Tarefa nº_ 1.8. Probabilidades e Combinatória Análise Combinatória

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1 Tarefa nº_ 1.8 MATEMÁTICA Probabilidades e Combinatória Análise Combinatória Nome: 12º Ano Data / / 1. A Câmara Municipal de uma cidade decidiu alterar o sistema de matrículas das motorizadas. Assim, cada matrícula passou a ser composta por duas letras, que se podem repetir, escolhidas entre as doze primeiras letras do alfabeto, e por três algarismos, que também se podem repetir (por exemplo, GG-009 é uma matrícula possível). Quantas matrículas diferentes se podem registar naquela cidade? 2. Cinco lápis de cera (verde, azul, rosa, preto e encarnado) e quatro guaches (verde, azul, rosa e preto) estão sobre uma mesa. De quantas maneiras distintas se podem selecionar um lápis e um guache de cores diferentes? 3. O menu de um restaurante permite escolher uma sopa entre sete, um prato entre dez e uma sobremesa entre oito De quantas maneiras pode um cliente escolher o seu menu, se não gosta de Sopa de Peixe nem de Bolo de Chocolate De quantas maneiras pode um cliente escolher o seu menu, se não quer comer Bife com Natas e Doce de Natas, na mesma refeição. 4. Um código é composto por cinco caracteres, duas vogais, que se podem repetir, e por três algarismos, que também se podem repetir. As vogais e os algarismos estão alternados. Quantos códigos diferentes é possível construir? 5. Um tipo de cofres fabricado numa certa fábrica tem três rodas, como as indicadas na figura. O código que permite abrir um cofre é obtido selecionando uma letra da primeira roda, uma letra da segunda e uma letra da terceira. 1

2 5.1. Quantos códigos diferentes se podem formar? 5.2. Quantos códigos diferentes se podem formar, se a primeira letra tiver que ser uma vogal e a última não puder ser Z? 5.3. Quantos códigos diferentes se podem formar, se as três letras não puderem ser simultaneamente três vogais? 6. Considera um cubo com as faces numeradas de 1 a 6. Pretende-se colorir as faces do cubo, dispondo-se para o efeito de seis cores distintas. De quantas maneiras diferentes se pode colorir o cubo, supondo que duas das faces têm de ter a mesma cor, e as restantes, cores todas diferentes? 7. Na figura está representado o poliedro, [ABCDEFGHI] que pode ser decomposto num cubo e numa pirâmide quadrangular regular Pretende-se numerar as nove faces do poliedro, com os números de 1 a 9 (um número diferente em cada face). De quantas maneiras o podemos fazer, de forma a que, nas quatro faces da pirâmide, fiquem só números ímpares? 7.2. Utilizando as letras dos vértices do poliedro quantos códigos com seis ou sete letras diferentes se podem constituir de tal modo que não haja duas consoantes em lugares consecutivos? 8. A Joana tem nove livros para colocar numa estante. Quatro são de José Saramago, três são de Vergílio Ferreira e dois são de Lídia Jorge. Determina de quantas maneiras diferentes podem os nove livros ficar dispostos na estante, se não houver restrições se o «O Memorial do Convento» ficar no meio se os três primeiros livros, do lado esquerdo, forem os de Vergílio Ferreira se os quatro livros de José Saramago ficarem juntos. 2

3 8.5. se os livros do mesmo escritor ficarem juntos se o primeiro e último forem os de Lídia Jorge se o primeiro e último forem os de Lídia Jorge e os restantes ficarem dispostos alternadamente, ficando cada livro de Vergílio Ferreira entre dois de José Saramago se a «Aparição» não ficar ao lado da «Jangada de Pedra». 9. Anagrama de uma palavra é outra palavra (com ou sem significado) que se escreve com as mesmas letras, mas por outra ordem. Por exemplo, AMOR e OAMR são dois anagramas da palavra ROMA. Quantos são os anagramas da palavra ABDUL, que começam pela letra B? 10. Considera todos os números naturais com sete algarismos, ou seja, todos os números naturais compreendidos entre e Quantos são? Quantos deles são pares? Quantos deles são múltiplos de 5? Em quantos deles os algarismos são todos diferentes? Quantos deles têm exatamente três zeros? Em quantos deles o segundo algarismo é maior do que o primeiro? Em quantos deles os seus algarismos são todos diferentes e estão dispostos por ordem crescente? Quantos deles são capicuas? Quantos deles são capicuas e a soma dos seus algarismos é ímpar? 11. No totobola (14 jogos), quantas apostas simples têm dois e só dois símbolos X? têm pelo menos dois símbolos X? 12. Um expositor tem dez compartimentos. Pretende-se colocar, nesse expositor, oito peças de cristal, três da Marinha Grande, todas iguais, e cinco da Boémia, todas diferentes. De quantas maneiras podem ser expostas as oito peças nos dez compartimentos, de tal modo que não fique mais do que uma peça em cada compartimento? 3

4 13. Na figura está representado um tabuleiro com dezasseis casas, numeradas de 1 a 16, e seis peças de Xadrez: um Rei, uma Dama, uma Torre, um Bispo, um Cavalo e um Peão. Quando escolhemos duas dessas peças e as colocamos no tabuleiro (não mais do que uma peça numa casa), obtemos uma configuração. Por exemplo, uma configuração possível é o Rei na casa número 3 e o Cavalo na casa número 15. Quantas configurações diferentes se podem obter? 14. Uma turma tem 12 rapazes e 6 raparigas. De quantas maneiras se pode organizar um bgrupo com 6 dessas pessoas, de forma que pelo menos duas delas, mas não mais que quatro, sejam rapazes? 15. Uma turma de 12º ano de uma escola secundária tem 12 rapazes e 18 raparigas. Nessa turma, todos os indivíduos são loiros ou morenos. Sabe-se que 30% dos alunos da turma são loiros e que 1/3 dos rapazes da turma são morenos. Pretende-se criar uma comissão de quatro alunos, um rapaz loiro e outro moreno e uma rapariga loira e outra morena. De quantas maneiras diferentes pode ser constituída a comissão? 16. Uma turma de uma escola secundária tem 27 alunos, dos quais 1/3 são raparigas. A Sara é a delegada da turma. Vai ser constituída uma comissão com quatro elementos para preparar uma festa. Determina quantas comissões diferentes podem ser formadas, se não existir qualquer restrição se a comissão tiver de ser mista, isto é, tiver de ter pelo menos um rapaz e pelo menos uma rapariga se a comissão tiver de ser mista e a Sara tiver de fazer parte dela. 17. Oito inspetores devem visitar quatro escolas (A, B, C e D). Para isso, vão formar quatro equipas de dois, devendo a primeira equipa selecionada visitar a escola A, a segunda equipa selecionada visitar a escola B, e assim sucessivamente. De quantas maneiras pode ser feita a distribuição dos inspetores pelas quatro escolas? 4

5 18. No campeonato nacional de futebol da 1ª Liga, participam dezasseis equipas. Cada equipa joga dois jogos com cada uma das restantes, um em casa e outro fora Quantos jogos são disputados neste campeonato? Em quantos deles participam pelo menos um dos três grandes (Benfica, Porto e Sporting)? 19. Chama-se diagonal de um polígono regular a um segmento que une dois vértices e não é um lado do polígono Quantas diagonais tem um decágono regular? Um polígono tem 65 diagonais. Quantos lados tem? 20. A Maria dispõe de cinco lápis de cor: um vermelho, um azul, um verde, um amarelo e um castanho. Ela está a fazer uma composição artística alusiva ao 25 de Abril de Nessa composição artística, ela já desenhou os contornos dos algarismos do número Vai agora pintar cada algarismo com uma cor. Determina de quantas maneiras diferentes pode o número ficar pintado, se não houver restrições se os algarismos ficarem pintados de cores diferentes se forem utilizados apenas dois lápis de cor A Maria está agora a assinar o seu trabalho. Ela já desenhou os contornos das letras da palavra Maria e vai pintá-las. Cada letra vai ser pintada com uma cor. Determina de quantas maneiras diferentes pode a palavra Maria ficar pintada, se as letras ficarem pintadas de cores diferentes se apenas as duas letras A ficarem pintadas da mesma cor. 21. Na figura está representado um tabuleiro com quarenta e nove casas, numeradas de 1 a 49. Em cada uma das quatro casas dos cantos e na casa central foi colocado um disco. De quantas maneiras diferentes podemos colocar mais oito discos, iguais aos já colocados, de tal forma que pelo menos uma das diagonais fique totalmente preenchida? 5

6 22. Considera o seguinte problema: «Quantos números naturais inferiores a 1000 terminam em 5 e não têm dois algarismos iguais?» Uma solução correta para este problema é Numa pequena composição, explica porquê. 23. Uma turma de 12º Ano, com vinte raparigas e dez rapazes, está a preparar um baile de finalistas Pretendem formar uma comissão mista com três elementos, para organizar o baile. O delegado de turma é uma rapariga. Se ela tiver, obrigatoriamente, de fazer parte da comissão, quantas comissões podem ser formadas? Considera o seguinte problema: No decorrer do baile, a turma tira uma fotografia com um professor e uma professora. De quantas maneiras se podem dispor os trinta alunos, mais os professores, de tal modo que os rapazes fiquem todos juntos à frente (sentados), as raparigas fiquem todas juntas atrás (de pé), e os professores fiquem em pé, ao lado das raparigas, numa das extremidades. Uma resposta correta para este problema é: 4 10! 20! Numa pequena composição, explica porquê Equaciona e resolve o seguinte problema: Num jantar, encontram-se rapazes e raparigas. À chegada, todos se cumprimentam. Os rapazes cumprimentam-se com um aperto de mão. As raparigas cumprimentam-se com um beijo. Cada rapaz cumprimenta cada rapariga também com um beijo. Sabendo que foram dados 28 apertos de mão e 63 beijos, determina quantas raparigas e quantos rapazes estavam no jantar Considera agora o problema: Depois do jantar, foram a uma discoteca. Aí encontraram mais alguns amigos. Com os novos amigos, eram, ao todo, 12 rapazes e 12 raparigas. Acabada a festa, resolveram formar uma comissão de quatro elementos, para preparar a festa seguinte. Quantas comissões mistas diferentes se poderão formar? (Uma comissão mista é composta por rapazes e raparigas.) Duas respostas corretas para este problema são: Numa pequena composição, explica as duas respostas. 6

7 25. Na figura junta está representado um dodecaedro. Sabendo que se chama diagonal espacial a qualquer segmento que une dois vértices e não é, nem uma aresta, nem uma diagonal de uma face, determina o número de diagonais espaciais deste poliedro. 7