a quantidade de subtância existente no recipiente no momento em que t foi igual a metade do tempo que este demorou a ficar vazio, ou seja, para = =3,5. Então, =3 log 3,5+1 =3 log 3,5+1 log2 0,8 R: A quantidade de subtância existente no recipiente no momento em que t foi igual a metade do tempo que este demorou a ficar vazio é aproximadamente 0,8 centilitros O facto da, >0, significa que a temperatura corporal do doente ás 12 horas foi superior à registada às 0 horas, isto é, 12 > 0. Mas não se pode afirmar que a temperatura corporal tenha estado sempre a aumentar, ou seja, não podemos concluir nada sobre a monotonia da função T.

2 Por exemplo, se 0 =38; 6 =37; 12 =40 tem-se que,, = = = 2 12 >0 ou seja, embora a taxa média de variação entre as 0 horas e as 12 horas seja positiva, a temperatura corporal do doente foi inferior, às seis horas por exemplo, e por isso não esteve sempre a aumentar nesse intervalo. 2.2.Pretende-se encontrar uma expressão que defina a função que dá, em graus Celsius por hora, a taxa de variação instantânea da função T no instante x, tal que: para =4,5, o seu valor seja zero (pois =4,5 é um mínimo da função T); para =17,5, o seu valor seja zero (pois =17,5 é um máximo da função T); para =23, o seu valor seja -0,5 (pois a temperatura estava a descer cerca de meio grau Celsius por hora). A expressão correta é a apresentada em D. A expressão apresentada em A não está correta, porque para =23 toma o valor -1, o que significaria que a temperatura estava a descer um grau Celsius por hora e não cerca de meio grau Celsius por hora, como consta do relatório. Quanto à expressão apresentada em B não está correta, porque embora a função contenha dois zeros os seus valores não são os pretendidos (4,5 e 17, 5), isto é, os zeros da função são 6,0 e 14,8, aproximadamente,

3 Relativamente à expressão apresentada em C não está correta, porque para =23 toma o valor 0,5, aproximadamente, o que significaria que a temperatura estava a crescer meio grau Celsius por hora e não a descer cerca de meio grau Celsius por hora, como consta do relatório. Grupo II 1. Pretende-se escrever a equação reduzida da reta r do tipo = +. Da reta r são conhecidas as coordenadas de dois pontos, nomeadamente, P(3,0) e N(0,3). Assim, pode-se calcular o declive da reta, = = = 1 Através do ponto N(0,3), pode-se concluir que a ordenada na origem é 3. Então, a equação reduzida da reta r é = Atendendo à questão anterior, sabe-se que para 1,2,3,4,5,6, a equação reduzida da reta é = +. Assim, o triângulo [NOP] é isósceles em que os lados [OP] e [NP] têm comprimento igual a b. Logo, a área do triângulo é: = 2 = 2 =1 2 =0,5 Considerando que x é a abcissa do ponto P, a área do triângulo é dada pela função, =0,5 para 1,2,3,4,5,6.

4 Atendendo ao enunciado, sabe-se que a face que ficou voltada para cima, no lançamento do dado, tinha inscrito o número 4, o que significa que, =4. O Diogo ficou com o quadrante I, então corresponde-lhe o triângulo [NOP] cuja área é: 4 =0,5 4 =8 Ao Eduardo foi-lhe atribuído o quadrante II, pelo que o seu triângulo é o [MNB] cuja área é: 4 =0, =4 R: Como a área do triângulo [NOP] é maior do que a do triângulo [MNB] quem ganhou o jogo foi o Diogo Para que haja empate no jogo, as áreas dos triângulos têm que ser iguais, isto é, = 0,5 =0, Recorrendo à calculadora gráfica obtém-se: Através da observação da calculadora gráfica conclui-se que, = 3,31. Como 1,2,3,4,5,6, pode-se concluir que nunca há empate, ou seja, existe sempre um e um só vencedor.

5 Grupo III Atendendo à figura seguinte pretende-se saber qual a distância do ponto A ao segmento de reta CD, ou seja, qual o valor de x. Através da observação da figura, tem-se que: sin = sin = 1 sin = Além disso, sabe-se que a amplitude α, em radianos, é dada, aproximadamente, pela função L, para t segundos após o instante inicial. Assim, pretende-se saber o valor da amplitude α para = 0, logo, = 0 = 2 1,1, 12 cos 0 = 2 1,1 12 cos 0 =5 12 Como, sin = e =, vem que, sin 5 12 = 0,966 Logo, a distância do centro da esfera à barra, no instante inicial, é aproximadamente, 0,966 metros, ou seja, 9,66 centímetros, pelo que se conclui que está compreendida entre 96 centímetros e 97 centímetros, 1.2. O facto de a reta de equação = ser assíntota do gráfico da função L, significa que, com o decorrer do tempo, o centro da esfera oscila aproximando-se do ponto R, ou seja, o fio tende a ficar na vertical Atendendo ao enunciado, tem-se que: =5 e =5 0,9=4,5. Logo, a sucessão é uma progressão geométrica, em que =5 e a razão é 0,9. O termo geral de uma progressão geométrica é dado pela expressão =. Logo, =5 0,9 =5 0,9 0,9 =5 0, =5 0, =50 9 0,9 Ou seja, = 0,9.

6 2.2. Atendendo que a sucessão é uma progressão geométrica, de razão 0,9 e =5, temse que a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é: =5 1 0,9 1 0,9 =5 1 0,9 = 5 0,1 0,1 1 0,9 =50 1 0,9 Pretende-se provar que, a soma nos n primeiros termos da sucessão nunca é superior a 50 dm, ou seja, < ,9 <50 1 0,9 <1 0,9 <0 0,9 >0 A condição 0,9 >0 é verdadeira para qualquer valor de N, logo a soma nos n primeiros termos da sucessão nunca é superior a 50 dm. Grupo IV 1. Considere-se os seguintes acontecimentos: A: responder que «Sim» à questão A; : responder que «Não» à questão A; B: responder que «Sim» à questão B; : responder que «Não» à questão B; Sabe-se que: 150 alunos responderam «Sim» à questão A; 140 alunos responderam «Sim» à questão B; 20 alunos responderam «Não» às duas questões. Para organizar a informação, pode-se recorrer a uma tabela: B Total A = = = =50 Total = Uma vez que foi selecionado, ao acaso, um aluno de entre os que responderam «Sim» à questão A, a probabilidade de esse aluno ter respondido «Sim» à questão B é 0,73, ou seja, aproximadamente 73%.

7 2. A partir do gráfico, pode-se organizar a informação numa tabela: Idade (em anos) F(x) Nº alunos = = = = =5 Das propriedades do desvio-padrão sabe-se que o seu valor não altera quando se adicionam dois valores. Assim, o desvio padrão das idades dos alunos quando lhes foi aplicado o inquérito é igual ao desvio padrão das idades dois após a aplicação do inquérito. Para calcular o desvio padrão, introduz-se na calculadora gráfica a lista 1, que é composta pelas idades dos alunos (12, 13, 14, 15, 16, 17) e a lista 2 que consiste no número de alunos (10, 68, 58, 42, 17, 5). O valor do desvio padrão é aproximadamente 1,15. FIM Esta proposta de resolução também pode ser consultada em