Permutações Circulares

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1 Permutações Circulares

2 Permutações Circulares Exemplo 20: De quantos modos 5 crianças podemformarumarodadeciranda? Exemplo 21: De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com 7 crianças, de modo que duas determinadas dessas crianças nãofiquemjuntas?

3 Arranjos e Combinações

4 Arranjos e Combinações

5 Arranjos e Combinações

6 Arranjos e Combinações Exemplo22:Dados5pontosdistintossobreuma circunferência, pergunta-se: com extremos nessespontos, a) quantos segmentos de reta podemos formar? b)quantosvetorespodemosformar?

7 Arranjos e Combinações Exemplo 23: Entre 6 livros de autores diferentes, uma pessoa quer escolher 3 para presentear: a) três amigos (um livro para cada amigo) b)umsóamigocomos3livros. Quantas são as maneiras que essa pessoa tem depresentearcomoslivros?

8 Arranjos e Combinações Exemplo24:Umcomitêdetrêspessoasdeveser formado a partir de um grupo de 20 pessoas. Quantoscomitêssãopossíveis? Exemplo 25: De um grupo de cinco mulheres e sete homens, quantos comitês diferentes formados por duas mulheres e três homens podeserformados?

9 Arranjos e Combinações Exemplo 26: Um grupo de oito pessoas é constituído de cinco homens e três mulheres. Quantas comissões de três pessoas podem ser formadas,incluindo exatamentedoishomens?

10 Arranjos e Combinações Exemplo 27: Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissões de 5 pessoas, com pelo menos3homens,podemserformadas? Exemplo28:Emumareuniãosocial,cadapessoa cumprimenta todas as outras, havendo ao todo 45 apertos de mão. Quantas pessoas haviam na reunião?

11 Arranjos e Combinações Exemplo 29: O número de comissões diferentes, de 2 pessoas, que podemos formar com os n diretores de uma firma é k. Se, no entanto, ao formar estas comissões, tivermos que indicar uma das pessoas para presidente e a outra para suplente podemos formar k+3 comissões diferentes.qualéovalorden?

12 Arranjos e Combinações Exemplo 30: Tem-se 5 pontos sobre uma reta r e 8 pontos sobre uma reta s paralela a r. Quantos triângulosequantos quadriláterosconvexoscom vérticesnessespontosexistem?

13 Combinações com repetição Vamoscomeçarcomoseguinteexemplo: De quantos modos podemos comprar 2 sorvetes em um bar que os oferece em 4 sabores distintos? Arespostanãoé. Esse valor seria o número de modos de escolher 2 sabores diferentes entre os 4 sabores oferecidos.

14 Combinações com repetição Usando um diagrama de árvore, podemos encontrar a resposta da questão proposta inicialmente.

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16 Combinações com repetição Do diagrama de árvore, podemos concluir que há 10 modos diferentes de comprar 2 sorvetes escolhidos dentre os 4 sabores disponíveis. A resposta desse problema será representada por:

17 x 1 x 2 x 3 x 4 (1,1,0,0) S 1 e S 2 (0,1,0,1) S 2 e S 4 (0,2,0,0) S 2 e S 2 (1,0,0,1) S 1 e S 4

18 Combinações com repetição Afórmulageralparacombinaçõescomrepetição édadapor:

19 Combinações com repetição Exemplo 31: De quantos modos podemos comprar 3 sorvetes em um bar que os oferece em6saboresdistintos?

20 Combinações com repetição Exemplo 32: Quantas soluções inteiras nãonegativastemaequaçãox+y+z =7?

21 Combinações com repetição Exemplo 33: Quantas soluções inteiras nãonegativastemainequaçãox+y+z 5?

22 Combinações com repetição Exemplo 34: Quantas soluções inteiras tem a equaçãox+y+z=20com x 2,y 2ez 2?

23 Combinações com repetição Exemplo 35: De quantas maneiras é possível distribuir 20 bolas iguais entre 3 crianças de modo que cada uma delas receba pelo menos 5 bolas?

24 Combinações com repetição Exemplo 36: Quantos são os anagramas da palavra PIRACICABA que não possuem duas letrasajuntas?

25 Exercício 1: Considere A={1,2,3,,12}. Determine o número de subconjuntos H de A tais que as condições abaixo sejam simultaneamente satisfeitas. a) H tem 6 elementos; b) 8 pertence a H; c) exatamente dois elementos maiores que 8 pertencem a H; R:210

26 Exercício 2: Com os algarismos 1, 2, 3,..., 9, quantos números constituídos de 3 algarismos ímpares e 3 pares, sem repetição, podemserformados? R:28800

27 Exercício 3: Determine o número de soluções inteiras da equação, onde o valor de cada incógnita pode variar entre 3 e 3 inclusive. R: 224

28 Exercício 4: Quantos são os anagramas da palavra PARAGUAIO que não possuem consoantes adjacentes? R: 25200

29 Exercício 5: Uma formiga está em um canto de uma armação de varetas de dimensões 2, 3e4.Nocantoopostoaodaformiga,estáum torrão de açúcar. Ela é esperta e só anda para frente,paracimaouparaadireita. R:1260

30 Exercício 6: A figura abaixo representa 17 ruas que se cortam perpendicularmente, sendooitoverticais. Quantoscaminhosmínimosumapessoapode percorrer para ir do ponto A ao ponto B: a)semrestrições? b)sempassarporc? c)sempassarporcoud? d)sempassarporcnemd? Resp.:a)6435;b)3985;c)5035;d)2865