PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 635) 2ª FASE 18 DE JUNHO Grupo I

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1 PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 5) ª FASE 18 DE JUNHO 01 Grupo I Questões Versão 1 B C A D B A C A Versão A D B B C A D C Grupo II 1 11 z 1 1+ i + i 1 + i + 5 i4 i 1 + i i cis π, porque z 1 1 e um argumento de z 1 é π z iz 1 ( z ) n cis π cis π cis π cis π n cis π cis 7π cis π n cis π n ( z ) n é um número real negativo quando π n π + kπ, k n 1k, k Fazendo concretizações de k, obtemos n para k 1, sendo este o menor valor natural de n tal que ( z ) n é um número real negativo

2 1 cos π α cosα + isenα + i cos π α E assim se concluiu o pretendido cos π α cosα + isenα cos π α cosα + isenα cis( π α ) + isen( α ) + isen( π α ) cisα cis π α Como B:" Sairnúmeromenordoque " então B :" Sair número " 5, então 9 Sabe-se que P( A B) P( A B) P( A B) P( A B) 5 9 P ( A B ) P( A B) 5 9 e que P( B A) 7, então 7 P A B P B A P A 1 P( A B) P( A B) P( A B) 5 9 P( A B) P( A B) 4 9 P( A B) 9 P( A) 7 P( A B) 7 Dado que P( A B) 9, temos:

3 P( A) 9 P( A) Uma vez que, A { 1, } e como A B { 1} e B { } são dois acontecimentos incompatíveis, então P( A) P( A B) + P B pelo que, P( B) P( A) P( A B) P( B) P( B) 5 9 Assim, conclui-se que a probabilidade de sair número é Do enunciado retiramos que a probabilidade de escolher, ao acaso, um jornalista e ele ser do sexo feminino é 5 Como existem 0 jornalistas então, o número jornalistas do sexo feminino é dado por 0 1, sendo os restantes 8 do sexo masculino 5 Os valores da variável Y são: 0, 1 e Assim, a tabela de distribuição da variável Y é: y i 0 1 P( Y y i ) 8 C 14 0 C 95 8 C 1 1 C C 95 1 C 0 C 95 Pretende-se determinar o número de maneiras diferentes dos 0 jornalistas se sentarem nas três primeiras filas, ocupando completamente a 1ª e a ª filas Resposta I): 0 C 1 1! 8 A 4 Existem 0 C 1 maneiras diferentes de formar grupos de 1 jornalistas, de entre os 0, para ocuparem as duas primeiras filas Para cada grupo de 1 jornalistas existem 1! maneiras de ocuparem os 1 lugares nas duas primeiras filas Restam 4 jornalistas que têm disponíveis 8

4 cadeiras na ª fila Há 8 A 4 maneiras diferentes dos restantes 4 jornalistas se sentarem, ordenadamente, em 4 cadeiras de entre as 8 disponíveis Existem, assim, ao todo, 0 C 1 1! 8 A 4 formas diferentes dos 0 jornalistas se sentarem, nas três primeiras filas, nas condições do enunciado Resposta II): 0 A 8 1 A 8 8 A 4 Existem 0 A 8 maneiras diferentes de se sentarem, ordenadamente, 8 jornalistas escolhidos entre os 0, na primeira fila Sentados 8 jornalistas, restam 1, sendo que 8 destes deverão ocupar completamente a ª fila Existem 1 A 8 formas diferentes dos 8 jornalistas, escolhidos de entre os 1, ocuparem as 8 cadeiras da ª fila Ocupadas as duas primeiras filas, restam 4 jornalistas para os quais há 8 A 4 formas diferentes de se sentarem ordenadamente em 4 cadeiras das 8 que constituem a ª fila Existem, assim, ao todo, 0 A 8 1 A 8 8 A 4 formas diferentes dos 0 jornalistas se sentarem, nas três primeiras filas, de acordo com o enunciado 4 41 A função f é contínua em x 1 se e só se lim f ( x) f ( x) f ( 1) x 1 Comecemos por calcular os limites laterais: lim f ( x) ( xe +x + x) e 4 + x 1 x 1 lim f ( x) + sen x 1 Atendendo a que o limite da soma é igual à soma dos limites das parcelas, quando estes existem, averiguemos se estes existem: 1 lim x lim ( 1+ x ) ( 1+ x ) 1+ x lim ( 1+ x ) 1 1

5 sen x 1 lim sen x 1 lim x 1 Considerando y x 1, quando x 1 + então y 0 + e assim, sen x 1 lim x 1 sen y lim 1 y Como os limites das parcelas existem, então, x + sen( x 1) 1 lim + lim sen x Donde concluímos que f não é contínua em x 1 porque os limites laterais são diferentes 4 e b finitos O gráfico de f admite uma assíntota de equação y mx + b, quando x, se existirem m f x m x b f x xe +x + x x x e +x + x e +x +, porque lim e +x 0 x ( xe +x + x x) ( xe +x ) e,fazendo y x, vem y + quando x e x x e y + e y y e y 0, dado que lim y + y + O gráfico de f admite uma assíntota oblíqua de equação y x, quando x

6 5 Para efetuar o estudo das concavidades do gráfico de g determinemos a expressão analítica da segunda derivada de g g'' ( x) ( ln( e x + e x + 4x) )' ( ex + e x + 4x)' e x + e x + 4x ex e x + 4 e x + e x + 4x Como x + então, e x + e x + 4x > 0 Calculem-se os zeros da segunda derivada de g: g ''( x) 0 e x e x e x + 4e x 0 e x 4 ± e x 4 ± 40 e x 10 ex + 10 impossível e x + 10 x ln + 10 x 0 ln ( + 10 ) + g''( x ) nd 0 + g( x ) nd PI Por observação da tabela, conclui-se que o gráfico de g tem a concavidade voltada para baixo no intervalo 0,ln( + 10 ) e voltada para cima em ln + 10,+ O gráfico de f tem um ponto de inflexão de abcissa ln( + 10 )

7 Consideremos a representação gráfica de f definida por f ( x) x 1+ln ( x +1) [ 1, ] no intervalo A área do triângulo [ AOP] é mínima quando a altura do triângulo, relativamente à base [ OA], for mínima, o que acontece quando a ordenada do ponto P for o máximo de f, no intervalo [ 1, ] Por observação do gráfico de f, sabemos que o seu máximo é 9 Assim, porque a área do triângulo [ AOP] é dada por A AOP área mínima é 9 [ ] OA f x f ( x) f ( x) a

8 7 71 Tendo em conta os dados da figura tem-se que, P OA+ AB [ ] OAB Determine-se OA, e AC, cos( π α ) OA OA cos π α tg( π α ) AC Pelo que, ( α) Assim, OA OA cos α cos α AC tg ( π α ) AC tg α ( α) AB tg tg P AB + OA [ OAB] tg ( α ) + cos( α ) tg ( α ) cos ( α ) Então, P( α ) tg( α ) cos α, α π,π

9 7 O declive da reta tangente ao gráfico da função P é igual à derivada da função P no ponto de abcissa 5 π Assim, determine-se a derivada da função P, P' ( x) tg( x) cos( x) ' ( tg( x) ) ' cos( x) 1 ( cos ( x ) )' cos ( x) cos ( x) 1 + sen ( x ) cos x cos ( x) sen x cos Logo, ( x) ' 5π P' sen 5π 5π cos Pelo que se conclui que o declive da reta tangente ao gráfico da função P, no ponto de abcissa 5π, é 1