Polígonos Regulares. 1. (G1 - cftrj 2014) Na figura abaixo, ABCE é um retângulo e CDE é um triângulo equilátero.

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1 Polígonos Regulares 1. (G1 - cftrj 2014) Na figura abaixo, ABCE é um retângulo e CDE é um triângulo equilátero. Sabendo que o perímetro do polígono ABCDE é 456 cm e CD mede 68 cm, qual é a medida do lado BC? a) 118 cm b) 126 cm c) 130 cm d) 142 cm 2. (Uece 2014) Se, em um polígono convexo, o número de lados n é um terço do número de diagonais, então o valor de n é a) 9. b) 11. c) 13. d) (G1 - ifsp 2013) Uma pessoa pegou um mapa rasgado em que constava um terreno delimitado por quatro ruas. Na parte visível do mapa, vê-se que o ângulo formado pela rua Saturno e pela rua Júpiter é 90 ; o ângulo formado pela rua Júpiter e pela rua Netuno é 110 e o ângulo formado pela rua Netuno e pela rua Marte é 100. Nessas condições, a medida de um ângulo formado pelas ruas Marte e Saturno, na parte rasgada do mapa, é de a) 50. b) 60. c) 70. d) 80. e) Página 1 de 8

2 4. (G1 - cftrj 2013) Manuela desenha os seis vértices de um hexágono regular (figura abaixo) e une alguns dos seis pontos com segmentos de reta para obter uma figura geométrica. Essa figura não é seguramente um a) retângulo b) trapézio c) quadrado d) triângulo equilátero 5. (Espm 2013) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, BDE é um triângulo equilátero e BDF é um triângulo isósceles, onde AF = AB. A medida do ângulo α é: a) 120 b) 135 c) 127,5 d) 122,5 e) 110,5 6. (G1 - ifce 2012) A respeito das diagonais de um hexágono regular de lado medindo 1 cm, é correto afirmar-se que a) são nove, de três comprimentos diferentes, e as menores medem 3 cm. b) são nove, de dois comprimentos diferentes, e as maiores medem 3 cm. c) são nove, de dois comprimentos diferentes, e as menores medem 3 cm. d) são doze, de três comprimentos diferentes, e as maiores medem 3 cm. e) são doze, de dois comprimentos diferentes, e as menores medem 3 cm. 7. (Uepg 2011) Três polígonos regulares A, B, e C, têm números de lados, respectivamente, a, b, c, onde a > b > c. Sabendo-se que a, b e c estão em progressão aritmética de razão 2 e que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é 3.240, assinale o que for correto. 01) O polígono A tem 35 diagonais. 02) O número de diagonais do polígono C é maior que ) A soma dos ângulos internos do polígono C é 720º. 08) Cada ângulo externo do polígono A mede 36º. 16) Cada ângulo interno do polígono B mede 135º. Página 2 de 8

3 8. (Uft 2011) Um polígono convexo de 6 lados tem as medidas de seus ângulos internos formando uma progressão aritmética de razão igual a 6º. Logo, podemos afirmar que o seu menor ângulo mede: a) 90º b) 105º c) 115º d) 118º e) 120º 9. (G1 - cftmg 2011) No loteamento Recanto Verde, um professor comprou uma chácara, cujo terreno tem forma retangular e dimensões 40m 90m. Ele pretende cercar essa área com estacas de cimento distanciadas de 2,5muma da outra. O número de estacas necessário para cercar todo esse terreno é a) 102 b) 103 c) 104 d) (G1 - utfpr 2010) A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º. A soma das medidas dos ângulos internos de um hexágono é: a) 180º b) 360º c) 540º d) 720º e) 900º 11. (Unifesp 2008) A soma de n - 1 ângulos internos de um polígono convexo de n lados é O ângulo remanescente mede a) 120. b) 105. c) 95. d) 80. e) (G1 - cftce 2007) Se a razão entre o número de diagonais d e de lados n, com n > 3, de um polígono, é um número inteiro positivo, então o número de lados do polígono: a) é sempre par b) é sempre ímpar c) é sempre múltiplo de 3 d) não existe e) é sempre primo Página 3 de 8

4 13. (Ufsc 2006) Considere um hexágono equiângulo (ângulos internos iguais) no qual quatro lados consecutivos medem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm, conforme figura a seguir. Calcule o perímetro do hexágono. 14. (Ita 2005) Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos internos de todas as faces é O número de vértices deste prisma é igual a a) 11. b) 32. c) 10. d) 20. e) (Pucrj 2005) Os ângulos internos de um quadrilátero medem 3x - 45, 2x + 10, 2x + 15 e x + 20 graus. O menor ângulo mede: a) 90 b) 65 c) 45 d) 105 e) 80 Página 4 de 8

5 Gabarito: Resposta da questão 1: AB = ED = CD = 68 e AE = BC = x Logo, 2x = 252 2x = 252 x = 126, ou seja, BC = 126 cm. Resposta da questão 2: [A] Admitindo que n seja o número de lados de um polígono e de o número de diagonais, temos: 1 n (n 3) 2 2 n d d 3 n 3n n 3 n 6n n 9 n n 0 (não convém) ou n 9. Logo, o valor de n é 9. Resposta da questão 3: No quadrilátero formado pelas ruas, temos: x = 360 x = x = 60 Página 5 de 8

6 Resposta da questão 4: [C] Não será possível construir um quadrado. Resposta da questão 5: [C] Seja G o ponto de encontro das diagonais do quadrado ABCD. Como o triângulo BDE é equilátero, segue que DBE 60. Além disso, dado que AF AB e GAB 45, vem Portanto, α ABF ABD DBE 22, ,5. Resposta da questão 6: [C] GAB ABF AFB 22,5. 2 Número de diagonais: d = 6.(6 3) 9. 2 Medida das diagonais maiores: = 2 cm. Medida das diagonais menores: x. Na figura: x = 2 2 x = 3 são nove, de dois comprimentos diferentes, e as menores medem 3 cm. Página 6 de 8

7 i i Resposta da questão 7: = 29. Cálculos Auxiliares É dado que a > b > c e a, b e c estão em PA de razão 2. Logo: Soma dos ângulos int ernos Si 180º(n 2) Portanto: 180º(a 2) 180º(b 2) 180º(c 2) 3240 a b c 24 a c 24 b Temos: b a 2 c b 2 a c 24 b Logo : b a c b 2b a c 2b 24 b b 8 Por tanto : a 10 b 8 c 6 Item (01) Verdadeiro a(a 3) 10(10 3) D Item (02) Falso c(c 3) 6(6 3) D Item (04) Verdadeiro S 180º(c 2) S 180º(6 2) 720º Item (08) Verdadeiro Sext 360º 36º Item (16) Verdadeiro S 180º(b 2) S 180º(8 2) 1080º i Por tanto : 1080º 1 ângulo int erno 135º 8 Resposta da questão 8: i Soma dos ângulos internos de um hexágono: S = (6 2). 180 = 720 x + x +6 + x x x x + 30 = 720 6x + 90 = 720 6x = 630 x = Página 7 de 8

8 Resposta da questão 9: [C] Número de estacas = ,5 Representação gráfica da solução: Resposta da questão 10: [D] O hexágono poderá ser dividido em quatro triângulos, utilizando as diagonais de um mesmo vértice. Logo, a soma de seus ângulos internos será: S = o = 720 o Resposta da questão 11: [D] Resposta da questão 12: Resposta da questão 13: 99 cm Resposta da questão 14: [E] Resposta da questão 15: Página 8 de 8

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