ANÁLISE COMBINATÓRIA PROFESSOR JAIRO WEBER

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1 ANÁLISE COMBINATÓRIA PROFESSOR JAIRO WEBER

2 FATORIAL Chama-se fatorial de n ou n fatorial o número n!, tal que: - Para n=0: 0!=1 - Para n=1: 1!=1 - Para n=2: 2!=21=2 - Para n=3: 3!=321=6 - Para n=4: 4!=4321=24 - Para n=5: 5!=54321=120 Generalizando: n! = n (n-1) (n-2) (n-3) , sendo n pertencente ao conjunto dos números naturais {0, 1, 2, 3...}.

3 NÚMERO BINOMIAL n n! p p!(n p)! (n é o numerador e p é a classe do número binomial). (n é o numerador e p é a 9classe 9 do Números número binomiais binomial). iguais: Se, 5 x x 5 então: ou x 5 9 x 4

4 NÚMEROS BINOMIAS E TRIÂNGULO DE PASCAL ou nnnn n n onde

5 BINÔMIO DE NEWTON Toda potência da forma (x+y) n, sendo n um número natural, é conhecido como binômio de Newton. Abaixo temos alguns casos comuns. 0 x y 1 1 x y x y x y x 2xy y x y x 3x y 3xy y (x y) x 4x y 6x y 4xy y n n n n n n x y x y x y x y x y x y x y n 2 n 1 n n n n n n n n EXEMPLO (2x 3y ) 2x 3y 2x 3y 2x 3y 2x 3y 2x 3y 2x 3y (2x 3y ) 32x 240x y 720x y 1080x y 810xy 243y :

6 TERMO GERAL DO BINÔMIO DE NEWTON...para (x n y), o desenvolvimento de apenas um dos termos pode ser feito pelo termo geral a seguir... n p np p T p1= x y

7 BINÔMIO DE NEWTON / EXERCÍCIOS.

8 ANÁLISE COMBINATÓRIA / PERMUTAÇÃO SIMPLES P n n! Exemplo: Cinco amigos desejam ocupar cinco cadeiras consecutivas no estádio municipal. Mudando apenas de ordem, quantas são as possibilidades existentes nessa situação? Exemplo: Supondo que entre os cinco amigos exista um casal e eles não abrem mão de sentarse juntos. Quantas possibilidades existem? Exemplo: João é um dos cinco amigos, ele não abre mão de sentar-se no início da fila. Dessa forma, quantas possibilidades existem?

9 EXERCÍCIOS / PERMUTAÇÃO SIMPLES 1. Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra LIVRES? (A) 90 (B) 720 (C) 360 ( D)321 (E) Quantos anagramas, que começam com a letra S, podemos formar a partir da palavra LIVRES? (A) 120 (B)320 (C) 330 ( D)329 (E) Quantos anagramas, que começam com a letra S e terminam com a letra I, podemos formar a partir da palavra LIVRES? (A) 24 (B)25 (C)26 ( D) 27 (E)28 4. Quantos anagramas, que começam com uma vogal, podemos formar a partir da palavra LIVRES? (A) 120 (B) 240 (C)480 ( D)720 (E) Quantos anagramas, que começam e terminam com vogais, podemos formar a partir da palavra LIVRES? (A) 12 (B) 48 (C) 36 ( D)56 (E) Quantos anagramas, que começam e terminam com consoantes, podemos formar a partir da palavra TRAPO? (A) 36 (B) 42 (C) 44 ( D)54 (E)58 7. Quantos anagramas, que começam mantém as letras I e V juntas, podemos formar a partir da palavra LIVRES? (A) 440 (B) 360 (C) 240 ( D)120 (E)60 8. Quantos anagramas, que mantém as letras IV juntas e nessa ordem, podemos formar a partir da palavra LIVRES? (A) 120 (B)32 (C)142 ( D)523 (E) Sem repetir algarismos, quantas senhas diferentes podemos formar com seis dígitos, 0,1,2,3,4 e 5? (A)889 (B)990 (C) 908 ( D)909 (E) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam com vogais é: (A) 32 (B)43 (C)66 ( D)45 (E) 48

10 QUESTÃO ENEM O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares. Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número é A) 24. B) 31. C) 32. D) 88. E) 89.

11 ENEM Um artesão de joias tem à sua disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes. Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes. A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas pelas pedras Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter? A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 E. 36

12 PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO P( n),, n!!!!... Exemplo: Qual é o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra URUGUAI? (A)840 (B)124 (C)543 ( D)235 (E) Qual é o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra URUGUAIANA? (A) (B)34990 (C)43000 ( D) (E) Qual é o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra PÁSSARO? (A) 1230 (B)2309 (C)4890 ( D) (E) Qual é o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra ARARA? (A) 3 (B) 4 (C) 12 ( D) 42 (E)10 4. A partir da palavra AMADA, o número de anagramas formado é: (A) 20 (B)30 (C) 40 ( D) 50 (E)60

13 ARRANJO SIMPLES Exemplo. Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os elementos do conjunto {2,3,5,7,9}? (A)20 (B)60 (C)30 ( D) 89 (E)N.d.a. Exemplo. Dos números possíveis no exemplo anterior, quantos são maiores que 500? 1. Uma empresa possui 16 funcionários administrativos, entre os quais serão escolhidos três, que disputarão para os cargos de diretor, vice-diretor e tesoureiro. De quantas maneiras pode ser feita a escolha? (A)3200 (B) 3360 (C)3400 ( D) 5300 (E) Júlio deseja pintar a palavra LIVRE em um cartaz de publicidade, usando uma cor em cada letra. De quantos modos isso pode ser feito, se ele dispõe de 8 cores de tinta? (A) 890 (B)1234 (C) ( D) 6720 (E)N.d.a. 3. Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar a partir dos algarismos 3,4,5,6,7,8 e 9? (A) 678 (B)840 (C) 422 ( D) 9098 (E) Quantos números pares de quatro algarismos distintos podemos formar a partir dos algarismos 3,4,5,6,7,8 e 9? (A)4321 (B) 3262 (C) 360 ( D)623 (E) Quantos números impares de quatro algarismos distintos podemos formar a partir dos algarismos 3,4,5,6,7,8 e 9? (A) 480 (B) 9078 (C) 2521 ( D) 5322 (E) Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar a partir dos algarismos 3,4,5,6,7,8 e 9 que comecem com 4? (A)24 (B) 120 (C) 720 ( D)64 (E) Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar a partir dos algarismos 3,4,5,6,7,8 e 9 que comecem com 3 e terminem com 9? (A) 20 (B)10 (C) 2! ( D) 42 (E)120

14 COMBINAÇÃO SIMPLES Exemplo. Nove professores de matemática se candidataram a quatro vagas de um congresso, calcular quantos grupos serão possíveis. (A) 54 (B)56 (C)66 ( D)45 (E) Quantos grupos diferentes de quatro lâmpadas podem ficar acesos num galpão que tem 10 lâmpadas? (A)120 (B)345 (C)126 ( D)645 (E) Quantos subconjuntos de 4 elementos possuem um conjunto de seis elementos? (A)1 (B)12 (C)24 ( D)54 (E)15 3. O número de combinações de n objetos distintos tomados 2 a 2 é 15. Determine n. (A) 2 (B)4 (C)5 ( D)6 (E) Quantas comissões de 5 membros podemos formar numa assembléia de 12 participantes? (A)324 (B)235 (C)643 ( D)865 (E) Quantos produtos de 2 fatores podemos obter com os divisores naturais do número 12? (A)1 (B)2 (C)4 ( D)8 (E)15

15 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (UFF - 05) Niterói é uma excelente opção para quem gosta de fazer turismo ecológico. Segundo dados da prefeitura, a cidade possui oito pontos turísticos dessa natureza. Um certo hotel da região oferece de brinde a cada hóspede a possibilidade de escolher três dos oito pontos turísticos ecológicos para visitar durante sua estada. O número de modos diferentes com que um hóspede pode escolher, aleatoriamente, três destes locais, independentemente da ordem escolhida, é: a.8 b.24 c.56 d.112 e.336

16 (FUVEST - 05) Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedem com um aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem quanto para se despedirem. Em uma comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram juntas, todos se cumprimentaram e se despediram na forma descrita acima. Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo que foram trocados 720 apertos de mão? a.16 b.17 c.18 d.19 e.20

17 Numa primeira fase de um campeonato de xadrez cada jogador joga uma vez contra todos os demais. Nessa fase foram realizados 78 jogos. Quantos eram os jogadores? a.10 b.11 c.12 d.13 e.14

18 (UFMG - 05) A partir de um grupo de 8 pessoas, quer se formar uma comissão constituída de 4 integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada. Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar esta comissão? a.70 b.35 c.45 d.55 e. n.d.a.

19 (ENEM) O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares. Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número é A) 24. B) 31. C) 32. D) 88. E) 89.