Tarefa nº_ 1.9 (C) 3 5

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1 Tarefa nº_ 1.9 MATEMÁTICA Probabilidades e Combinatória Cálculo Combinatório Nome: 12º Ano Data / / 1. Os códigos dos cofres fabricados por uma certa empresa, consistem numa sequência de cinco algarismos como, como exemplo, Um cliente vai comprar um cofre a esta empresa. Ele pede que o respetivo código satisfaça as seguintes condições: Tenha exatamente três algarismos 5; Os restantes dois sejam diferentes; A soma dos seus cinco algarismos seja igual a dezassete. Quantos códigos diferentes existem satisfazendo estas condições? (A) 20 (B) 40 (C) 60 (D) O João e a Maria convidaram três amigos para irem, com eles, ao cinema. Compraram cinco bilhetes com numeração seguida, numa determinada fila, e distribuíram-se ao acaso. Qual a probabilidade de o João e a Maria ficarem sentados um ao lado do outro? (A) 1 5 (B) 2 5 (C) 3 5 (D) Considere todos os números que se podem obter alternando a ordem dos algarismos Quantos desses números são pares e maiores que ? (A) 18 (B) 30 (C) 120 (D) De quantas maneiras distintas podem ficar sentados três rapazes e quatro raparigas, num banco de sete lugares, de tal modo que a rapariga mais alta fique numa extremidade? (A) 72 (B) 720 (C) 1440 (D)

2 5. Uma escola tem alunos. Se escolher ao acaso, um dos rapazes, a probabilidade de ele ter um leitor mp3 é de 40%. Se escolher ao acaso um dos alunos, a probabilidade de ele ser um rapaz com leitor mp3 é de 24%. Quantos rapazes tem a escola? (A) 640 (B) 740 (C) 830 (D) Para assistirem a um espetáculo o João e a Margarida e cinco amigos sentam-se ao acaso numa fila com 7 lugares. Qual a probabilidade de o João e a Margarida não ficarem sentados um ao lado do outro? (A) 2 5! 7! (B) 5! 7! (C) 2 7 (D) Numa caixa com 12 compartimentos, pretende-se arrumar 10 copos, com tamanho e forma iguais: sete brancos, um verde, um azul e um roxo. Em cada compartimento pode apenas ser arrumado um copo. De quantas maneiras diferentes se podem arrumar os 10 copos nessa caixa? 12 (A) A 7 3! (B) A 7 C 3 (C) A 3 C 7 (D) C 7 A 3 8. O código de acesso a uma conta de correio eletrónico é constituído por quatro letras e três algarismos. Sabe-se que um código tem quatro «a», dois «5» e um «2», como por exemplo, o código, 2aa5a5a. Quantos códigos diferentes existem nestas condições? (A) 105 (B) 210 (C) 5040 (D) Os três irmãos Andrade e os quatro irmãos Martins vão escolher, de entre eles, dois elementos de cada família para um jogo de matrecos de uma família contra a outra. De quantas maneiras diferentes pode ser feita a escolha dos jogadores, de modo que o Carlos, o mais velho dos irmãos da família Andrade, seja um dos escolhidos? (A) 8 (B) 12 (C) 16 (D) 20 2

3 10. O Bruno e o João são dois irmãos que fazem parte de uma equipa de futebol, constituída por onze atletas. Antes de cada jogo, a equipa é fotografada, dispondo-se os atletas em duas filas, como é sugerido na figura. De quantas maneiras podem ficar dispostos os atletas, se os dois irmãos ficarem de pé, lado a lado, na foto? (A) (B) (C) (D) Na figura está um prisma pentagonal irregular reto. Ao escolher dois vértices ao acaso, qual é a probabilidade de eles definirem uma reta paralela ao eixo Oz? (A) 0,5 (B) 0,2 (C) 5 10 (D) C 2 10A 2 5! 12. Na afigura esta represento, em referencial o.n. Oxyz, um cone de revolução. Sabe-se que: [AC] e [BD] são diâmetros da base; Os pontos A e C pertencem ao eixo Oy; Os pontos B e D pertencem ao eixo Ox; O ponto V pertence ao semieixo positivo Oz. Escolhidos ao acaso três pontos distintos, de entre os cinco, qual é a probabilidade de estes definirem um plano perpendicular ao plano de equação z = 0? (A) 4 5 (B) 3 5 (C) 2 5 (D) 1 5 3

4 13. Numa escola realizou-se um estudo sobre os hábitos alimentares dos alunos. No âmbito desse estudo, analisou-se o peso de todos os alunos. Sabe-se que: 55% dos alunos são raparigas; 30% das raparigas têm excesso de peso; 40% dos rapazes não têm excesso de peso Escolhe-se ao acaso um aluno dessa escola. Determine a probabilidade do aluno escolhido ser rapaz, sabendo que tem excesso de peso. Apresente o resultado na forma de fração irredutível Considere agora que a escola onde o estudo foi realizado tem 200 alunos. Pretende-se escolher, ao acaso, 3 alunos para representarem a escola num concurso. Determine a probabilidade de serem escolhidos duas raparigas e um rapaz. 14. Uma sequência de algarismos, cuja leitura da direita para a esquerda, ou vice- versa, dá o mesmo número, designa-se por capicua. Por exemplo é uma capicua. Quantos números com seis algarismos são capicuas? 15. Numa certa modalidade de remo, uma equipa é constituída por nove atletas (oito remadores e um timoneiro) Em prova, os oito remadores sentam-se em fila. Na popa do barco, voltado para os remadores, para lhes dar indicações, fica o timoneiro Um clube de remo tem 23 atletas, dos quais 20 são remadores e 3 são timoneiros. Para uma competição, o treinador precisa de selecionar uma equipa. Quantas equipas diferentes pode ele selecionar? Constituída a equipa, vai ser sorteada a posição dos remadores. Qual é a probabilidade de o António, o Filipe e o Pedro, três dos remadores selecionados, ficarem sentados em lugares consecutivos? Apresenta o resultado na forma de fração irredutível. 4

5 16. A Ano dispõe de sete cartas todas diferentes: quatro cartas do naipe de espadas e três cartas do naipe de copas A Ana vai dispor essas cartas sobre uma mesa, lado a lado, da esquerda para a direita, de modo a forma uma sequência com as sete cartas. A Ana pretende que a a primeira e a última carta da sequência sejam ambas do naipe de espadas. Quantas sequências, nestas condições, pode a Ana fazer? As cartas de que a Ana dispõe são: O ás, o rei, a dama e o valete do naipe de espadas; O rei, a dama e o valete do naipe de copas. Depois de introduzir as sete cartas num saco, a Ana retira uma carta ao acaso. Sejam A e B os acontecimentos: A: «a carta retirada é do naipe de espadas.» B: «a carta retirada é um rei.» Averigue se os acontecimentos A e B são independentes. 17. Considera um referencial o.n. Oxyz, a superfície esférica de equação: x 2 + y 2 + z 2 = 1. Considera os seis pontos de interseção dessa superfície esférica com os eixos coordenados Escolhem-se ao acaso, dois desses seis pontos. Qual é a probabilidade de definirem uma reta perpendicular ao plano xoy? Escolhem-se ao acaso três desses seis pontos. Qual é a probabilidade de definirem um plano perpendicular ao plano xoy? 18. Considera um prisma pentagonal regular num referencial o.n. Oxyz, de tal forma que uma das suas bases está contida no plano de equação z = 2 e a outra no plano de equação z = 7. Escolhem-se, ao acaso, dois vértices do prisma Qual a probabilidade de esses dois vértices definirem uma reta paralela ao eixo Oz? Apresenta o resultado na forma de fração irredutível Qual a probabilidade de esses dois vértices definirem uma reta paralela ao plano xoy? 5