PROVAS DA SEGUNDA ETAPA PS2007/UFG

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1 UFG-PS/7 PROVAS DA SEGUNDA ETAPA PS7/UFG Esta parte do relatório mostra o desempenho dos candidatos do grupo na prova de Matemática da ª etapa do PS7. Inicialmente, são apresentados os dados gerais dos candidatos do grupo. Em seguida, são apresentados dois gráficos sobre a prova: o primeiro mostra a distribuição do total de candidatos da ª fase em relação às notas obtidas em Matemática e o segundo contém as médias das notas alcançadas em cada questão da prova. A nota máxima em cada questão é,. Na seqüência, temos a questão, a resposta esperada (RE) e mais dois gráficos demonstrando o desempenho do total de candidatos do grupo e dos candidatos do curso que teve a maior nota de corte no grupo (Engenharia Civil) nesta questão. Estes gráficos serviram de base para as análises sobre a questão, que são apresentadas logo em seguida. Dados gerais - Candidatos do grupo PS7/UFG - Nº de candidatos ª etapa ª etapa Inscritos Presentes Classificados Presentes Aprovados Grupo Total Engenharia MATEMÁTICA G Distribuição das notas de Matemática G ps7 - ª etapa,,,,,8 Média por questão - Matemática G PS7/UFG - ª etapa,,6,7,,8, ,9 Figura : Distribuição das notas dos candidatos presentes do GRUPO Figura : Média dos candidatos presentes do GRUPO por questão QUESTÃO Segundo dados publicados na revista Istoé Dinheiro (/8/6), no ano de 6 deverão ser investidos no mundo 67 bilhões de dólares em mídia e serviços de marketing. Este valor representa um crescimento de 6,% em relação a. Com base nesses dados, calcule quanto foi investido no mundo, no ano de, em mídia e serviços de marketing. RE: De acordo com os dados, em 6, serão investidos 67 bilhões de dólares. Esse valor representa um acréscimo de 6,% em relação ao ano de. Denotando por x o total investido em, tem-se: 6, x + x = 67. Resolvendo essa equação, obtém-se: 67 x = 6, 7. 6, O total investido no período foi aproximadamente 6,7 bilhões de dólares. (,

2 UFG-PS/7 Matemática G - Questão Matemática - Questão - Engenharia Civil PS7/UFG - ª etapa 6 8 6,, Figura : Distribuição das notas da questão dos candidatos presentes Figura : Distribuição das notas dos candidatos presentes Engenharia Civil Nesta questão, foram abordados conhecimentos de conjuntos numéricos (porcentagem, razão e proporção). Foi exigida a habilidade de identificar as evidências do conhecimento matemático em situações do cotidiano. Tanto no grupo quanto no curso de Engenharia Civil, tivemos uma alta concentração das notas em zero ou,, dividindo os candidatos em apenas dois grupos. A resolução desta questão depende basicamente da interpretação dos dados apresentados, não exigindo conhecimentos mais complexos. Isso talvez explique a polarização dos candidatos em apenas dois grupos de notas. QUESTÃO Considere duas circunferências no plano cartesiano descritas pelas equações x + y = e ( x x ) + ( y y ) =. Determine o ponto P( x,y ) para que as duas circunferências sejam tangentes externas no ponto A(, ). RE: Com base no fato de que os centros e o ponto de tangência de duas circunferências tangentes são colineares, obtém-se que o centro P ( x, y x ) pertence à reta de equação y =. Desta forma, o centro P x, y ) deve satisfazer o seguinte sistema: ( x ) + ( y ) x = y = ( Resolvendo esse sistema, obtém-se as soluções y = ± e x = ±. Como P x, y ) é o centro da circunferência tangente externa, as coordenadas de P são ( +, +. (,

3 UFG-PS/7 Matemática G - Questão Matemática - Questão - Engenharia Civil PS7/UFG - ª etapa 6 8 6,,,, ,,,, Figura : Distribuição das notas da questão dos candidatos presentes Figura 6: Distribuição das notas dos candidatos presentes Engenharia Civil Nesta questão, foram abordados conhecimentos de geometria analítica. Foi exigida a habilidade de expressar, de forma clara, o raciocínio matemático. Os gráficos mostram uma alta concentração de notas mais baixas, tanto no grupo quanto no curso de Engenharia Civil, o que talvez se explique pela exigência de abstração no tipo de raciocínio matemático solicitado. QUESTÃO Um caminhão transportou, em duas viagens, toneladas de soja. Sabendo que, na primeira viagem, o caminhão, carregado, pesou toneladas e que, na segunda, o caminhão e a carga pesaram toneladas, calcule a quantidade de soja transportada na primeira viagem e o peso do caminhão vazio. RE: Denotando-se por x o peso do caminhão vazio, por y o peso da carga de soja na primeira viagem e por z o peso da carga na segunda viagem, de acordo com o enunciado, tem-se y + z = x + y =. x + z = Resolvendo esse sistema, obtêm-se os valores de x = e y =. Portanto, o peso do caminhão vazio é toneladas, e o peso da soja transportada na primeira viagem é toneladas. (, Matemática G - Questão,, Matemática - Questão - Engenharia Civil PS7/UFG - ª etapa,, 9 Figura 7: Distribuição das notas da questão dos candidatos presentes Figura 8: Distribuição das notas dos candidatos presentes Engenharia Civil Nesta questão, foram abordados conhecimentos de sistemas lineares. Foi exigida a habilidade de identificar as evidências do conhecimento matemático em situações do cotidiano. Nesta questão, temos uma alta concentração das notas, nos dois gráficos apresentados, o que possivelmente pode ser explicado pelo fato de a questão envolver a aplicação de conhecimentos muito abordados ao longo do processo de escolarização dos candidatos.

4 UFG-PS/7 QUESTÃO Para dar sustentação a um poste telefônico, utilizou-se um outro poste com 8 m de comprimento, fixado ao solo a m de distância do poste telefônico, inclinado sob um ângulo de 6º, conforme a figura abaixo. cabo 8 m 6 Considerando-se que foram utilizados m de cabo para ligar os dois postes, determine a altura do poste telefônico em relação ao solo. RE: Considerando-se DE = CB = y e BE = + x, como na figura abaixo, tem-se que: F B E y sen6 = y = 8sen6 y = 8 6 C x A D x e cos 6 = x = 8 cos 6 x = 8 Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo BEF, obtém-se que EF = BE = 8 = 6 EF = 6. y Assim, a altura do poste é igual a DF = EF + DE = 6 +, 9 m. (, , Matemática G - Questão,,, Matemática - Questão - Engenharia Civil PS7/UFG - ª etapa 9,,, Figura 9: Distribuição das notas da questão dos candidatos presentes Figura : Distribuição das notas dos candidatos presentes Engenharia Civil Nesta questão, foi abordado conhecimento de trigonometria. Foi exigida a habilidade de utilização da Matemática na resolução de problemas do cotidiano. O gráfico mostra uma alta

5 UFG-PS/7 concentração de notas baixas no grupo, mas mostra também um número significativo de notas máximas nesse mesmo grupo e uma distribuição melhor no curso de Engenharia Civil. A contextualização da questão pode ser fator que explique o bom desempenho dos candidatos. QUESTÃO A figura abaixo representa uma seqüência de cinco retângulos e um quadrado, todos de mesmo perímetro, sendo que a base e a altura do primeiro retângulo da esquerda medem cm e 9 cm, respectivamente. Da esquerda para a direita, as medidas das bases desses quadriláteros crescem, e as das alturas diminuem, formando progressões aritméticas de razões a e b, respectivamente. Calcule as razões dessas progressões aritméticas. 9 RE: As bases dos retângulos crescem segundo uma progressão aritmética tal que o primeiro termo é a = e, como o último quadrilátero é um quadrado de perímetro, segue que a = 6. Usando-se o termo geral de uma progressão aritmética, a = =,8. a = a + (6 ) a, obtém-se que 6 Considere agora as alturas. Elas decrescem segundo uma progressão aritmética tal que o primeiro termo é b = 9 e, como no caso das bases, b = 6. Como b 6 = b + (6 ) b, obtém-se b = =, 8. (, Matemática G - Questão Matemática - Questão - Engenharia Civil PS7/UFG - ª etapa ,,,,, ,, Figura : Distribuição das notas da questão dos candidatos presentes Figura : Distribuição das notas dos candidatos presentes Engenharia Civil Nesta questão, foi abordado conhecimento de seqüências numéricas. Foi exigida a habilidade de ler e analisar textos que suscitam interpretação matemática. Houve uma distribuição das notas em todos os diferentes níveis de acertos com concentração nas notas zero e cinco no grupo, e nota cinco no curso de Engenharia Civil. Possivelmente, esse desempenho dos candidatos se explique pelo fato de a questão abordar conhecimentos e habilidades bastante explorados no ensino médio. QUESTÃO 6

6 UFG-PS/7 Um supermercado vende pacotes de kg de uma determinada marca de arroz por semana. O preço de cada pacote é R$ 6,, e o lucro do supermercado, em cada pacote vendido, é de R$,. Se for dado um desconto de x reais no preço do pacote do arroz, o lucro por pacote terá uma redução de x reais, mas, em compensação, o supermercado aumentará sua venda em x pacotes por semana. Nestas condições, calcule: a) O lucro desse supermercado em uma semana, caso o desconto dado seja de R$,. RE: Para um desconto de R$,, o supermercado irá vender 8 pacotes com um lucro de R$, por pacote. Portanto, seu lucro será de R$ 8,. (, b) O preço do pacote do arroz para que o lucro do supermercado seja máximo, no período considerado. RE: Para um desconto de x reais, o lucro será dado por L = ( + x)( x). Considerando p o preço de cada pacote, então (p) é dado pela expressão: L = ( 7 p)( p ). p = 6 x. Portanto, o lucro em função do preço O lucro será máximo para p =, reais. (, Matemática G - Questão 6 Matemática - Questão 6 - Engenharia Civil PS7/UFG - ª etapa 8 6,, ,, Figura : Distribuição das notas da questão 6 dos candidatos presentes Figura : Distribuição das notas dos candidatos presentes Engenharia Civil Nesta questão, foram abordados conhecimentos de equações algébricas. Foi exigida a habilidade de identificar as evidências do conhecimento matemático em situações do cotidiano. A questão apresentou uma concentração de notas em zero e, no grupo, mantendo-se o mesmo desempenho no curso de Engenharia Civil. Isso talvez se explique pelo fato de a questão fugir das aplicações diretas de fórmulas específicas. É fundamental uma correta interpretação do problema e uma análise crítica das variáveis envolvidas para resolução da questão. QUESTÃO 7 A figura abaixo representa uma seringa no formato de um cilindro circular reto, cujo êmbolo tem mm de diâmetro. Esta seringa está completamente cheia de um medicamento e é usada para injetar doses de 6 ml desse medicamento. Com base nessas informações, determine quantos milímetros o êmbolo se desloca no interior da seringa ao ser injetada uma dose. Êmbolo RE: O volume do medicamento injetado corresponde ao volume de um cilindro cujo diâmetro da base é igual ao diâmetro do êmbolo da seringa e a altura corresponde ao seu deslocamento. Como 6 ml correspondem a 6 cm ou 6 mm, e o raio da base é igual a mm, tem-se: 6

7 UFG-PS/7 V = π R h = h = = mm π π 6 Obtém-se o valor aproximado h 9, mm, utilizando o valor aproximado para π de,,. (, Matemática G - Questão 7 Matemática - Questão 7 - Engenharia Civil PS7/UFG - ª etapa 8 6 8,,, ,,, 6 6 Figura : Distribuição das notas da questão 7 dos candidatos presentes Figura 6: Distribuição das notas dos candidatos presentes Engenharia Civil Nesta questão, foram abordados conhecimentos de geometria plana e espacial. Foi exigida a habilidade de utilizar a Matemática na resolução de problemas do cotidiano. O gráfico mostra uma alta concentração de zeros no grupo, porém no grupo de Engenharia Civil é boa a distribuição das notas. Isso pode ser explicado, em parte, pelo de a questão exigir dos candidatos a aplicação de conhecimentos de geometria espacial abstrata em uma situação concreta. QUESTÃO 8 A figura abaixo mostra uma circunferência de raio r = cm, inscrita num triângulo retângulo, cuja hipotenusa mede 8 cm. A C B a) Calcule o comprimento da circunferência que circunscreve o triângulo ABC. RE: O raio da circunferência que circunscreve o triângulo ABC é a metade da hipotenusa. Logo R = 9 cm. Desta forma, o comprimento da circunferência é 8π cm. (, b) Calcule o perímetro do triângulo ABC. RE: Observando a figura abaixo A D E C O G obtém-se as seguintes relações: AE = AC e BG = BC. B 7

8 UFG-PS/7 O triângulo AEO é congruente ao triângulo ADO e o triângulo BGO é congruente ao triângulo BOD. Usando-se estes fatos, obtém-se que AD = AC e BD = BC Desta forma, 8 = BD + AD = AC + BC 6 AC + BC =. Como AB = 8, o perímetro do triângulo ABC é igual a cm. (, , Matemática G - Questão 8,,,, Matemática - Questão 8 - Engenharia Civil PS7/UFG - ª etapa 78 89,,,,, 9 7 Figura 7: Distribuição das notas da questão 8 dos candidatos presentes Figura 8: Distribuição das notas dos candidatos presentes Engenharia Civil Nesta questão, foram abordados conhecimentos de geometria plana. Foi exigida a habilidade de expressar, de forma clara, o raciocínio matemático. Houve uma alta concentração de notas baixas (entre zero e,) tanto no grupo quanto no curso Engenharia Civil. A resolução da questão envolve a síntese de vários conhecimentos de geometria plana, de congruência de triângulos e as resoluções métricas entre triângulos e circunferências. Isso pode ser uma das razões do baixo desempenho dos candidatos em geral. 8