TEOREMA DOS COSSENOS: ( Estabelece uma relação entre as medidas dos lados e dos lados de um triângulo qualquer) a) b) c) 10 x x 4 7 x

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1 MATEMÁTIA- DEPENDÊNIA DO 4º BIMESTRE ( Prof KOJI) ENSINO MÉDIO 2º ANO TEOREMA DOS OSSENOS: ( Estabelece uma relação entre as medidas dos lados e dos lados de um triângulo qualquer) Em todo triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto àquele lado. a 2 = b 2 + c 2 2b.c.cosα b 2 = a 2 +c 2-2.a.c.cosβ δ c 2 = a 2 + b 2-2.a.b.cosδ b a α β A c B EXERÍIOS 1) Aplicando o teorema dos cossenos, obtenha o valor de x: a) b) c) 10 x x 4 7 x d) e) x º 60 X 1 Resp 8 2 2) No triângulo AB, calcule o valor do cos  A 4 5 B 3) Os lados de um triângulo são : 3. 4 e 6. alcular o valor do cosseno do maior ângulo interno desse triângulo. ( Lembrete: ao maior lado opõe-se o maior ângulo) R:

2 4) alcule o comprimento da diagonal do paralelogramo: 6 d ) No triângulo AB, AB = 5cm ; B = 16cm e o ângulo AB mede 60 alcular a medida da mediana relativa ao lado B, em centímetros. ( Lembrete: A mediana de um triângulo e um segmento de reta, cujos extremos são um vértice e o ponto médio do lado oposto. Resp : 7,0 cm TEOREMA DOS SENOS ( VALE PARA TRIÂNGULO QUALQUER) Em todo triângulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos e a constante de proporcionalidade é a medida do diâmetro da circunferência circunscrita a esse triângulo A B c β. R a b EXERÍIOS 1) Aplicando o teorema dos senos, calcule o valor de x: a) b) x x º ) o é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo AB. alcule o valor de x.

3 a) b) 2 x 6 x O 30 O ) No triângulo AB, os lados A e B medem 8 e 6 cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30. alcular o seno do ângulo B.

4 ENSINO MÉDIO - 3 ANO PRINÍPIOS BÁSIOS DE ONTAGEM. Uma lanchonete oferece 3 tipos de salgados e 2 tipos de refrigerante. De quantos modos uma pessoa pode se servir comprando: a) um salgado ou um refrigerante; b) um salgado e um refrigerante. a) pode-se servir de 3+ 2 = 5 modos. ( Princípio da adição) b) Pode se servir de 3 2 = 6 modos. ( princípio da multiplicação ou Princípio fundamental da contagem) EXERÍIOS 1) Duas pessoas entram em um ônibus e constatam que existem 5 lugares vagos. De quantos modos eles podem se sentar? Resp :20 2) Quantos números naturais de 2 algarismos podem ser formados com os algarismos ímpares? Esp 25 3) Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B, e outra 4 ligando B a. Uma pessoa deseja viajar de A até, passando por B. Quantas linhas de ônibus diferentes poderá utilizar na viagem de ida e volta, sem usar duas vezes a mesma linha? Resp 72 4) Para se viajar de uma cidade A até uma outra cidade B, deve-se passar necessariamente pela cidade ou pela cidade D. De acordo com as quantidades de caminhos existentes entre essas cidades, indicados na figura,quantos são os caminhos possíveis entre A e B? 18 A B D FATORIAL DE NÚMEROS NATURAIS. hama-se n fatorial ou fatorial de n, sendo n número natural e n números naturais de 1 a n., o produto de todos os n! = n.(n-1).(n-2).(n-3) Definição especial : 0! = 1 e 1! = 1 Exemplos: 2! = 2.1 = 2 3! = = 6 4! = = 24 5! = = 120 6! = = 720 Examinando os exemplos, podemos escrever : 6! = 6.( ) = 6.5!

5 6! = 6.5.( ) = 6.5.4! ou de forma geral, se n temos : n! = n.(n-1)! No estudo da análise combinatória, dois tipos de agrupamentos são de grande importância: 1º tipo: A ordem dos elementos no agrupamento é importante. São chamados de ARRANJOS. 2º tipo: A ordem dos elementos no agrupamento NÃO é importante. São chamados de OMBINAÇÕES. Ex. do 1º tipo : om os algarismos 1, 2,3 quantos números de 2 algarismos distintos existem? Note que: A ordem importa, pois mudando a ordem de dois elementos deu agrupamento diferente. Portanto, é arranjo. Fórmula de contagem: A n,p = p No exemplo: A 3,2 = ou, pelo princípio fundamental da contagem : 1º algarismo 2º aalgarismo 3 possib. 2 possib. = 6 Ex 2: om as pessoas A,B e, quantos grupos de 2 pessoas podemos formar? Note que : grupo formado por AB = grupo formado por BA. Logo a ordem NÃO IMPORTA. É combinação. Fórmula : n,p = No exemplo : 6,2 = É importante notar, que na combinação não pode ser aplicado o princípio fundamental da contagerm 1ª pessoa 2ª pessoa 3 = 6 que não confere com a fórmula da n,p = 3 grupos. PERMUTAÇÃO SIMPLES :É um caso de arranjo simples quando n = p, isto é, A n, n = P n = Exercícios 1) alcule, usando a fórmula : A 10,4 ; 7,3 2) Quantos subconjuntos de 4 elementos possui um conjunto de 6 elementos? Resp : 15 3) Quantos números naturais e ímpares, de 4 algarismos distintos,podemos formar com os algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9??Resp :1680 4) Quantos números naturais de 3 algarismos distintos existem no nosso sistema de numeração? Resp 648 5) De quantos modos podemos separar 8 pessoas em dois grupos, sendo que um dos grupos tem 6 pessoas? Resp : 28 6) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 4 pessoas podem ser formadas, em que haja pelo menos um diretor? Resp : 65 7) alcule o número de anagramas da palavra SABUGO que possuem as letras S e A, juntas e nessa ordem? Resp : 120

6 8) onsidere a palavra EDITORA. Quantos anagramas possuem vogais e consoantes alternadas? Resp : 144 9) De quantas maneiras 5 pessoas podem se sentar em um sofá de 5 lugares, se duas delas não admitem ficar uma ao lado da outra? Resp : 72