UNITAU APOSTILA ANÁLISE COMBINATÓRIA PROF. CARLINHOS

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1 ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA ANÁLISE COMBINATÓRIA PROF. CARLINHOS NOME DO ALUNO: Nº TURMA: blog.portalpositivo.com.br/capitcar 1

2 ANÁLISE COMBINATÓRIA A Análise Combinatória é uma parte da Matemática que estuda e desenvolve métodos para a resolução de problemas que envolvem contagem. A origem dos problemas de contagem está ligada a jogos de loterias, ainda no século XVII. As primeiras publicações a respeito pareceram com Blaise Pascal e Pierre de Fermat. Alem desses ilustres personagem, muitos outros posteriormente desenvolveram estudos, com destaque para os suíços Jaques Bernoulli e Leonhard Euler e para o alemão Gottfried W. Leibniz. Esta nossa primeira aula não consiste, em dar absolutamente uma maneira formal para a resolução de problemas de contagem por meio de fórmulas, mas sim algumas técnicas de contagem de todos os casos possíveis de um acontecimento, como a árvore das possibilidades e o princípio fundamental da contagem. Vejamos alguns problemas. Ex: 1) Para a eleição da associação de Pais e Mestres da Escola, há três candidatos a presidente e dois a vice-presidente. Arnaldo (A) Candidatos a presidente Fábio (F) Candidatos a vice - presidente Carmem (C) Quais e quantos são os possíveis resultados dessa eleição? Beatriz (B) Dárcio (D) Vamos fazer um esquema de resolução para representar os possíveis resultados, ao qual daremos o nome de árvore das possibilidades. Ex: 2) Uma moeda tem duas faces: cara(k) e coroa(c). Lança-se a moeda três vezes consecutivas e observa-se qual face ficou voltada para cima. Quais e quantos são os resultado possíveis? Construindo a árvore das possibilidades, temos: blog.portalpositivo.com.br/capitcar 2

3 São possíveis 8 resultados. Ex: 3) Quais e quantos são os números de três algarismos distintos que podemos formar usando os algarismos 2, 5 e 7? Construindo a árvores das possibilidades, temos: São 6 os possíveis resultados. blog.portalpositivo.com.br/capitcar 3

4 Ex: 4) Fabíola, Gerson, Hélio, Ivelise e Jacira disputam 2 vagas no conselho da escola. Quantas comissões de 2 pessoas podem ser formadas com os 5 alunos. Construindo a árvore das possibilidades, temos: São 10 comissões de dois alunos, pois as comissões FG = GF, FH = HF, HG = GH, FI = IF, GI =IG, IH = HI, FJ = JF, GJ = JG, HJ = JH e IJ = JI PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO Vamos aprender agora a determinar o número de possibilidades de ocorrência de evento, sem a necessidade de descrever todas as possibilidades. Considere a seguinte situação: André tem 2 Bermudas ( preta e cinza) e 4 camisetas (branca, verde, amarela e roxa). blog.portalpositivo.com.br/capitcar 4

5 De quantas maneiras diferentes ele poderá se vestir usando uma bermuda e uma camiseta? Construindo a árvore das possibilidades, temos: Observe que : ACONTECIMENTO DESCRIÇÃO DAS NÚMERO POSSIBILIDADES POSSIBILIDADES Escolha da bermuda P, C 2 Escolha da camiseta B, V, A, R 4 DE Há duas possibilidades de escolher uma bermuda. Para cada uma delas, quatro possibilidades de escolher uma camiseta. Logo, o número total de maneiras diferentes de André se vestir é 2. 4 = 8. Como o número de resultados foi obtido por meio de multiplicação, dizemos que foi aplicado o princípio multiplicativo. Vamos enunciá-lo: Se um acontecimento ocorrer por várias etapas sucessivas e independente, de tal modo que: p 1 é o número de possibilidade da 1ª etapa, p 2 o número de possibilidades da segunda etapa,..., p k é o número de possibilidades da k-ésima etapa, então: p 1.p 2...p k é o número de possibilidades total de um acontecimento ocorrer. blog.portalpositivo.com.br/capitcar 5

6 EXEMPLOS Ex: 1) Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de carne, 5 variedades de bebida e 3 de sobremesa diferentes. Uma pessoa deseja comer uma salada, uma carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras distintas ela pode fazer o pedido? Acontecimentos Descrição das Número possibilidades possibilidades Escolha de uma salada S 1, S 2 2 Escolha de um prato de C 1, C 2, C 3, C 4 4 carne Escolha de uma bebida B 1, B 2, B 3, B 4, B 5 5 Escolha de uma sobremesa So 1, So 2, So 3 3 das Usando o princípio multiplicativo, o número de maneiras de o pedido ser feito é igual a: = 120 maneiras Ex: 2) Os números de telefones de uma cidade têm 8 algarismos. Determine a quantidade de telefones a serem instalados, sabendo que os números não devem começar com zeros P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 Usando o princípio multiplicativo, o número máximo de telefones é: = EXERCÍCIOS FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM 1) Determine quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 0,2,3 e 4? resp: 18 2) Determine quantos números pares de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 3,4,5,6 e 7? resp: 48 3) Numa prova de automobilismo disputaram 20 carros. Quantos são as possibilidades de classificação para os três primeiros lugares? resp: ) Quantos resultados diferentes podemos obter lançando uma moeda quatro vezes? resp: 16 5) De quantas formas diferentes podemos dispor 6 pessoas em fila. resp: 720 blog.portalpositivo.com.br/capitcar 6

7 6) Quantos números múltiplos de 5 de quatro algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. resp: 120 7) As atuais placas de licenciamento de automóveis são compostas de sete símbolos, sendo 3 letras, dentre as 26 do alfabeto, seguidas de 4 algarismos. Determine o número de automóveis que podem ser licenciados com esse sistema sem repetir a placa. resp ) Três homens e uma mulher estão numa sala, onde há um banco de três lugares. De quantas formas diferentes os homens podem se sentar, nunca deixando em pé a mulher. resp: 18 9) O segredo de um cofre é composto de um número de quatro algarismos, sendo que o 1º algarismo é um número ímpar e o último algarismo um número par. Se um ladrão demora um minuto para testar cada segredo, qual o tempo máximo que ele levaria para abrir esse cofre. Resp: 41h 40mim 10) De quantos modos distintos podem sentar-se nove pessoas em um banco, de modo que os lugares extremos sejam ocupados pelo mais novo e pelo o mais velho? resp: Vamos estudar agora problemas de contagem relacionados a algumas formas de organizar ou agrupar elementos de um conjunto. Arranjo Simples: é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. Fórmula do arranjo simples: A n, p = ( n p)! Ex: Quatro pessoas ( Arnaldo, Bento, Carlos, Daniel) disputam uma corrida. Supondo que todas terminem a prova, quantas são as possibilidades de chegada para os três primeiros lugares? 4! 4! Resolução: n = 4 e p = 3 A n, p = = = = 24 ( n p)! (4 3)! 1! Existem 24 possibilidades diferentes de chegada para os três primeiros lugares. Combinação Simples: É o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de outro apenas pela natureza dos seus elementos componentes. Fórmula da Combinação Simples: C n ; p = p!( n p)! blog.portalpositivo.com.br/capitcar 7

8 Ex: Quatro pessoas ( Arnaldo, Bento, Carlos, Daniel) disputam 3 vagas no conselho da escola. Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas com os 4 alunos? 4! 4! Resolução: n= 4 e p = 3 C n ; p = = = = 4 p!( n p)! 3!(4 3)! 3!.1! Podemos formar 4 comissões. Permutação Simples: É o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de outro apenas pela ordem de seus elementos. Fórmula da permutação simples: P n = Ex: Determine quantos são os anagramas da palavra ROMA? Resolução: P n = = 4! = 24 Portanto existem 24 anagramas. Permutação com elementos repetidos: Se tivermos n elementos dos quais, α são iguais A, β são iguais B,δ são iguais a C e etc... O número de permutações distintas dos n elementos será: P α, β, δ... n = α!. β!. δ!... Ex: Quantos anagramas tem a palavra ARITMÉTICA? Resolução: n = 10, a letra A, repete 2 vezes (α = 2), a letra I repete 2 vezes (β = 2) e a letra T repete 2 vezes ( δ = 2 ), portanto: 2, 2 10! P 2, 10 = = anagramas 2!.2!.2! EXERCÍCIOS FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM 1) Considere a palavra MACACO. a) Quantos anagramas são formados com as letras dessa palavra? resp: 180 b) Quantos deles começam pela letra M? resp: 30 c) Quantos deles começam pela letra O e terminam pela letra M? resp: 6 blog.portalpositivo.com.br/capitcar 8

9 2) O professor Miguel de educação física dispõe 12 alunos para escalar o seu time de voleibol. De quantas maneiras diferentes poderá escalar o seu time? resp: 924 3) Um campeonato de futebol é disputado por 10 times com turno e returno. Calcule o número total de jogos desse campeonato. resp: 90 4) Um grupo de 5 rapazes e 8 moças deseja participar de uma comissão de 5 membros. Quantas dessas comissões tem no mínimo 2 rapazes? resp: 881 5) De quantos modos diferentes se podem organizar, em uma fila de 10 cadeiras, 4 brasileiros, 3 japoneses e 3 bolivianos, de modo que as pessoas de mesma nacionalidade fiquem sempre juntas? resp: ) Sobre duas reta paralelas marcam-se 13 pontos, sendo 8 sobre uma e 5 sobre a outra. Quantos triângulos tendo como vértices os pontos considerados podemos formar? resp: 220 7) (FMTM)) Pretende-se colorir um prato dividindo-o em 4 partes iguais, por dois diâmetros, com cada parte recebendo uma cor diferente. Dispondo-se de 6 cores, de quantas maneiras distintas o prato pode ser colorido? resp: e a) 80 b) 60 c) 90 d) 120 e) 360 8) Calcule o número de anagramas da palavra CLARA em que as letras AR aparecem: a) Juntas resp: 48 b) Juntas e nessa ordem resp: 24 9) Um campeonato de futebol é disputado por várias equipes, jogando entre si, turno único, num total de 136 partidas. Determine o número de equipes participantes. resp: 17 10) (ITA-SP) Listando-se em ordem crescente todos os algarismos distintos, formados com os elementos do conjunto {1,2,4,6,7}, o número ocupa o n-ésimo lugar. Então n é igual a: Resp: d a) 74º b) 75º c) 79º d) 81º e) 92º Bibliografia: Curso de Matemática Volume Único Autores: Bianchini&Paccola Ed. Moderna Matemática Fundamental - Volume Único Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. Ed. FTD Contexto&Aplicações Volume Único Autor: Luiz Roberto Dante Ed. Ática blog.portalpositivo.com.br/capitcar 9