Matemática 2C16//26 Princípio da multiplicação ou princípio fundamental da contagem. Permutação simples e fatorial de um número.

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1 Matemática 2C16//26 Princípio da multiplicação ou princípio fundamental da contagem 1. Existem 2 vias de locomoção de uma cidade A para uma cidade B e 3 vias de locomoção da cidade B a uma cidade C. De quantas maneiras pode-se ir de A a C, passando por B? 2. De quantas maneiras diferentes pode-se vestir uma pessoa que tenha 5 camisas, 3 calças, 2 pares de meia e 2 pares de sapato? 3. Ao lançarmos sucessivamente 3 moedas, quantas e quais são as possibilidades de resultado? 4. Numa lanchonete ha 5 tipos de sanduíche, 4 tipos de refrigerante e 3 tipos de sorvete. De quantas maneiras podemos tomar um lanche composto por 1 sanduíche, 1 refrigerante e 1 sorvete? 5. Quantos números de dois algarismos podemos formar sabendo que o algarismo das dezenas e múltiplos de 2 (diferente de zero) e o algarismo das unidades e múltiplos de 3? 6. Usando somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6: a) quantos números de 2 algarismos podemos formar? b) quantos números pares de 2 algarismos podemos formar? c) quantos números ímpares de 2 algarismos podemos formar? d) quantos números de 2 algarismos distintos podemos formar? e) quantos números de 2 algarismos pares podemos formar? Permutação simples e fatorial de um número 7. Calcule o valor ou simplifique: a) 6! 7! b) 4! 3!5! c) 4!6! 12! d) 10! 9! n! e) ( n 2)! ( n 1)! f) ( n 2)! ( n 3)! ( n 1)! g). ( n 2)! ( n 2)! 8. Quantas palavras (com significado ou não) de 3 letras podemos formar com as letras A, L e I? Quais são essas palavras? 9. Quantos números de 4 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 4, 6 e 8? E de 4 algarismos distintos? 10. De quantas maneiras uma família de 5 pessoas pode sentar-se num banco de 5 lugares para tirar uma foto? 11. De quantas maneiras uma família de 5 pessoas pode sentar-se num banco de 5 lugares, ficando duas delas (por exemplo, pai e mãe) sempre juntas, em qualquer ordem? 12. Quantos são os anagramas da palavra AMOR? 13. Quantos números naturais de algarismos distintos entre 5000 e podemos formar com os algarismos 1, 2, 4 e 6? Arranjos simples 14.Calcule: a) A 4, 2 c) A 8,2 e) A 5, 1 g) A 8, 5 b) A 6, 3 d) A 4, 4 f) A 7, 0 h) A n, Determine a expressão correspondente a: a)a x, 2 b)a x - 3, 2 c)a 2x + 1, Determine o valor de x nas equações: a)a x -1, 2 = 30 b) A x, 3 = x³ Um clube tem 30 membros. A diretoria é formada por um presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. Se uma pessoa pode ocupar apenas um desses cargos, de quantas maneiras pode-se formar uma diretoria? 18. Responda as questões: a) Quantos números de 4 algarismos distintos podem ser formados pelos dígitos 4, 5, 6, 7 e 8? b) Quantos desses números formados são ímpares? 19. De quantas maneiras podemos escolher um pivô e um ala num grupo de 12 jogadores de basquete? 20. Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. a) Quantos números de três algarismos distintos podemos escrever? b) Quantos números de quatro algarismos distintos que terminem com 7 podemos escrever? c) Quantos números de sete algarismos distintos que iniciem com 3 e terminem com 8 podemos escrever? d) Quantos números de sete algarismos distintos podemos escrever com os algarismos 5 e 6 sempre juntos e nessa ordem? 1

2 21. Num sofá ha lugares para 4 pessoas. De quantas maneiras diferentes podem sentar-se 6 pessoas? 22. Um estudante tem 6 lápis de cores diferentes. De quantas maneiras ele poderá pintar os estados da região Sudeste do Brasil (São Paulo, Rio de Janeiro, Minas Gerais e Espírito Santo), cada um de uma cor? 23. Responda: a) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra FILHO? b) Quantas "palavras" de 4 letras distintas e possível formar com as letras da palavra FILHO? c) Quantas dessas "palavras" de 4 letras começam com O? d) Quantas dessas "palavras" de 4 letras terminam com FI? e) Quantas dessas "palavras" contêm a letra I? 24. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6: a) quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar? b) quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar tal que o ultimo algarismo seja sempre 6? c) quantos números pares de 4 algarismos distintos podemos formar? d) quantos números impares de 4 algarismos distintos podemos formar? 25. De quantas maneiras diferentes podemos dispor uma equipe de 4 alunos numa sala de aula que tem 30 carteiras? 26. Dispomos de 5 cores e queremos pintar uma faixa decorativa com 3 listras, cada uma de uma cor. De quantas maneiras isso pode ser feito? Combinações simples 27. Calcule o valor de: a) C 6, 4 b) C 5, 3 c) C 4, 1 d) C 5, 4 e) C g) 6 6 h) 2 7 i) 3 6 j) 0 l) C 45, 44 m) C 30, n) 18 f) C Simplifique a fração n n p 1 n p 2 p 25. Determine inteiros n e p de modo que = = Quantas equipes de 3 astronautas podem ser formadas com 20 astronautas? 31. Quantas equipes de vôlei podemos formar com 10 meninas? 32. Quantas diagonais tem o decágono? E o icoságono? 33. Numa prova de 10 questões, o aluno pode fazer apenas 6. De quantas maneiras diferentes ele poderá escolher essas 6 questões? 34. Uma associação tem uma diretoria formada por 10 pessoas: 6 homens e 4 mulheres. De quantas maneiras podemos formar uma comissão dessa diretoria que tenha 3 homens e 2 mulheres? 35. Uma urna contém 5 bolas azuis e 4 bolas vermelhas. De quantas maneiras podemos selecionar: a) 3 bolas? b) 3 bolas azuis e 2 vermelhas? c) 3 bolas vermelhas e 2 azuis? 36. Quantas comissões de 5 elementos podemos formar com os 30 alunos de uma classe? 37. De quantas maneiras podemos extrair 4 cartas de um baralho de 52 cartas? 38. Determine o valor de x em: a) 5 + C x, 2 = x b) = 2x x 6 m m m 39. Se =, calcule c) C x+3, 2 = 15 d) C x-3, 2 = 15 e) C = 2 7 C x 1,4 x-1,2 2

3 Permutações com repetição 40. Determine quantos são os anagramas da palavra: a) MISSISSIPPI; b) ARARAQUARA; c) ABÓBORA; d) BISCOITO; e) ARARAQUARA que começam e terminam com A? Arranjos com repetição 41. Usando os algarismos 2, 5, 7, 8 e 9: a) Quantos números naturais de 4 algarismos com pelo menos um repetido podemos formar? b) Quantos números naturais entre 500 e 700 podemos formar? Problemas que envolvem os vários tipos de agrupamento 42. Determine o valor de x, sabendo que: a) = 2x x 1 b) A x, 3 = 24C x-2, 2 c) C x, 24 = C x, 6 d) 800< A 7, x <2600 e) A x, 3 - C x, x-3 = 25C x, x-1 A x,3 f) =12 C x,4 g) (AR) x, 3 = Determine o valor de n nos seguintes casos: A b) 5A n,4 n, 3 = 2 A n-1, 4 a) = 4 c) (AR) n-1, 2 = A 5, 2 A n,3 44. Quantos números de 4 algarismos distintos maiores que podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6? 45. Quantos números de 6 algarismos maiores que podemos formar com os algarismos 1,2, 3, 4, 5 e 6? 45. Quantos anagramas da palavra ESCOLA têm as vogais e as consoantes alternadas? 47. As placas dos automóveis são formadas por três letras seguidas de quatro algarismos. Quantas placas podemos ter com as letras A e B e os algarismos pares, podendo repetir a letra e nâo podendo repetir o algarismo? 48. Quantas duplas diferentes podemos formar com um grupo de 8 tenistas? 49. Quantos numeros existem inferiores a com algarismos distintos? 50. Num grupo de 20 pessoas há 6 mulheres. Quantas comissões de 4 pessoas podem ser formadas, de modo que nelas haja pelo menos uma mulher? 51. Numa competição com 10 países, de quantas maneiras podem ser distribuídas as medaihas de ouro, prata e bronze? 52. Quantos são os anagramas da palavra MATEMÁTICA? 53. Num piano estão marcados 12 pontos, dos quais 5 estão sobre uma mesma reta e, aos 7 que estão fora dela, não há 3 colineares. Quantas retas distintas podemos traçar ligando esses pontos 2 a 2? 54. Num grupo de 4 rapazes e 7 moças, quantas comissões com 2 rapazes e 2 moças podemos formar? 55. Na despedida de um grupo de amigos, 36 abraços foram trocados. Sabendo-se que cada um abraçou todos os outros, quantos amigos estavam reunidos? 56. Quantos triângulos podemos formar unindo os vértices de um octógono? 57. A diretoria de um clube e composta por 10 membros, que podem ocupar a função de presidente, secretário ou tesoureiro. De quantas maneiras possíveis podemos formar, com os 10 membros, chapas que contenham presidente, secretário e tesoureiro? 58. Uma sorveteria oferece 10 sabores de sorvete. Se uma pessoa vai tomar 3 bolas, do mesmo sabor ou não, quantas opções diferentes ela tem? 59. Uma rnenina tem 5 blusas e 4 saias. De quantos modos distintos ela pode se vestir? 60. Num ônibus ha 5 lugares. Duas pessoas entram no ônibus. De quantas maneiras diferentes elas podem se sentar? 61. Considere a palavra LÓGICA: a) Quantas permutações (anagramas) podemos formar? b) Quantos anagramas começam com L? c) Quantos começam com LO? d) Quantos começam e terminam com vogal? e) Quantos começam com consoante e terminam com vogal? 3

4 f) Em quantos as letras L, O, G estão juntas, nessa ordem? g) Em quantos as letras L, O, G estão juntas? 62. Quantos números de 4 algarismos podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? 63. Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas com 10 pessoas, sendo que uma determinada pessoa deve figurar em todas as comissões? 64. Sobre uma reta marcam-se 4 pontos e sobre uma outra reta, paralela a primeira, marcam-se 5 pontos. Quantos triângulos obteremos unindo 3 quaisquer desses 9 pontos? 65. Com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números de algarismos distintos menores que 4000 podemos formar? 66. Responda: a) Quantos são os anagramas da palavra LIVRO? b) Quantos são os anagramas da palavra LIVRO que se iniciam por L e terminam com O? c) Quantos são os anagramas da palavra LIVRO em que as letras V, R e O aparecem juntas, em qualquer ordem? d) Quantos são os anagramas da palavra LIVRO em que as letras L e I aparecem juntas e nessa ordem (LI)? 67. Ha 10 meninos e 6 meninas para jogar tênis. De quantas maneiras podemos formar jogos de duplas, se em cada lado a dupla e constituída de um menino e uma menina? 68. Qual e o número de jogos num campeonato com 20 clubes, com turno e returno? 69. Sobre uma circunferência são marcados 6 pontos distintos. Quantos quadriláteros podemos traçar com vértices nesses pontos? 70.Tenho 6 livros diferentes de Português e 6 diferentes de Matemática. Quero colocar 4 livros de Português e 3 de Matemática na prateleira de uma estante. De quantas maneiras posso fazer isso, de modo que livros da mesma matéria fiquem juntos? 71. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, quantos números de 3 algarismos distintos maiores que 340 podemos formar? 72. Quantos subconjuntos de exatamente 4 elementos podemos formar com um conjunto de 7 elementos? 73. De quantas maneiras diferentes podemos colocar 8 livros em 3 gavetas de modo que fiquem 2 na primeira gaveta, 3 na segunda e 3 na terceira gaveta? 74. De quantas maneiras podemos extrair 5 cartas de um baralho de 52 cartas, de modo que em cada extração haja pelo menos 1 ás? 75. Quantas diagonais (não das faces) tem um cubo? 76. (UFOP-MG) Para compor a tripulação de um avião, dispomos de 20 pilotos, 4 co-pilotos, 3 comissárias e 5 comissários de bordo. Sabendo que em cada vôo vão 2 comissárias, 2 comissários, 1 piloto e 2 co-pilotos, de quantos modos pode ser escolhida a tripulação? 77. (Vunesp-SP) Determine quantos são os números de três algarismos múltiplos de 5, cujos algarismos das centenas pertencem a {1, 2, 3, 4} e os demais algarismos a {0, 5, 6, 7, 8, 9}. 78. (Vunesp-SP) Uma prova consta de 3 partes, cada uma com 5 questões. Cada questão, independentemente da parte a que pertença, vale 1 ponto, sendo o critério de correção "certo ou errado". De quantas maneiras diferentes podemos alcançar 10 pontos nessa prova, se devem ser resolvidas pelo menos 3 questões de cada parte e 10 questões no total? 79. (Unicamp-SP) De quantas maneiras podem ser escolhidos 3 números naturais distintos de 1 a 30 de modo que sua soma seja par? Justifique sua resposta. 80. (UFOP-MG) Sejam dadas 10 caixas, numeradas de 1 a 10, e 10 bolas, sendo 3 verdes, 4 vermelhas e 3 azuis. Colocando uma bola em cada caixa, de quantas maneiras é possível guardar as bolas nas caixas? 81. (UFSC) Sobre uma reta são marcados 7 pontos, e sobre uma outra reta, paralela à primeira, 3 pontos. Qual e o numero de triângulos com vértices em três desses pontos? 82. (PUC-SP) O novo sistema de placas de veículos utiliza um grupo de 3 letras (dentre 26 letras) e um grupo de 4 algarismos (por exemplo: ABC-1023). Uma placa dessas será "palíndroma" se os dois grupos que a constituem forem "palíndromos". O grupo ABA e "palíndromo" pois as leituras da esquerda para a direita e da direita para a esquerda são iguais; da mesma forma, o grupo 1331 e "palíndromo". Quantas placas "palíndromas" distintas poderão ser construídas? 83. (Fuvest-SP) O jogo da sena consiste no sorteio de 6 números distintos, escolhidos ao acaso, entre os números 1, 2, 3,..., até 50. Uma aposta consiste na escolha (pelo apostador) de 6 números distintos entre os 50 possíveis, sendo premiadas aquelas que acertarem 4 (quadra), 5 (quina) ou todos os 6 (sena) números sorteados. Um apostador, que 20 dispõe de muito dinheiro para jogar, escolhe 20 números e faz todos os = jogos possíveis de serem 6 realizados com esses 20 números. Realizado o sorteio, ele verifica que todos os 6 números sorteados estão entre os 20 que ele escoiheu. Alem de uma aposta premiada com a sena: a) Quantas apostas premiadas com a quina este apostador conseguiu? b) Quantas apostas premiadas com a quadra ele conseguiu? 4

5 5

6 6