4 3 10! Resposta pedida: 3! x 4! = 144 Resposta: C

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1 ágina 80. reparar o Exame 0 07 Matemática A 4 0! 4 x x 0!. Devemos escolher, das oito posições, duas para as letras A: temos 8 formas de o fazer. Das seis posições restantes, uma tem de ser para a letra D (6 maneiras de distribuir esta letra). Sobram-nos letras possíveis para distribuir, ordenadamente, por cinco posições; existem A formas de o fazer. 8 x 6 x A. omo as jarras são iguais, existem 6 formas de distribuir as jarras pelas divisões disponíveis (basta escolher de entre os dezasseis lugares, os dois que vão ser ocupados pelas jarras). De entre os catorze lugares ainda disponíveis, temos de escolher, ordenadamente, os sete para as velas (repara que as velas são diferentes); existem 4 A 7 formas de o fazer. 6 x 4 A 7 4. onsideremos o bloco formado pelas três raparigas. Existem! maneiras de as raparigas permutarem entre si dentro do bloco. ara cada uma destas maneiras existem 4! formas de distribuir o bloco das raparigas e os rapazes pela mesa circular. Repara que como a mesa é circular, só interessa trocar os rapazes (H) entre H H M M eles, pois vamos obter disposições iguais, independentemente da posição ocupada pelo bloco das H H 4 M H raparigas (M), para cada uma das suas! permutações: M M H 4 H! x 4! = 44 M H roposta de Resolução dos Exercícios do Subcapítulo reparar o Exame ombinatória e robabilidades ágina

2 . 8 7! x 7! Os rapazes são um bloco, pelo que existem! formas de permutarem entre si; existem 7! maneiras de o bloco dos rapazes e as restantes 6 raparigas disporem-se pelos lugares reparar o Exame 0 07 Matemática A 8 x 7 x! x 7! = 8 A x! x 7! 6. Existem 0 possibilidades para a escolha da cor que irá colorir as bases. ara cada uma destas opções, existem 9 A 6 maneiras de escolher ordenadamente, de entre as nove cores disponíveis, seis cores distintas para pintar as faces laterais. Repara que as cores utilizadas para as faces laterais têm de ser distintas e diferentes da utilizada para colorir as bases. 0 x 9 A 6 = n n! n! 7. A n! 0 n! (n )! (n )! n 0 n n n 4 (n )! n! Assim, a equação considerada tem duas soluções. 0! =! = Repara que o 0 não pode ser o º algarismo 6 x 7 x = O professor deve escolher 4 perguntas de entre 8 (tem 8 4 maneiras de o fazer) ou deve escolher perguntas de entre 8 (tem 8 maneiras de o fazer) = 9 Relembra que n k + n k+ = n+ k+ roposta de Resolução dos Exercícios do Subcapítulo reparar o Exame ombinatória e robabilidades ágina

3 reparar o Exame 0 07 Matemática A x = = = Relembra que n k + n k+ = n+ k+. Se a soma dos três primeiros da linha descrita é, temos que + n + 0 = n =. Assim, estamos perante a linha com n= e o quinto termo da linha anterior é a = 4 4. Desta forma, as opções A e são incorretas. + 4 = , pelo que a opção B é incorreta = 4 a + 4 = 4 a = 4 4, pelo que a opção D é a correta.. n 4 = 6 n =. retende-se calcular = 7. onsideremos a linha descrita: a b c d e f g omo d = g e n k = n nk, sabemos que depois do g existem mais três elementos (iguais a c, b e a). Então, estamos perante a linha com n = 9 e f = Os termos do desenvolvimento de Repara que y y y y y y y y x y xy y 0 xy são da forma 0 p (xy ) 0p p 0 p (xy ) 0p xy p = 0 0p 0 p 0 x p y. omo 4ax 0 y 4 é um dos termos do p p desenvolvimento considerado, então 0 4 e obtemos p = 4. Então este termo é x y 60x y, pelo que 4a= 60 a = roposta de Resolução dos Exercícios do Subcapítulo reparar o Exame ombinatória e robabilidades ágina

4 reparar o Exame 0 07 Matemática A. Os termos do desenvolvimento de (x y) 8 são da forma 8 p x 8p (y) p. Assim, temos 9 termos, sendo positivos e 4 negativos. (y) p < 0 se p ímpar. aso contrário, (y) p > 0 asos possíveis: 9 asos favoráveis: para que o produto seja negativo, os coeficientes têm de ter sinais contrários. Existem x 4 formas de escolher dois coeficientes nestas condições ! 4! x = 7 6. ara um número ser múltiplo de, a soma dos seus algarismos tem de ser múltiplo de. Somando os algarismos que devem ser permutados obtemos, que é um múltiplo de. Assim, qualquer que seja a permutação destes algarismos, o número obtido é um múltiplo de, pelo que a probabilidade pedida é. 7. asos possíveis: como as bolas da mesma cor são iguais, basta-nos escolher as posições de saída das três bolas brancas (ou das cinco bolas pretas). Existem 8 casos (ou 8 ) asos favoráveis: as bolas brancas podem sair consecutivamente nas posições,, ou,, 4 ou, 4, ou 4,, 6 ou, 6, 7 ou 6, 7, 8. Assim, existem 6 casos favoráveis. 6 8 roposta de Resolução dos Exercícios do Subcapítulo reparar o Exame ombinatória e robabilidades ágina 4

5 reparar o Exame 0 07 Matemática A 8. asos possíveis: existem 0 formas de retirar bolas das 0 bolas disponíveis. asos favoráveis: a única forma de o produto dos três números não ser par é serem todos ímpares. ara estes caso existem formas de retirar as três bolas. Então, os casos favoráveis são No º lançamento pode sair qualquer face. No º lançamento só pode sair a face que saiu no º. No º lançamento só não pode sair a face que saiu nos lançamentos anteriores. No 4º lançamento não pode sair nenhuma das faces já saídas. 0. asos possíveis: existem 4! formas de arrumar os livros numa só fila. asos favoráveis: considerando os livros de Matemática como um bloco, existem 8! formas de permutar estes livros entre si. Depois, existem 7! maneiras de permutar o bloco de livros de Matemática com os restantes 6 livros. Assim, existem 8! x 7! casos favoráveis. 8! 7! 4!. asos possíveis: existem 4 formas de escolher 4 dos professores. asos favoráveis: temos de considerar o caso em que são escolhidos 4 professores da FUL ( 4 4 = possibilidade) e o caso em que são escolhidos professores da FUL e das restantes faculdades ( 4 x 8 = 4 x 8). Assim, existem + 8 x 4 casos favoráveis roposta de Resolução dos Exercícios do Subcapítulo reparar o Exame ombinatória e robabilidades ágina

6 reparar o Exame 0 07 Matemática A. asos possíveis: existem 8! permutações dos lugares escolhidos. asos favoráveis: em cada um dos 4 casais, enquanto bloco, existem! = formas de trocar de lugar. Os 4 casais têm 4! formas de permutar entre si. Assim, existem 4 x 4! casos favoráveis. 4 4! 8!. asos possíveis: existem 8 formas de escolher dos 8 vértices. asos favoráveis: observa a figura, onde está esta situação representada. Se dois dos vértices escolhidos forem o D e o E, então escolhendo qualquer um dos restantes 6 vértices obtemos um plano que contém o eixo Oz. Neste caso temos 6 casos favoráveis. Se escolhermos apenas um dos vértices D ou E, podemos escolher os vértices BG, ou H, ou AF. Neste caso existem x casos favoráveis. Não escolhendo nenhum dos vértices D ou E não existe qualquer caso favorável. Assim, existem casos favoráveis. 8 4 A F x z D E B H G y 4. asos possíveis: existem 6 formas de escolher dos 6 vértices. asos favoráveis: na figura encontram-se assinaladas as arestas estritamente paralelas ao plano AB. Assim, existem 6 casos favoráveis. ara cada aresta nas condições pedidas só existe uma forma de escolher dois vértices do prisma que a defina roposta de Resolução dos Exercícios do Subcapítulo reparar o Exame ombinatória e robabilidades ágina 6

7 reparar o Exame 0 07 Matemática A. ara que os triângulos estejam contidos em planos paralelos ao plano yoz, só podemos considerar os triângulos contidos nas faces AEHD e BFG. ara cada uma destas faces existem 4 formas de escolher vértices para formar um triângulo. Assim, existem x 4 = 8 triângulos nestas condições.. asos possíveis: existem 8 formas de escolher dos 8 vértices. asos favoráveis: para escolher dois vértices que definam uma reta paralela ao plano ABE, os vértices têm de ser escolhidos entre os das faces [ABFE] ou [DGH]. ada uma destas faces trem quatro vértices, pelo que existem x 4 casos favoráveis asos possíveis: 9 x 0. asos favoráveis: A x Escolhemos, ordenadamente, dos algarismos ímpares, para ocupar os três primeiros lugares. ada um dos três últimos lugares pode ser ocupado por um dos algarismos pares. A (B A) (A B) 0,4 (A) 0, (A) (A) 0, 0,4 (A) 0 A opção A não é a correta. (A B) (A) (B) (A B) 0,8 0, (B) 0, (B) 0,4 A opção B não é a correta. A B (A) (A B) 0, 0, 0,8 A opção não é a correta. (A B) 0, 0, 0,4 (A) (B) A e B são independentes A AB B roposta de Resolução dos Exercícios do Subcapítulo reparar o Exame ombinatória e robabilidades ágina 7

8 8. A B A B B A B B (A B) 0,8 (B) 0, 4 reparar o Exame 0 07 Matemática A 9. retende-se calcular a probabilidade de o ponto escolhido ter ordenada negativa, sabendo que tem abcissa positiva. Determinemos, então, o sinal de g(), g(), g(), g(4) e g(). g() < 0 g() < 0 g() > 0 g(4) > 0 g() > 0 0. retende-se determinar (B A) (B A). (A) (A B) (A B) (A B) 0,4 (A B) 0, (A). Então, (B) 0, (A) (B A) 0, (A) 0, (A) A B A B A B A B (B) (A) (B) A A A B B A B A e B são incompatíveis, logo AB = A B A B A A B A A A B (A) (B) A A B A (A) (B) B (A) (B).. 4 x x 7 x 6 x 4 x = 7 x 6 x x 4 x Repara que no regresso à estação A, entre D e, não se pode A-B; B-; -D D-; -B; B-A repetir o caminho que foi o escolhido entre e D. O mesmo sucede entre e B e B e A. roposta de Resolução dos Exercícios do Subcapítulo reparar o Exame ombinatória e robabilidades ágina 8

9 . Z Y X X Y Z Z Y X (X) (X) reparar o Exame 0 07 Matemática A (A B) (A) (B). (A B) 0,7 (A) 0,7. Então, (B) (B) A e B são independentes, logo (AB) = (A) x (B) A B A (A B) 0 0,7 0,7 0, 0,44 A AB B 4. Sejam os acontecimentos A n : a Adriana fica aprovada no exame de Análise e A l : a Adriana fica aprovada no exame de Álgebra. Tem-se que (A n ) = 0,7 (A l ) = 0,8 A n Al 0, retende-se calcular A n A l. Façamos um esquema desta situação. A n 0,0 0,6 0, A l 0,7 + 0,8 + 0, =,6 (A na l) = 0,6 0, Assim, A n Al A A n l 0, 0,8 6 A l roposta de Resolução dos Exercícios do Subcapítulo reparar o Exame ombinatória e robabilidades ágina 9

10 reparar o Exame 0 07 Matemática A. onsideremos os acontecimentos E: o Edgar fica aprovado no exame de condução e F: o Filipe fica aprovado no exame de condução. Sabe-se que (F) = 0,6, E 0, e (EF) = 0. retende-se calcular E F E FF E. E F 0, 0,6 E F E F F E E F F E 0, 0,6 0,4 0,8 6. retende-se determinar a probabilidade de a figura escolhida estar numerada com um número pertencente a π, 90 sabendo que não é um círculo. Das 7 figuras que não são círculos, temos três cujo número pertence ao intervalo considerado (4, 7 e 9) alculemos Y X bola laranja e uma bola azul. em cada uma das opções. Sabe-se que da caixa A foram retiradas uma Opção A: A caixa B fica com bolas laranjas e azuis Opção B: A caixa B fica com bolas laranjas e azuis Opção : 4 A caixa B fica com 4 bolas laranjas e azul Opção D: A caixa B fica com bola laranja e 4 azuis 8. retende-se determinar (X(XY)). (X(XY)) = (X) + (XY) (X(XY)) = (X) + (XY) (XY) = (X). (Y X) 7 (Y X) 4 7 (X) Repara que se um número é par e múltiplo de, então é múltiplo (X) (X) de 6, pelo que Z = XY. roposta de Resolução dos Exercícios do Subcapítulo reparar o Exame ombinatória e robabilidades ágina 0

11 9. retende-se determinar A B (AB) = (A) A B A B. (B) (AB) = 7 (A B) (A) (B) (A B) 9 A B= (B) (AB) A B A B A B A B (B) = 8 (A B) (B) 8 8 A B (B) reparar o Exame 0 07 Matemática A 8 A AB B 40. retende-se determinar a probabilidade de os elementos escolhidos serem positivos, sabendo que os mesmos têm ordem inferior a. Determinemos o sinal dos termos de ordem inferior a : u = < 0; u = < 0; u = < 0; u 4 = < 0; u = > 0; u 6 = > 0; u 7 = > 0; u 8 = > 0; u 9 = > 0; u 0 = > 0 Assim, dos 0 termos temos 6 que são positivos A A (A B) A A A B A (A B (A B) B A e B são incompatíveis, logo AB = (A) (B) (B) (B) (A) (B) (B) A A A B B A e B são equiprováveis, logo (A) = (B) roposta de Resolução dos Exercícios do Subcapítulo reparar o Exame ombinatória e robabilidades ágina

12 reparar o Exame 0 07 Matemática A 4. retende-se determinar a probabilidade de não sair bola verde, sabendo que saiu bola numerada com um número menor do que seis ou bola azul. Das 8 bolas azuis ou com um número menor do que seis, não são verdes Temos de considerar dois casos diferentes: a Maria vai tomar café a ou a Maria vai tomar café a D. A Maria vai tomar café a : A B: a Maria pode seguir caminhos diferentes. B : a Maria tem de percorrer 6 ruas, sendo duas delas para cima () e quatro delas para a direita (D). Um caminho possível é DDDD ou DDDD. Ou seja, para termos todos os caminhos temos de escolher os lugares para os 4 D (por exemplo), ou seja, temos 6 4 caminhos diferentes. Neste caso o número total de caminhos é x 6 4. A Maria vai tomar café a D: A B: a Maria pode seguir caminhos diferentes. B D: por um raciocínio análogo ao caso anterior, temos 6 caminhos diferentes. Neste caso o número total de caminhos é x 6. x x 6 = x ( ) = x 7 4 Relembra que n k + n k+ = n+ k+ 4. retende-se determinar a probabilidade de a Inês não passar por T nem por Q, sabendo que vai para E. Basta observar para a figura para perceber que para ir até E, é obrigatório passar por T ou por Q. Assim, a probabilidade pedida é retende-se determinar a probabilidade de escolher um par ordenado cuja abcissa é um número primo, sabendo que o quociente entre a ordenada e a abcissa é um número inteiro. Os pares ordenados em que o quociente entre a ordenada e a abcissa é um número inteiro são (, ), (, ), (, ) (, 4), (, ), (, 6), (, 7), (, 8), (, ), (, 4), (, 6), (, 8), (, ), (, 6), (4, 4), (4, 8), roposta de Resolução dos Exercícios do Subcapítulo reparar o Exame ombinatória e robabilidades ágina

13 reparar o Exame 0 07 Matemática A (, ) e (6, 6). Destes, apenas (, ), (, 4), (, 6), (, 8), (, ), (, 6) e (, ) têm como abcissa um número primo A soma de todas as probabilidades numa distribuição de probabilidades é. Assim, a x a = a = a = = = = a a = = = a + 0b + (a + b) + 6c = b + 6c 47. X = {0,, }. alculemos (X = 0), (X = ) e (X = ) (X = 0) = (X = ) = 6 robabilidade de retirar bola branca em ambas as caixas robabilidade de retirar bola preta na caixa A e bola branca na caixa B ou retirar bola branca na caixa A e bola preta na caixa B (X = ) = robabilidade de retirar bola preta em ambas as caixas 7 Então, μ roposta de Resolução dos Exercícios do Subcapítulo reparar o Exame ombinatória e robabilidades ágina

14 reparar o Exame 0 07 Matemática A 48. X = {0,, 6}. Se multiplicares os números de cada face dá 0, ou 6. alculemos (X = 0), (X = ) e (X = 6) (X = 0) = robabilidade de sair qualquer uma das faces que têm um 0 6 (X = ) = robabilidade de sair a face com os números,, 6 (X = 6) = robabilidade de sair as faces com os números,, 6 Então, μ 0 6, 6 e σ 0,, 6,,7 (X < + ) = (X <,) = (X = ) + (X = 0) = e μ A opção A está correta 6 (X > ) = (X = 6) = A opção B é falsa (X = ) (X = 6) A opção é falsa A opção D é falsa 6 = 0,, 6, 7, 49. odemos construir uma tabela de dupla entrada para estudarmos os 4 casos possíveis: (X > ) = a + a + = 9a 4 + 9a 4 = 0 a = a =. omo a tem de ser positivo, a =. 9 roposta de Resolução dos Exercícios do Subcapítulo reparar o Exame ombinatória e robabilidades ágina 4

15 reparar o Exame 0 07 Matemática A. onsidere-se a variável aleatória X: número de componentes defeituosos numa amostra de 0. Então, X segue uma distribuição binomial de parâmetros n = 0 e p = 0, e pretende-se calcular (X ). (X ) = (X = 0) + (X = ) + (X = ) = = 0 0 x 0, 0 x 0, x 0, x 0, x 0, x 0,9 8 0,9. X = {,, } Repara que apenas existem bolas brancas pelo que no máximo são necessárias extrações para sair bola branca alculemos (X = ), (X = ) e (X = ). (X = ) = robabilidade de retirar bola branca na ª extração (X = ) = robabilidade de retirar bola preta na ª extração e bola branca na ª extração 4 0 (X = ) = 4 0 robabilidade de retirar bola preta nas ª e ª extrações e bola branca na ª extração a b. alculemos a e b. ara isso, devemos resolver o sistema a b 4 b a e obter a = 4 e b = 8. (X = 4a + 8b) = (X = ) = b = 8 4. onsidere-se a variável aleatória Y: número de bolas numeradas com um número primo em sete extrações sucessivas e com reposição. Então, Y segue uma distribuição binomial de 8 parâmetros n = 7 e p = e pretende-se calcular (X = ). 0 7 (X = ) = 0,6 roposta de Resolução dos Exercícios do Subcapítulo reparar o Exame ombinatória e robabilidades ágina

16 reparar o Exame 0 07 Matemática A. X segue uma distribuição binomial de parâmetros n = e p =. Então, a opção correta é 6 k nk a B. (X k) p p k 6. Sabe-se que, numa distribuição normal, ( < X < + ) 0,687, pelo que ( < X < + ) 0,4. omo, por observação da figura, sabemos que =, então + = a = a. 7. onsidere-se a variável aleatória Z: número de raparigas de entre as retiradas das primeiras doze filas da sala de cinema. Então, Z segue uma distribuição binomial de parâmetros n = e p = e pretende-se calcular (X = ). 8 (X = ) = 0, Observa a figura. % % 00% 4% (70 < X < 7) = 8% Então, existem 0,8 x 600 = 8 alunos com altura compreendida entre 70 cm e 7 cm. 9. retende-se calcular (7 < X < 9). Observa a figura. Repara que 7 = + e 9 = +, pelo que ( < X < 7) = 0,477 e ( < X < 9) = 0,477 Se X~N(, ), então ( < X < + ) 0,94 e ( < X < + ) 0,997 Assim, (7 < X < 9) = 0,4986 0,477 = 0, ,477 0,4986 roposta de Resolução dos Exercícios do Subcapítulo reparar o Exame ombinatória e robabilidades ágina 6

17 reparar o Exame 0 07 Matemática A 9. Observa a figura. Se X~N(, ), então ( < X < ) 0,687 e (9 < X < 7) 0,94 (B) = (X < ) = 0, A opção A é verdadeira (A) = (X >8); () = (X < 0); (B) = (X < ). Então, (A) < () < (B) A opção B é verdadeira () = (X < 0) < 0,86 < A opção é verdadeira (A) = (X > 8) < 0,86 A opção D é falsa ,86 0,86 0, 0, 60. (X > 79) = 0, % 60. omo (a< X < b) = 0,, então a tem de ser menor que o valor médio de X e b tem de ser mais do que o mesmo valor. Assim, a < e b >. Esta condição só não se verifica na opção A. roposta de Resolução dos Exercícios do Subcapítulo reparar o Exame ombinatória e robabilidades ágina 7