RESOLUÇÃO DA 1 a AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA UNIDADE I

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1 RESOLUÇÃO DA 1 a AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA UNIDADE I PESQUISA: PROF. ADIANO CARIBÉ E PROF WALTER PORTO. PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA. Questão 01. (UNIT-2014) No triângulo ABC, Â = 80, Portanto o ângulo mede A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140 Ĉ 40 e BP é a bissetriz do ângulo Bˆ. RESPOSTA: Alternativva b. A partir da figura ao lado pode-se resolver de dois modos esta questão. 1) é ângulo externo ao triângulo ABD, logo, = = ) A soma dos ângulos internos do triângulo BDC é igual a = 180 = 110 BDˆ C Questão 02. mede Na figura abaixo, o raio da circunferência mede 15 cm, o arco BC mede 9 cm e o ângulo AÔC 2 3 A) 108 B) 117 C) 120 D) 132 E) 136 rad, sendo assim a medida y do ângulo AÔB é igual a: O comprimento da circunferência é: S = 2π.r = 2π.15cm = 30 π cm. A medida em graus do arco BC de comprimento 9 cm, pode ser determinada pela proporção: x x 12 x 2 rad 2 2 rad Transformando rad, medida do arco CA em graus: 3 2 rad 2 rad w 360 3w 1 1 w w Agora somando as medidas dos arcos AB, BC e CA: y = 360 y = 132. RESPOSTA: Alternativa d.

2 Questão 03. Sobre Geometria Plana considere as seguintes afirmativas: (I) Se na figura abaixo, as retas r e s são paralelas, então a medida x do ângulo assinalado é 35. FIGURA 1: Pelos pontos C e D traçam-se as retas t e u paralelas às retas r e s. FIGURA 2: Os ângulos B CI ˆ 50 ICˆ D 30 ABC ˆ e BCˆ I são colaterais internos, logo a sua soma é 180 e Os ângulos CDˆ L e DCˆ I são alternos internos, logo as suas medidas são iguais e C DL ˆ 30 e LDˆ E 70. Os ângulos LDˆ E e HÊF são correspondentes, logo as suas medidas são iguais e H ÊF 70. O ângulo H Ĝ F é externo ao triângulo EFG, logo 70 + x = 110 x = 40. Finalmente a afirmação: Se na figura abaixo, as retas r e s são paralelas, então a medida x do ângulo assinalado é 35 é falsa.

3 (II) Se na circunferência abaixo, de centro O, os ângulos BÂO e AÔC medem respectivamente 28 e 140, então a medida x do ângulo assinalado é 42. O ângulo AÔC é central, logo o arco AC mede 140. O ângulo ABˆ C é inscrito, logo sua medida é 140 /2 = 70. O ângulo AÔC é externo ao quadrilátero côncavo ABCO, então, y x = x = 140 x = 42. Concluindo: a afirmativa então a medida x do ângulo assinalado é 42 é verdadeira. (III) A medida do ângulo interno de um decágono regular é 144. A soma dos ângulos internos de um decágono regular é (10 2). 180 = Um ângulo interno de um decágono regular mede 1440 : 10 = 144. Assim a afirmativa III é verdadeira. Podemos afirmar que: a) apenas a afirmativa I é falsa. b) apenas a afirmativa II é falsa. c) apenas a afirmativa III é falsa. d) apenas uma afirmativa é verdadeira. e) todas as afirmativas são verdadeiras. Conclusão: Podemos afirmar que: apenas a afirmativa I é falsa. RESPOSTA: Alternativa a. Questão 04. Na figura, ABCD é um quadrado de lado 16, a circunferência de centro O é tangente ao lado BC e passa pelos pontos A e D. B A Calcule o raio da circunferência. C O D a) 8 b) 10 c) 12 d) 8 2 e) 4 5

4 Na figura ao lado, M e N são pontos médios, respectivamente, dos lados AD e BC do quadrado ABCD e R é a medida do raio da circunferência de centro O. Então o triângulo AMO é retângulo de lados medindo R, 16 R e 8. Aplicando o Teorema de Pitágoras: R² (16 R)² 8² R² R R² 64 32R R 320 R 10 RESPOSTA: Alternativa b. Questão 05. Dado um pentágono regular ABCDE, constrói-se uma circunferência pelos vértices B e E de tal forma que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência, em B e E, respectivamente. A medida do menor arco BE na circunferência construída é: a) 72. b) 108. c) 120. d) 135. e) 144. O ângulo BÔC é um ângulo central de medida x que determina o arco BE cuja medida também é x. Os ângulos do pentágono regular ABCDE medem S ai Os lados BC e ED deste pentágono são tangentes à circunferência de centro O, logo, são perpendiculares aos raios nos pontos de tangência B e E, respectivamente. Os ângulos do pentágono BCDEO medem 90, 108, 108, 90 e x, então: x = 540 x = 144 que a medida do arco BE é 144. PS.: Poder-se-ia também ter encontrado o valor de x, aplicando a propriedade que diz ser a medida do ângulo BÔE a soma das medidas dos ângulos internos do quadrilátero BAEO: = 144.

5 Questão 06. De um triângulo ABC, sabe-se que AB = 8 cm, AC = 7 cm e BÂC = 120º. A medida do lado BC, em centímetros, é : a) 9 b) 10 c) 11 d) 13 e) 14 Para determinar a medida do lado BC, aplique-se a Lei dos Cossenos: 1 x² cos120 x² x² x² 169 x 13 A medida do lado BC, em centímetros, é 13. RESPOSTA: Alternativa d. Questão 07. (UNIPÊ /2016.1/Consultec) O prédio de uma clínica tem o formato de um hexágono regular, no centro do qual há um jardim também nesse formato, como mostra a figura. Se cada parede exterior mede 50m e, cada parede interior, 20m, a distância d, entre elas, será de: a) 10 2m b) 15 2 m c) 20 2 m d) 10 e) 15 3m 3m VAB é um triângulo equilátero de lado 20m e VCD. Outro de lado medindo 50m. d =VF VE VF CD AB VE 2 d d 15 3m

6 Questão 08. Na figura a seguir, AB = 8 cm, BC = 10 cm, AD = 4 cm e o ponto O é o centro da circunferência. O perímetro do triângulo AOC mede, em cm: a) 36 b) 45 c) 48 d) 50 e) 54 Aplicando a propriedade da potência de um ponto: AD. AE AB. AC 4 4 2r r 144 8r r 128 r 16 Sendo r =16, AO = 20, CO = 16 e AC =18 o perímetro de AOC é 54. Questão 09. Calcule o raio do círculo inscrito num triangulo de lados 30cm, 30cm e 40cm. a) 4 5 cm b) 8 cm c) 3 5 cm d) No triângulo retângulo AHC: 3 5 cm e) NRA h² = 900 h² = 500 h =. Os triângulos retângulos AHC e ADO são semelhantes porque possuem o ângulo agudo  em comum. Portanto seus lados correspondentes são proporcionais AC HC r r 5r 20 5 r 4 AO DO h r r 10 5 r r 5. RESPOSTA: Alternativa a.

7 Questão 10. (BAHIANA ) Determinado produto é vendido em latas cilíndricas que, atadas três a três, por uma fita metálica, serão comercializadas em uma promoção do tipo leve três pague duas. Considerando-se a figura, vista de cima, um esboço da embalagem promocional e sabendo-se que o diâmetro de cada lata mede 14u.c., pode-se afirmar que o comprimento mínimo da fita utilizada é igual, em u.c., a a) 2 ( + 14) b) 7 ( + 4) c) 7 ( + 6) d) 14 ( + 2) e) 14 ( + 3) Figura 1: Ligando-se os centros dos três círculos determinou-se o triângulo equilátero OMN. Ligando-se os centros dos três círculos aos pontos de tangência A, B, C, D, E e F determinou-se três retângulos de lados 7 e 14. Figura 2: Determinando as medidas dos quatro ângulos formados em torno de cada vértice do triângulo equilátero, conclui-se que os arcos AF, BC e DE medem 120, logo o comprimento de cada um deles é a terça parte da circunferência, logo a soma destes três arcos equivale ao comprimento da circunferência que é 2.π.7 = 14π. Pode-se então afirmar que o comprimento mínimo da fita utilizada é igual: π = 14(3 + π). Questão 11. (ESPM) As placas de automóveis no Brasil são formadas por 3 letras do alfabeto completo (26 letras), seguidas por 4 algarismos do sistema decimal de numeração. A quantidade de placas em que as 3 letras e os 4 algarismos são consecutivos (por exemplo: ABC 0123, MNP 4567) é igual a: a)168 b) 216 c)184 d) 156 e) 244 As ternas formadas pelas 26 letras do alfabeto, nas quais as 3 letras são consecutivas, são: ABC, BCD, CDE,..., XYZ, ou seja 24 ternas As quadras formadas por 4 algarismos consecutivos são: 0123, 1234, 2345, 3456,..., 6789, ou seja 7 quadras Aplicando o princípio fundamental de contagem: a quantidade de placas em que as 3 letras e os 4 algarismos são consecutivos é igual a: = 168. RESPOSTA: Alternativa a.

8 Questão 12. Permutando as letras da palavra ANCHIETA, obtemos vários anagramas com exatamente 8 letras. Desses anagramas, quantos possuem as consoantes juntas? a) 720 b) 1440 c) 2160 d) 2880 e) Com as 4 consoantes pode-se forma 4! = 24 anagramas N C H T A I E A Considerando-se o grupo formado pelas 4 consoantes como uma única letra, o número de anagramas formados com as cinco letras acima sendo o A repetido duas vezes é: 5! ! 60 2! 2! Pelo princípio fundamental da multiplicação, dos anagramas formados, o número dos que possuem as consoantes juntas é: = RESPOSTA: Alternativa b. Questão 13. Aos sábados, professor Rodrigo realiza, rigorosamente, as quatro seguintes tarefas: levar seu cachorrinho Lion na petshop, ir no supermercado, buscar seu cachorrinho Lion na petshop e passar no salão de beleza, onde é freguês, para fazer seu relaxamento capilar. As atividades são realizadas não necessariamente nesta ordem. O número de maneiras diferentes desse querido professor ordenar essas 4 tarefas é a) 8. b) 10. c) 12. d) 14. e) 16. A quantidade total de ocorrências em qualquer ordem: 4! = = 24 Tem-se que atentar que a tarefa buscar seu cachorrinho Lion na petshop pode ocorrer depois da tarefa : levar seu cachorrinho Lion na petshop. Vejamos quantas possibilidades deste fato ocorrer um logo após o outro: Número de ocorrências TOTAL 6 Vejamos agora quantas possibilidades deste fato ocorrer com intervalo entre as duas ações: Número de ocorrências TOTAL 6 Então o número de maneiras diferentes desse querido professor ordenar essas 4 tarefas é = 12. RESPOSTA: Alternativa c.

9 SUGESTÃO DE RESOLUÇÃO DA QUESTÃO 13 FEITA PELO PROF. WALTER PORTO. De todas as 24 possibilidades, que teríamos se não houvesse restrição, exatamente metade delas atende à condição de que ele leva o cachorrinho e depois vai buscar. A proporção é exatamente 2:1, a cada sequência possível, tem uma outra que não faz sentido. O que nos leva ao resultado: o número de maneiras diferentes desse querido professor ordenar essas 4 tarefas é 24: 2 = 12. Questão 14. Em uma clínica, trabalham 8 médicos e 10 enfermeiros. Uma comissão formada por 4 médicos e 3 enfermeiros deve ser formada. Sabendo que existem 2 enfermeiros que, por razões de ordem pessoal, não podem fazer parte da mesma comissão, quantas comissões podem ser formadas? a) b) c) d) e) Sem levar em consideração de que existem 2 enfermeiros que, por razões de ordem pessoal, não podem fazer parte da mesma comissão, o número total de comissões a serem formadas é C 8,4 C10, ! 3! Calcule-se agora o número total de comissões em que os dois enfermeiros apareceriam juntos. Como para a formação das comissões de enfermeiros já existem dois enfermeiros fixos, resta escolher 1 entre os (10 2) = 8 enfermeiros restantes. Então 8 maneiras diferentes de escolha. Neste caso o número total de comissões formadas por 4 médicos e 3 enfermeiros seria 70 8 = 560. Finalmente levando em consideração a exigência para a formação das comissões diferentes, o número total de comissões que podem ser formadas é = Questão 15. ( n 10)! Em relação ao conjunto solução da equação 72, podemos afirmar que: ( n 8)! a) é um conjunto vazio b) possui apenas dois elementos, sendo ambos números negativos c) possui apenas dois elementos, sendo um número positivo e outro negativo. d) possui apenas um elemento, que é um número positivo. e) possui apenas um elemento, que é um número negativo. Observando que o domínio desta equação é dado pelo sistema n 10 0 n 10 D {n Z/n 8} Desenvolvendo a equação: n 8 0 n 8

10 n² 19n 18 0 n 9 n 8! ( n 10)! ( n 10) 72 ( n 8)! ( n 8)! n 18 n 1 Sendo 1 8,então o valor den é ( n 10) n 9 0 n 18 ou n n² 19n 90 72

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