MATE M ÁTIC A A 1 2.º ANO

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1 ! "# $% % & º AN O " %" """ "" ' NOME: N.º: TURMA: DATA: / / 1. Um fiscal do Ministério das Finanças vai inspeccionar a contabilidade das sete empresas, das quais três são clubes de futebol profissional. A sequência segundo a qual as sete inspecções vão ser feitas é aleatória. Qual é a probabilidade de que as três primeiras empresas inspeccionadas sejam exactamente os três clubes de futebol? Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades. 2. Seis amigos entram numa pastelaria para tomar café e sentam-se ao acaso numa mesa rectangular com três lugares de cada lado, como esquematizado na figura junta. Determine a probabilidade de dois desses amigos, a Joana e o Rui, ficarem sentados em frente um do outro. 3. Uma roda gigante de um parque de diversões tem doze cadeiras, numeradas de 1 a 12, com um lugar cada uma (ver figura abaixo). Seis raparigas e seis rapazes vão andar na roda gigante e sorteiam entre si os lugares que vão ocupar. Qual é a probabilidade de rapazes e raparigas ficarem sentados alternadamente, isto é, cada rapaz entre duas raparigas e cada rapariga entre dois rapazes? Apresente o resultado na forma de percentagem. 4. Um saco contém sete bolas, numeradas de 1 a 7, indistinguíveis ao tacto. Retiram-se sucessivamente, de forma aleatória, duas bolas do saco, repondo-se a primeira bola antes de se retirar a segunda. Qual é a probabilidade de saírem dois números cuja soma seja igual a quatro? Apresente o resultado na forma de fracção.

2 5. O código de um cartão multibanco é uma sequência de quatro algarismos como, por exemplo, a) Quantos códigos diferentes existem com um e só um algarismo zero? b) Imagine que um amigo seu vai adquirir um cartão multibanco. Admitindo que o código de qualquer cartão multibanco é atribuído ao acaso, qual é a probabilidade de o código desse cartão ter os quatro algarismos diferentes? Apresente o resultado na forma de dízima. 6. Lança-se três vezes um dado equilibrado com as faces numeradas de 1 a 6. Indique, justificando, qual dos dois acontecimentos seguintes é mais provável: Nunca sair o número seis; Saírem números todos diferentes. 7. O João e a irmã Alice querem telefonar a um amigo. Ele lembra-se de que o número de telefone do amigo começa por 21 e tem mais sete algarismos: um 3, dois 5, dois 7, dois 8. a) Quantos números existem nestas condições? b) A Alice também se lembra de que o número de telefone do amigo termina em 857. Se eles digitarem ao acaso os restantes quatro algarismos, qual é a probabilidade de acertarem à primeira tentativa? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. 8. Seja B o conjunto dos números de quatro diferentes, menores que 3000, que se podem formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. a) Verifique que o conjunto B tem 240 elementos. b) Escolhe-se, ao acaso, um elemento de B. Qual é a probabilidade de que esse elemento seja um número par? Apresente o resultado na forma de fracção de irredutível. c) Escolhem-se, ao acaso, três elementos de B. Qual é a probabilidade de todos eles serem maiores do que 2000? Apresente o resultado na forma de dízima, com duas casas decimais. 9. Uma embalagem contém doze pastilhas com igual aspecto exterior, sendo três de ananás, três de cereja, três de laranja e três de morango. Esvaziando a embalagem após a compra e retirando quatro pastilhas ao acaso, qual é a probabilidade de retirar uma de cada sabor? 10. Trinta soldados participaram num exercício. A Marina Santos é um dos trinta soldados. É necessário escolher três dos trinta soldados para ficarem de sentinela durante a noite. Admitindo que a escolha é feita ao acaso, qual é a probabilidade de a Marina Santos ficar de sentinela? Apresente o resultado na forma de percentagem. &

3 11. Para inaugurar uma ponte em Cegonhas de Baixo, a respectiva Junta de Freguesia vai organizar uma feijoada. O principal clube desportivo da região, o Cegonhas Futebol Clube, foi convidado a fazer-se representar no almoço por três quaisquer membros da sua direcção. A Sr.ª Manuela Silvestre e o Sr. António Gonçalves são dois dos sete elementos dessa direcção. Se a escolha dos três representantes for feita por sorteio, entre os sete membros da direcção do clube, qual é a probabilidade de a Sr.ª Manuela Silvestre e o Sr. António Gonçalves irem ambos à feijoada? Apresente o resultado na forma de uma fracção irredutível. 12. Para representar Portugal num campeonato internacional de hóquei em patins foram seleccionados dez jogadores: dois guarda-redes, quatro defesas e quatro avançados. a) Sabendo que o treinador da selecção nacional opta por que o Portugal jogue sempre com um guarda-redes, dois defesas e dois avançados, quantas equipas diferentes pode ele constituir? b) Um patrocinador da selecção nacional oferece uma viagem a cinco dos dez jogadores seleccionados, escolhidos ao acaso. Qual é a probabilidade de os dois guarda-redes serem contemplados com essa viagem? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. 13. Na figura junta estão representados um prisma quadrangular regular e uma pirâmide cuja base [ABCD] coincide com a base inferior do prisma. O vértice I da pirâmide coincide com o centro da base superior do prisma. Considerando, ao acaso, cinco dos nove vértices da figura representada, qual é a probabilidade de que pelo menos quatro sejam da pirâmide? 14. Pretende-se colocar, sobre um tabuleiro situado à nossa frente, como o representado na figura, nove peças de igual tamanho e feitio, das quais quatro são brancas e cinco são pretas. Cada casa do tabuleiro é ocupada por uma só peça. a) Mostre que existem 126 maneiras diferentes de as peças ficarem colocadas no tabuleiro. b) Supondo que as peças são colocadas ao acaso, determine a probabilidade de uma das diagonais ficar só com peças brancas. 15. Um grupo de jovens, formado por cinco rapazes e cinco raparigas, vai dividir-se em duas equipas, de cinco elementos cada uma, para disputarem um jogo de basquetebol. Supondo que a divisão dos dez jovens pelas duas equipas é feita ao acaso, determine a probabilidade de as equipas ficarem constituídas por elementos do mesmo sexo, isto é, de uma das equipas ficar só com rapazes e a outra só com raparigas. Apresente o resultado na forma de dízima, com aproximação às milésimas. (

4 16. Uma turma de uma escola secundária tem 27 alunos: 15 raparigas e 12 rapazes. O delegado de turma é um rapaz. Pretende-se constituir uma comissãoo para organizar um passeio. A comissão deve ser formada por 4 raparigas e 3 rapazes. Acordou-se que um dos 3 rapazes da comissão será necessariamente o delegado de turma. a) Quantas comissões diferentes se podem constituir? b) Admita que os 7 membros da comissão, depois de constituída, vão posar paraa uma fotografia, colocando-se uns ao lado dos outros. Supondo que eles se colocam ao acaso, qual é a probabilidade de as raparigas ficarem todas juntas? Apresente o resultado na forma de dízima, com aproximação às milésimas. 17. A Joana tem na estante do seu quarto três livros de José Saramago, quatro de Sophia de Mello Breyner Andresen e cinco de Carl Sagan. Quando soube que ia passar as férias a casa da sua avó, decidiu escolher seis desses livros, para ler durante este período de lazer. A Joana pretende levar dois livros de José Saramago, um de Sophia de Mello Breyne Andresen e três de Carl Sagan. a) De quantas maneiras pode fazer a sua escolha? b) Admita que a Joana já seleccionou os seis livros que irá ler em casa da sua avó. Supondo aleatória a sequência pela qual estes seis livros vão ser lidos, qual é a probabilidade de os dois livros de José Saramago serem lidos um a seguir ao outro? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. 18. Considere um tabuleiro com nove casas, como o que está representado na figura. Suponha que dispomos de cinco peças, numeradas de 1 a 5. Pretende-se escolher três dessas peças e, seguidamente, colocá-las no tabuleiro, não mais do que uma em cada casa, obtendo assim uma configuração de três peças sobre o tabuleiro. Na figura abaixo apresentam-se quatro possíveis configurações: a) Quantas configurações diferentes se podem fazer? b) Sabendo que, depois de escolhidas, as peças são colocadas ao acaso no tabuleiro, determine a probabilidade de as casas A e B ficarem livres. )

5 19. Numa turma de vinte e cinco jovens, as suas idades e sexos estão distribuídos como o indica a tabela: a) Pretende-se escolher um jovem para representar a turma. Sabendo que esse representante é escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de que tenha dezasseis anos ou seja uma rapariga? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. b) Ao escolher dois jovens ao acaso, qual é a probabilidade de eles serem de sexo diferente e terem a mesma idade? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. 20. Considere um conjunto de quatro casais. a) Escolhendo ao acaso quatro dessas oito pessoas, qual é a probabilidade de serem escolhidos dois homens e duas mulheres? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. b) Escolhendo ao acaso uma pessoa de cada casal, qual é a probabilidade de serem escolhidos dois homens e duas mulheres? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. 21. Na figura está representado o sólido [ABCDEFGHI]. Dispomos de cinco cores (amarelo, branco, castanho, preto e vermelho) para colorir as suas nove faces. Cada face é colorida por uma única cor. a) De quantas maneiras diferentes podemos colorir o sólido, supondo que as quatro faces triangulares só podem ser coloridas de amarelo, de branco ou de castanho, e que as cinco faces rectangulares só podem ser coloridas de preto ou de vermelho? b) Admita agora que o sólido vai ser colorido ao acaso, podendo qualquer cor colorir qualquer face. Determine a probabilidade de exactamente cinco faces ficarem coloridas de branco e as restantes faces com cores todas distintas. Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às décimas de milésima. 22. Na figura estão representados dois polígonos: Um pentágono [ABCDE] Um quadrilátero [FGHI] Dos nove vértices representados, não existem três colineares. a) Determine quantos triângulos têm como vértices três dos nove pontos, de tal modo que dois vértices pertençam a um dos polígonos e o terceiro vértice pertença ao outro polígono. b) A Sandra e o Jorge escolheram cada um, e em segredo, um dos nove vértices representados. Qual é a probabilidade de os dois vértices, assim escolhidos, pertencerem ambos ao mesmo polígono? Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades. *

6 23. Considere, num referencial o.n. Oxyz, a superfície esférica de equação. Considere todos os triângulos cujos vértices são pontos de intersecção desta superfície esférica com os eixos do referencial. Escolhido um desses triângulos ao acaso, determine a probabilidade de estar contido no plano definido por. Indique o resultado em forma de percentagem. 24. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um octaedro regular. Sabe-se que: um dos vértices do octaedro é a origem O do referencial. a recta ST é paralela ao eixo Oz. o ponto P pertence ao semieixo positivo Ox. o ponto R pertence ao semieixo positivo Oy. Escolhidos ao acaso dois vértices do octaedro, qual é a probabilidade de estes definirem uma recta contida no plano de equação? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. 25. Na figura está representado um poliedro com doze faces, que pode ser decomposto num cubo e em duas pirâmides quadrangulares regulares. a) Pretende-se numerar as doze faces do poliedro, com os números de 1 a 12 (um número diferente em cada face). Como se vê na figura, duas das faces do poliedro já estão numeradas, com os números 1 a 3. ) De quantas maneiras podemos numerar as outras dez faces, com os restantes dez números? ) De quantas maneiras podemos numerar as outras dez faces, com os restantes dez números, de forma a que, nas faces de uma das pirâmides, fiquem só números ímpares e, nas faces da outra pirâmide, fiquem só números pares? b) Considere agora o poliedro num referencial o.n. Oxyz, de tal forma que o vértice P coincida com a origem do referencial, e o vértice Q esteja no semieixo positivo Oy. Escolhidos ao acaso três vértices distintos, qual é a probabilidade de estes definirem um plano paralelo ao plano paralelo ao plano de equação? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. +

7 26. Considere todos os números de quatro algarismos que se podem formar com os algarismos de 1 a 9. a) Escolhe-se, ao acaso, um desses números: ) Determine a probabilidade de o número escolhido ter exactamente dois algarismos iguais a 1. Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades. ) Determine a probabilidade de o número escolhido ter os algarismos todos diferentes e ser maior do que Apresente o resultado na forma de dízima, com três casas decimais. b) Considere o seguinte problema: De todos os números de quatro algarismos que se podem formar com os algarismos de 1 a 9, alguns deles cumprem as três condições seguintes: começam por 9; têm os algarismos todos diferentes; a soma dos quatro algarismos é par. Quantos são esses números? Uma resposta correcta a este problema é. Numa pequena composição, com cerca de vinte linhas, explique porquê. 27. Considere o seguinte problema: Vinte e cinco jovens (doze rapazes e treze raparigas) pretendem ir ao cinema. Chegados lá, verificam que existem apenas vinte bilhetes (para duas filas com dez lugares consecutivos em cada uma delas). Comprados os vinte bilhetes, distribuem-nos ao acaso. Como é evidente, cinco jovens irão ficar sem bilhete. Qual é a probabilidade de uma das filas ficar ocupada só com rapazes e a outra só com raparigas? Uma resposta correcta para este problema é:. Numa pequena composição, com cerca de vinte linhas, explique esta resposta. Nota: Deve organizar a sua composição de acordo com os seguintes tópicos: referência à Regra de Laplace; explicação do número de casos possíveis; explicação do número de casos favoráveis.,

8 28. Três casais, os Nunes, os Martins e os Santos, vão ao cinema. a) Ficou decidido que uma mulher, escolhida ao acaso de entre as mulheres, paga três bilhetes, e que um homem, escolhido igualmente ao acaso de entre os três homens, paga outros três bilhetes. Qual é a probabilidade de o casal Nunes pagar os seis bilhetes? Apresente o resultado na forma de fracção. b) Considere o seguinte problema: Depois de terem comprado os bilhetes, todos para a mesma fila e em lugares consecutivos, as seis pessoas distribuem-nos ao acaso entre si. Supondo que cada pessoa se senta no lugar correspondente ao bilhete que lhe saiu, qual é a probabilidade de os membros de cada casal ficarem juntos, com o casal Martins no meio? Numa pequena composição, com cerca de quinze linhas, explique por que razão é uma resposta correcta a este problema. Nota: Deve organizar a sua composição de acordo com os seguintes tópicos: referência à Regra de Laplace; explicação do número de casos possíveis; explicação do número de casos favoráveis. 29. Considere o seguinte problema: Um saco contém doze bolas, indistinguíveis ao tacto: três bolas com o número 1, cinco bolas com o número 2 e quatro bolas com o número 3. Retiram-se, do saco, três bolas, ao acaso. Qual é a probabilidade de a soma dos números saído ser igual a cinco? Uma resposta correcta para este problema é. Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, explique esta resposta. Nota: Deve organizar a sua composição de acordo com os seguintes tópicos: referência à Regra de Laplace; explicação do número de casos possíveis; explicação do número de casos favoráveis. -

9 30. Suponha que o dono de um casino lhe faz uma proposta, no sentido de inventar um jogo, para ser jogado por dois jogadores. Em cada jogada, é lançado um par de dados, numerados de um a seis, e observa-se a soma dos números saídos. O dono do casino coloca ainda algumas restrições: o jogo terá de ser justo, isto é, ambos os jogadores deverão ter igual probabilidade de ganhar; para que o jogo seja mais emotivo, deverão ocorrer situações em que ninguém ganha, transitando o valor do prémio para a jogada seguinte; uma vez que o casino terá de ganhar algum dinheiro, deverá ocorrer uma situação (embora com probabilidade bastante mais pequena do que a probabilidade de cada um dos jogadores ganhar) em que o prémio reverta a favor do casino. Numa curta composição, com cerca de dez linhas, apresente, ao dono do casino, uma proposta de um jogo que obedeça a tais condições. Deverá fundamentar a sua proposta indicando, na forma de percentagem, a probabilidade de em cada jogada: cada um dos jogadores ganhar; o casino ganhar. Sugestão: Comece por elaborar uma tabela onde figurem todas as somas possíveis (no lançamento de dois dados). 31. Num saco, estão três bolas pretas e nove bolas brancas, indistinguíveis ao tacto. Extraem-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição, as doze bolas do saco. Determine: a) A probabilidade de as duas primeiras bolas extraídas não serem da mesma cor. Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. b) A probabilidade de as três bolas pretas serem extraídas consecutivamente (umas a seguir às outras). Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. 32. a) Uma coluna com a forma de um prisma hexagonal regular está assente no chão de um jardim. Dispomos de seis cores (amarelo, branco, castanho, dourado, encarnado e verde) para pintar as sete faces visíveis (as seis faces laterais e a base superior) desse prisma. Admita que se pintam de verde duas faces laterais opostas. Determine de quantas maneiras diferentes podem ficar pintadas as restantes cinco faces, de tal modo que duas faces que tenham a mesma aresta comum fiquem pintadas com cores diferentes. e que duas faces laterais que sejam opostas fiquem pintadas com a mesma cor. b) Considere um prisma hexagonal regular num referencial o.n. Oxyz, de tal forma que uma das suas bases está contida no plano de equação. Escolhendo ao acaso dois vértices do prisma, qual é a probabilidade de eles definirem uma recta paralela ao eixo Oz? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível..

10 33. Um baralho de cartas completo é constituído por 52 cartas, repartidas em 4 naipes (Espadas, Copas, Ouros e Paus). Em cada naipe há 13 cartas: um Ás, três figuras (Rei, Dama e Valete) e mais 9 cartas (do Dois ao Dez). a) Utilizando apenas o naipe de paus, quantas sequências diferentes de 13 cartas, iniciadas com uma figura, é possível construir? b) Retirando ao acaso, sucessivamente e sem reposição, seis cartas de um baralho completo, qual é a probabilidade de, entre elas, haver um e um só Ás? Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às centésimas. 34. De um baralho de cartas, seleccionaram-se 16 cartas (4 ases, 4 reis, 4 damas e 4 valetes). Dividiram-se as 16 cartas em dois grupos: um com os ases e os reis e outro com as damas e os valetes. Retiraram-se, ao acaso, duas cartas de cada grupo (sem reposição). Qual é a probabilidade de obter um conjunto formado por um ás, um rei, uma dama e um valete, não necessariamente do mesmo naipe? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.