ARRANJO OU COMBINAÇÃO?

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1 ARRANJO OU COMBINAÇÃO? As principais ferramentas da Análise Combinatória são a Permutação, o Arranjo e a Combinação, mas muitos estudantes se confundem na hora de decidir qual delas utilizar para resolver um problema específico. Aqui, vamos explicar as características de cada uma e quando devem ser utilizadas. Uma permutação de n elementos distintos é um agrupamento ordenado desses elementos. Pode ser calculada pela fórmula Pn=n!. Ela deve ser utilizada quando você quiser contar quantas possibilidades existem de se organizar um número de objetos de forma distinta, por exemplo: O número de anagramas da palavra LIVRO é uma permutação de 5 elementos, calculada através de 5+ = = 120, pois para a primeira posição você pode colocar 5 letras; para a segunda, restaram 4, para a terceira, 3 e assim por diante; O número de filas que podem ser formadas com 25 pessoas é 25!, pois para o primeiro lugar da fila temos 25 possibilidades, para o segundo 24 e assim por diante. Um arranjo de n elementos dispostos p a p, com p menor ou igual a n, é uma escolha de p entre esses n objetos na qual a ordem importa. Sua fórmula é dada por O exemplo mais clássico de arranjo é o pódio: em uma competição de 20 jogadores, quantas são as possibilidades de se formar um pódio com os três primeiros lugares? Note que, neste problema, queremos dispor 20 jogadores em 3 lugares, onde a ordem importa, afinal o pódio formado por João, por Marcos e por Pedro não é o mesmo formado por Pedro, por Marcos e por João. Outro exemplo é o número de possibilidades de se formar uma foto com n pessoas. Perceba que as permutações nada mais são do que casos particulares de arranjos onde n = p. As Combinações de n elementos tomados p a p são escolhas não ordenadas desses elementos, calculadas por Um exemplo classico é quando queremos formar uma comissão de 3 pessoas escolhidas entre 10 pessoas. Diferentemente do pódio do exemplo anterior, uma comissão formada por João, por Pedro e por Maria é a mesma comissão formada por Maria, por Pedro e por João. Por fim, fique com essa frase de impacto: Uma escolha ordenada significa escolher e colocar em ordem

2 ou, matematicamente, A = C. P Os exercícios de análise combinatória podem ser resolvidos por arranjo ou combinação, mas como identificar qual dos dois agrupamentos o exercício está se referindo? Para isso é preciso que coloquemos em prática alguns critérios que ajudarão nessa identificação. Esses critérios são aplicados da seguinte forma: Em um problema de análise combinatória iremos encontrar vários agrupamentos, monte pelo menos um deles e modifique a ordem dos elementos desse agrupamento. Se depois da mudança tiver formado um agrupamento diferente, esse problema será de arranjo. Se depois da mudança tiver formado o mesmo agrupamento, esse problema será de combinação, ou seja, mesmo se os elementos em ordem diferentes continuar identificando o mesmo agrupamento. Veja como funciona a aplicação desse critério: Considere nove pontos diferentes de uma circunferência, conforme a figura. Quantas retas ficam determinadas por esses nove pontos? Pra descobrir se o exercício é de arranjo ou combinação é preciso que montemos pelo menos um dos agrupamentos (reta). Uma reta é formada por, no mínino, 2 pontos, como os pontos não são colineares podemos unir qualquer ponto, assim podemos dizer que (A,B) é um agrupamento, se trocarmos a ordem dos seus elementos (B,A) a reta (agrupamento) continua sendo a mesma, portanto, esse exercício será resolvido por combinação. Assim, aplicamos a fórmula da combinação, sendo que n = 9 e p = 2. C9,2 = 9!

3 2! (9-2)! C9,2 = ! ! C9,2 = 72 2 C9,2 = 36 Serão formados com os 9 pontos da circunferências 36 retas. PERMUTAÇÃO SIMPLES Permutação Simples A cada um dos agrupamentos que podemos formar com certo número de elementos distintos, tal que a diferença entre um agrupamento e outro se dê apenas pela mudança de posição entre seus elementos, damos o nome de permutação simples. Neste caso o agrupamento de livros ( português, matemática, história, geografia ), difere do agrupamento ( matemática, história, português, geografia ), pois embora os elementos de ambos os grupos sejam os mesmos, há mudança no posicionamento de ao menos um dos seus elementos. Fórmula da Permutação Simples Segundo o princípio fundamental da contagem vimos que o número de agrupamentos possíveis deste exemplo era dado por:

4 = 24 Na página sobre fatoriais vimos que é igual a 4!, então se chamarmos de Pn a permutação simples de nelementos distintos, podemos calculá-la através da seguinte fórmula: Pn = n! Resolvendo o exemplo com o uso da fórmula temos: Exemplos Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra ORDEM? Um anagrama é uma palavra ou frase formada com todas as letras de uma outra palavra ou frase. Normalmente as palavras ou frases resultantes são sem significado, como já era de se esperar. Como a palavra ORDEM possui 5 letras distintas, devemos calcular o número de permutações calculando P5. Temos então: P5 = 5! = = 120 Portanto: O número de anagramas que podemos formar a partir da palavra ORDEM é igual 120. Na fila do caixa de uma padaria estão três pessoas. De quantas maneiras elas podem estar posicionadas nesta fila? Temos que calcular P3, então: P3 = 3! = = 6 Logo: As três pessoas podem estar posicionas de seis maneiras diferentes na fila. Quantos são os anagramas que podemos formar a partir das letras da palavra ERVILHAS, sendo que eles comecem com a letra E e terminem com vogal? Como na primeira posição sempre teremos a letra E, o número de possibilidades nesta posição é igual a 1, podemos até dizer que é igual a P1.

5 Para a última posição temos disponíveis as letras I e A, pois a letra E já está sendo utilizada no começo, então para a oitava letra temos que calcular P2: P2 = 2! = 2. 1 = 2 Como para as demais posições temos 6 letras disponíveis, calculemos então P6: P6 = 6! = = 720 Multiplicando tudo: = 1440 Então: A partir da palavra ERVILHAS podemos formar 1440 anagramas que comecem com a letra E e terminem em vogal. FATORIAL E O PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Como calcular um número fatorial e princípio fundamental da contagem.

6 Fatorial Considerando n um número natural maior que 1 (um), podemos definir como fatorial desse número n (n!) o número: n! = n(n 1)(n 2)(n 3) * * 3 * 2 * 1 Lê-se n! como n fatorial ou fatorial de n. Veja alguns exemplos: 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = ! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = ! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = Princípio Fundamental da Contagem

7 Quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal forma que as possibilidades da primeira etapa é m e as possibilidades da segunda etapa é n, consideramos então que o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m*n. Exemplo 1 Ao lançarmos uma moeda e um dado temos as seguintes possibilidades: Moeda: cara ou coroa (duas possibilidades) Dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (seis possibilidades) Observando o ocorrido, vemos que o evento tem duas etapas com 2 possibilidades em uma e 6 em outra, totalizando 2*6 = 12 possibilidades. Exemplo 2 Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 4 e 6? E de algarismos distintos? Podemos escrever 3 * 3 * 3 = 27 números de 3 algarismos. Três algarismos distintos: 3 * 2 * 1 = 6 números de 3 algarismos distintos. Por Marcos Noé Graduado em Matemática Anagramas Os anagramas são alterações da sequência das letras de uma palavra. Na Matemática, por meio da permutação, é possível descobrir quantas combinações uma palavra pode ter. As permutações são agrupamentos

8 formados pelos mesmos elementos, por isso diferem entre si somente pela ordem dos mesmos. Por exemplo, se C = (2, 3, 4), as permutações simples de seus elementos são: 234, 243, 324, 342, 423 e 432. Indicamos o número de Permutações simples de n elementos distintos por Pn = n! Exemplo 1 Quais os anagramas da palavra AMOR? Um anagrama formado com A, M, O, R corresponde a qualquer permutação dessas letras, de modo a formar ou não palavras. Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda posição, 2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a quarta posição. Pelo princípio fundamental da contagem temos 4 * 3 * 2 * 1 = 24 possibilidades ou 24 anagramas.

9 Alguns anagramas: ROMA, AMRO, MARO, ARMO, MORA... Exemplo 2 Formar os anagramas a partir da palavra PATO Pelo Princípio Fundamental da Contagem podemos dizer que é possível formar 24 sequências. P4 = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 PATO PAOT POTA POAT PTOA PTAO APTO APOT ATPO ATOP AOTP AOPT TAPO TAOP TOPA TOAP TPAO TPOA OAPT OATP OPTA OPAT OTPA OTAP Exemplo 3 Carlos e Rose têm três filhos: Sérgio, Adriano e Fabíola. Eles querem tirar uma foto de recordação na qual todos apareçam lado a lado. Quantas fotos diferentes

10 podem ser registradas? A forma como irão se distribuir corresponde a uma permutação entre eles, então: P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 formas distintas. Por Marcos Noé Graduado em Matemática Combinação simples Combinação simples é um tipo de agrupamento onde os arranjos são diferenciados pela natureza de seus elementos. Combinação simples é um tipo de agrupamento no estudo sobre análise combinatória. Os agrupamentos formados com os elementos de um conjunto serão considerados combinações simples se os elementos dos agrupamentos diferenciarem apenas pela sua natureza.

11 Se considerarmos o conjunto B ={A,B,C,D} formados por 4 pontos não colineares (que não pertence a mesma reta), qual a quantidade de triângulos que podemos formar? Esse é um problema de análise combinatória, pois iremos formar agrupamentos. Nesse caso o agrupamento é formar triângulos utilizando 4 pontos não colineares. Se destacarmos dois agrupamentos formados teremos: ABC e BCA, esses são triângulos formados com os mesmos pontos, mas em ordens diferentes que torna os triângulos iguais. Portanto, os agrupamentos formados nesse exercício são combinações. As combinações simples podem ser consideradas um tipo particular de arranjo simples, pois os agrupamentos formados nos arranjos são diferenciados pela ordem e pela natureza dos seus elementos. A combinação simples são esses arranjos diferenciados apenas pela natureza de seus elementos. Considerando o exemplo acima veja todas as possibilidades de triângulos formados com os quatro pontos não colineares: ABC, BAC, CAB, DAB ABD, BAD, CAD, DAC ACB, BCA, CBA, DBA ACD, BCD, CBD, DBC ADB, BDA, CDA, DCA ADC, BDC, CDB, DCB Percebemos que há vários agrupamentos que se diferem pela ordem de seus elementos, esses representam o mesmo triângulo, por isso que consideramos esse exercício como sendo uma combinação simples, assim a quantidade de combinações simples que os 4 pontos não colineares (A,B,C,D), tomados 3 a 3 irão formar será 4, pois os seus agrupamentos se diferem pela natureza de seus elementos e não pela ordem. Para encontrar essa quantidade de agrupamentos formados em uma combinação simples utilizamos a seguinte fórmula: Cn,p = n!

12 p! (n p) n é a quantidade de elementos de um conjunto p é um número natural menor ou igual a n, que representa a quantidade de elementos que irão formar os agrupamentos. Substituindo os dados acima na fórmula teremos: n = 4 p = 3 C4,3 = 4! 3! (4-3)! C4,3 = 4. 3! 3!. 1 C4,3 = 4 Exercícios de permutações simples