Lista de Análise Combinatória Pré-vestibular Noturno Professor: Leandro (Pinda)

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1 Lista de Análise Combinatória Pré-vestibular Noturno Professor: Leandro (Pinda) 1. (Famerp 2018) Lucas possui 6 livros diferentes e Milton possui 8 revistas diferentes. Os dois pretendem fazer uma troca de 3 livros por 3 revistas. O total de possibilidades distintas para que essa troca possa ser feita é igual a a) b) 684. c) 980. d) e) (Fuvest 2018) Doze pontos são assinalados sobre quatro segmentos de reta de forma que três pontos sobre três segmentos distintos nunca são colineares, como na figura. maior número de pontos. Observaram que o número de partidas jogadas depende do número de jogadores, como mostra o quadro: Quantidade de jogadores Número de partidas Se a quantidade de jogadores for 8, quantas partidas serão realizadas? a) 64 b) 56 c) 49 d) 36 e) (Ufjf-pism ) Para concorrer à eleição a diretor e a vice-diretor de uma escola, há 8 candidatos. O mais votado assumirá o cargo de diretor e o segundo mais votado, o de vice-diretor. Quantas são as possibilidades de ocupação dos cargos de diretor e vice-diretor dessa escola? a) 15 b) 27 c) 34 d) 56 e) 65 O número de triângulos distintos que podem ser desenhados com os vértices nos pontos assinalados é a) 200. b) 204. c) 208. d) 212. e) (Puccamp 2018) Admita que certa cidade brasileira tenha 8 canais de TV aberta, todos com transmissões diárias. Se uma pessoa pretende assistir três dos oito canais em um mesmo dia, ela pode fazer isso de x maneiras diferentes sem levar em consideração a ordem em que assiste os canais, e pode fazer de y maneiras diferentes levando em consideração a ordem em que assiste os canais. Sendo assim, y x é igual a a) 112. b) 280. c) 224. d) 56. e) (Mackenzie 2018) Se somarmos todos os números obtidos, permutando-se os algarismos em 1234, o resultado obtido é igual a a) b) c) d) e) (Epcar (Afa) 2018) Dez vagas de um estacionamento serão ocupadas por seis carros, sendo: 3 pretos, 2 vermelhos e 1 branco. Considerando que uma maneira de isso ocorrer se distingue de outra tão somente pela cor dos carros, o total de possibilidades de os seis carros ocuparem as dez vagas é igual a a) b) c) d) (Fac. Albert Einstein - Medicina 2017) Oito adultos e um bebê irão tirar uma foto de família. Os adultos se sentarão em oito cadeiras, um adulto por cadeira, que estão dispostas lado a lado e o bebê sentará no colo de um dos adultos. O número de maneiras distintas de dispor essas 9 pessoas para a foto é a) 8 8! b) 9! c) d) 9. (Efomm 2017) Quantos anagramas é possível formar com a palavra CARAVELAS, não havendo duas vogais consecutivas e nem duas consoantes consecutivas? a) 24 b) 120 c) 480 d) e) (Unigranrio - Medicina 2017) Quantos são os anagramas da palavra VESTIBULAR, em que as consoantes aparecem juntas, mas em qualquer ordem? a) 120 b) 720 c) d) e) (Unesp 2017) Uma criança possui 6 blocos de encaixe, sendo 2 amarelos, 2 vermelhos, 1 verde e 1 azul. Usando essas peças, é possível fazer diferentes pilhas de três blocos. A seguir, são exemplificadas quatro das pilhas possíveis (Enem 2017) Como não são adeptos da prática de esportes, um grupo de amigos resolveu fazer um torneio de futebol utilizando videogame. Decidiram que cada jogador joga uma única vez com cada um dos outros jogadores. O campeão será aquele que conseguir o

2 2 Utilizando os blocos que possui, o total de pilhas diferentes de três blocos, incluindo as exemplificadas, que a criança pode fazer é igual a a) 58. b) 20. c) 42. d) 36. e) (Espm 2017) Em uma classe há 25 alunos. Podemos afirmar, com certeza, que: a) Algum aluno faz aniversário em janeiro. b) Em algum mês haverá 4 aniversários. c) Pelo menos 3 alunos fazem aniversário no mesmo mês. d) Pelo menos 2 alunos aniversariam em dezembro. e) No máximo 4 alunos fazem aniversário em um mesmo mês. 13. (Uemg 2017) Os números 258 e 179 têm seus algarismos escritos em ordem crescente. Os números 558 e 496 não têm seus algarismos escritos em ordem crescente. Quantos são os números de três algarismos no qual esses algarismos aparecem em ordem crescente? a) 84 b) 120 c) 504 d) (Enem 2017) Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um público de aproximadamente um milhão de clientes. Para acessar essa página, será necessária uma senha com formato a ser definido pela empresa. Existem cinco opções de formato oferecidas pelo programador, descritas no quadro, em que "L" e "D" representam, respectivamente, letra maiúscula e dígito. Opção I II III IV V Formato LDDDDD DDDDDD LLDDDD DDDDD LLLDD As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer das opções. A empresa quer escolher uma opção de formato cujo número de senhas distintas possíveis seja superior ao número esperado de clientes, mas que esse número não seja superior ao dobro do número esperado de clientes. A opção que mais se adéqua às condições da empresa é a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. 15. (Epcar (Afa) 2017) Um baralho é composto por 52 cartas divididas em 4 naipes distintos (copas, paus, ouros e espadas). Cada naipe é constituído por 13 cartas, das quais 9 são numeradas de 2 a 10, e as outras 4 são 1 valete (J), 1 dama (Q), 1 rei (K) e 1 ás (A). Ao serem retiradas desse baralho duas cartas, uma a uma e sem reposição, a quantidade de sequências que se pode obter em que a primeira carta seja de ouros e a segunda não seja um ás é igual a a) 612 b) 613 c) 614 d) (Fgv 2017) O total de números de cinco algarismos que possuem pelo menos dois dígitos consecutivos iguais em sua composição é igual a a) b) c) d) e) (Espm 2017) As placas de automóveis no Brasil são formadas por 3 letras do alfabeto completo (26 letras), seguidas por 4 algarismos do sistema decimal de numeração. A quantidade de placas em que as 3 letras e os 4 algarismos são consecutivos (por exemplo: ABC 0123, MNP 4567) é igual a: a) 168 b) 216 c) 184 d) 156 e) (Famema 2017) Uma pessoa dispõe de 5 blocos de papel colorido nas cores azul, amarelo, verde, branco e rosa, sendo cada um deles de uma única cor, e irá utilizar 3 folhas para anotações. O número total de maneiras possíveis de essa pessoa escolher essas 3 folhas, sendo pelo menos 2 delas de uma mesma cor, é a) 22. b) 12. c) 15. d) 18. e) (Enem 2016) O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo a ser adotada depende, entre outros fatores, de o adversário ser canhoto ou destro. Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são canhotos e 6 são destros. O técnico do clube deseja realizar uma partida de exibição entre dois desses jogadores, porém, não poderão ser ambos canhotos. Qual o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a partida de exibição? 10! 4! 10! 4! 10! a) b) c) 2! 8! 2! 2! 8! 2! 2! 8! 2 d) 6! 4 4 4! e) 6! 6 4 4! 20. (Fatec 2016) No Boxe, um dos esportes olímpicos, um pugilista tem à sua disposição quatro golpes básicos: o jab, o direto, o cruzado e o gancho. Suponha que um pugilista, preparando-se para os Jogos Olímpicos do Rio, em 2016, queira criar uma sequência com 6 golpes, empregando necessariamente dois jabs, dois diretos, um cruzado e um gancho. Assim, o número máximo de sequências que ele poderá criar será de a) 180. b) 160. c) 140. d) 120. e) 100.

3 Gabarito Resposta da questão 1: Calculando o total de possibilidades: Total C6,3 C8,3 6! C6,3 20 3! 3! 3 2 8! C8,3 56 3! 5! 3 2 Total Resposta da questão 2: 12 12! Há 220 maneiras de escolher três pontos quaisquer. Dentre essas possibilidades, devemos descontar 3 3! 9! aquelas em que não se pode formar um triângulo. Temos dois segmentos de reta que apresentam quatro pontos cada 4 um, resultando, portanto, em possibilidades. 3 A resposta é Resposta da questão 3: [B] 8! C8,3 56 3! 5! 8! A8, ! Resposta da questão 4: A soma dos 4 algarismos será sempre 10. Pode-se agrupar as permutações em grupos de 4, como o exemplo a seguir. Como são no total 24 possíveis permutações, há 6 grupos de 4. Logo, pode-se calcular: var iações Resposta da questão 5: Considerando que as quatro vagas desocupadas são objetos idênticos, segue que o resultado é dado por (3, 2, 4) 10! P10 3! 2! 4! Resposta da questão 6: O número de partidas pode ser calculado pelo número de combinações de jogadores, 2 a 2. Assim:

4 4 C 8,2 8! 8 7 6! 28 partidas 2! 6! 2 6! Resposta da questão 7: 8! 8 7 6! A8, ! 6! Perceba que a ordem (diretor e vice) é importante, por isso usa-se arranjo. Resposta da questão 8: Existem P8 8! maneiras de acomodar os adultos e 8 maneiras de escolher o colo em que sentará o bebê. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 8 8!. Resposta da questão 9: A palavra CARAVELAS possui 5 consoantes e 4 vogais, a única configuração possível dos anagramas que apresenta as vogais e consoantes alternadas será dada abaixo, onde CO é uma consoante e VO é uma vogal. Temos então 5 consoantes distintas e 4 vogais com 3 repetidas. Logo, o número N de anagramas pedido será dado por: 3 4! N P5 P4 5! 480 3! Resposta da questão 10: VESTIBULAR VSTBLR EIUA P6 P5 6! 5! Resposta da questão 11: Uma pilha pode ter blocos de duas ou três cores distintas. Para as pilhas de blocos de duas cores existem 2 escolhas (2) 3! para a cor repetida e 3 para a segunda cor. Definidos os blocos, é possível dispô-los de P3 3 maneiras. Logo, 2! pelo Princípio Multiplicativo, segue que existem pilhas com blocos de duas cores. Ademais, para as pilhas de blocos de três cores distintas, sabemos que existem 4 modos de escolher a primeira cor, 3 modos de escolher a segunda cor e 2 modos de escolher a última cor. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que há pilhas possíveis. Finalmente, pelo Princípio Aditivo, podemos concluir que o resultado é Resposta da questão 12: Sabemos, pelo Princípio das Gavetas de Dirichlet, que em pelo menos um mês há Resposta da questão 13: aniversariantes. Existem números que começam por 1, números que começam por 2, e assim sucessivamente, até o número 789 que é o último número que apresenta os algarismos em ordem crescente.

5 5 Portanto, a resposta é Resposta da questão 14: 5 Opção I opções 6 Opção II opções 2 4 Opção III opções 5 Opção IV opções 3 2 Opção V opções Sendo o número esperado de clientes igual a 1 milhão, o formato que resulta num número de senhas distintas possíveis superior a 1 milhão mas não superior a 2 milhões é o formato dado na opção V. Resposta da questão 15: 1. Retira um ás de ouros e não retira um às Retira uma carta que seja de ouros (exceto ás) e que a segunda não seja um ás Total possibilidades Resposta da questão 16: Existem números de cinco algarismos. Destes, temos números que não apresentam quaisquer dígitos consecutivos. Portanto, segue que o resultado é Resposta da questão 17: Existem ternas de letras consecutivas e quadras de algarismos consecutivos. Assim, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é Resposta da questão 18: Considerando as três folhas no a mesma cor temos 5 possibilidades. Considerando duas com a mesma cor e a terceira com cor diferente, temos possibilidades. Portanto, o número de escolhas possíveis destas folhas será dado por Resposta da questão 19: 10 10! Desde que o número de maneiras de escolher dois tenistas quaisquer é, e o número de modos de 2 2! 8! 4 4! 10! 4! escolher dois tenistas canhotos é, tem-se que o resultado é dado por. 2 2! 2! 2! 8! 2! 2! Resposta da questão 20: Utilizando a permutação simples com repetição de elementos, pode-se escrever: 2;2 6! ! 2;2 P6 P ! 2! 1! 1! 2! 2 1