MATEMÁTICA COMENTÁRIO DA PROVA. Professores de Matemática do Curso Positivo.

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1 COMENTÁRIO DA PROVA Na intenção de estabelecer um comentário mais abranjente, vamos analisar a prova sob a luz de 5 critérios: I. Correção dos enunciados: A prova comete duas imprecisões: na questão nº 6 haveria a necessidade de especificar que é o comprimento do arco que vale π, uma vez que a expressão medida do arco sugere o valor do ângulo central. Na questão nº 8, item b, seria necessário especificar que os números representados por a e b pertencem ao conjunto dos números reais. II. Contexto: As questões atendem esse quesito, apresentando enunciados claros e coerentes, com a ressalva das imprecisões citadas no item anterior. III. Abrangência: Um dos aspectos elogiáveis de prova. As questões conseguiram atender os principais tópicos do programa do ensino médio. IV. Graduação: A prova não apresenta questões fáceis nem difíceis. Ou seja, são de um padrão médio de dificuldade. Seria possível graduar um pouco melhor, o que aumentaria a qualidade de prova como instrumento de seleção. V. Pertinência: Dentro dos conteúdos programaticos abordados foram focados tópicos relevantes do assunto em questão. Outro aspecto elogiável da prova. No quadro a seguir, a síntese do comentário. Correção ( ) Adequado ( X ) Adequado parcialmente ( ) Inadequado Contexto ( X ) Adequado ( ) Adequado parcialmente ( ) Inadequado Abrangência ( X ) Adequado ( ) Adequado parcialmente ( ) Inadequado Gradação ( ) Adequado ( X ) Adequado parcialmente ( ) Inadequado Pertinência ( ) Adequado ( X ) Adequado parcialmente ( ) Inadequado Professores de Matemática do Curso Positivo. 1

2 O gráfico de f(x) = x + 1 é uma reta que passa pelos pontos (0, 1) e ( 1, 0) O gráfico de g(x) = senx é uma senóide de período π e amplitude igual a. O conjunto imagem é o intervalo [, ]

3 (fog)(x) = f(g(x)) = f( senx) = sen(x) + 1 O gráfico de (fog)(x) é uma senóide de período π e amplitude. O conjunto imagem é o intervalo [ 1, ] Esse gráfico pode ser obtido deslocando-se o gráfico de g(x) uma unidade para cima. (gof)(x) = g(f(x)) = g(x+1) = sen(x) + 1 O gráfico de (gof)(x) é uma senóide de período π e amplitude. O conjunto imagem é o intervalo [, ] Esse gráfico pode ser obtido deslocando-se o gráfico de g(x) uma unidade para a esquerda.

4 a) Sendo M o valor da média aritmética das seis notas do estudante, tem-se: 8,7. + 8,0 + 8, M = = = = 8, Logo, a média aritmética das notas das seis provas será igual a 8,5. Seja x o valor da média das duas últimas provas. Se a média das seis provas deve ser 9,0, então: 8,7. + x. 9,0 = +,8+ x 9,0 = 6 9,0. 6 =,8 + x 5,0,8 = x 19, = x 19, = x x = 9,6 Portanto, a média aritmética das notas das duas últimas provas deverá ser igual a 9,6.

5 A distância de P à origem O é: d PO = (16 0) + ( 0) d PQ = d PQ = 65 Resposta: A distância de P à origem é 65 u. c. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo OPQ, temos PO = PQ + OQ ( ) 65 = 1 + r 65 = 1 + r 11 = r 11 = r Resposta: O raio r tem medida igual a 11 u. c. 5

6 1 1 D= Aplicando o método de Sarrus, temos D = D = 0 Resposta: o determinante é igual a 0. Da segunda equação, temos: r = 8 p, Da terceira equação, temos: q = 1 p 6. Substituindo na primeira equação, temos p + 1 p p Multiplicando por : = p+1 p+8 p=9 0 = 0, onde concluímos que o sistema é possível e indeterminado e a solução (p, q, r) é p, 1 p 8 p,, sendo p, q e r quantidades. 6 6

7 Considerando-se que não há distinção entre vogais maiúsculas e minúsculas, cada vogal da senha pode ser escolhida de 5 maneiras possíveis (A, E, I, O ou U). Assim, pelo princípio fundamental da contagem, a quantidade total de senhas de cinco vogais que podem ser geradas pelo programa é dada por: = 5 5 = 15 Para que a senha seja segura, é necessário que não ocorram vogais iguais em posições consecutivas. Assim, escolhida arbitrariamente a primeira vogal, a segunda vogal deve ser diferente da primeira. A terceira vogal deve ser diferente da segunda, mas pode ser igual à primeira, pois a primeira e a terceira vogais não são consecutivas. Do mesmo modo, a quarta vogal deve ser diferente da terceira, mas pode ser igual à segunda; e a quinta vogal deve ser diferente da quarta, porém pode ser igual à terceira. Assim, sendo p(s) a probabilidade de a senha ser segura, tem-se: p(s) = = = 0,96% 5 65 A probabilidade de a senha ser insegura pode ser calculada considerando-se que senha segura e senha insegura são eventos complementares. Desta forma, sendo p(i) a probabilidade de a senha ser insegura, tem-se: p(i) + p(s) = 1 p(i) = 1 p(i) = p(i) = = 59,0% Portanto, a probabilidade de a senha ser insegura é igual a 59,0%. 7

8 O volume do bloco retangular é: V = Área da base. altura V =..8 V = 18 u.v. A área S da base da pirâmide é a área do triângulo equilátero de lado l = 8, ou seja: S = l S = 8 S = 16 u.a. Resposta: o volume do bloco é 18 u.v. e a área da base da pirâmide é 16 u.a. Seja h a medida da altura da pirâmide. Como a área da base dessa pirâmide é 16 u.a, temos que: Volume da pirâmide = 1 área da base x altura = 16.h Volume do bloco = 18 u.v. Para que os volumes sejam iguais devemos ter: 16.h 18 = h = 8 u.c. Resposta: A medida da altura da pirâmide deve ser 8 u.c. 8

9 Considerando π como sendo o comprimento do arco BE temos: α π = π. π α = π = 15 o (Em que α é a medida angular do menor arco BE) a) Triângulo BCD sen 5 o = BD = BD = BD u.c. A área hachurada S é a soma das áreas do setor circular ECB de ângulo central igual a π e do triângulo retângulo CDB. π π.r. Logo S = + π π π.. S = π. + 1 S = π + 1 u.a. 9

10 1.( i) z 0 = i + (+ i).( i) 1.( i) z 0 = i +.i 1.( i) z 0 = i + 1 z 0 = i + i z 0 = + i Resposta: Re(z 0 ) = e Im(z 0 ) = 1 Considerando a e b números reais: (1 i) + a(1 i) + b = 0 1 i + i + a ai + b = 0 (a + b) + ( a )i = 0 a+ b = 0 a = ; b = a = 0 Observação: Os valores de a e b só podem ser obtidos considerando a natureza de a e b. 10

11 r: y = ax + b (0; 1) r 1 = a.0 + b b = 1 (log; ) r = a. log = a. log 1 = a. 0, a = 10 Logo: y = 10 x + 1 é a equação da reta r. f(10 0,06 ) 10. 0, f(10 0,06 ) 0, + 1 f(10 0,06 ) 1, log 10 (1,7) = x 10 x = 1,7 f(x) = 1,7 Substituindo na função afim: 1,7 = 10. x + 1 0,7 = 10 x,1 = 10x x = 0,1 log(1,7) = 0,1 11

12 n = 1 P 1 = (7, 1) n = P =,. + 5, + 1 = 8 5 n = P =,. 1 1, , = = 5 n = P =,. +, + 1 = 17 A abscissa de P n é+ n. Quanto maior é o valor de n, a fração se torna tão próxima de zero quanto se n queira. Portanto, a abscissa de P n tende + 0, ou seja,. A ordenada de P n é n n + 1 = n + 1 =. Quanto maior é o valor de n, mais a fração 1 se aproxima de 1 1+ n n n zero. Logo, a ordenada de P n tende a = Resposta: conforme n aumenta, P n se aproxima do ponto (, ). 1