EXERCÍCIOS DE REVISÃO MATEMÁTICA II CONTEÚDO: Relações Métricas nos Triãngulos 3 a SÉRIE ENSINO MÉDIO

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1 EXERCÍCIOS DE REVISÃO MATEMÁTICA II CONTEÚDO: Relações Métricas nos Triãngulos 3 a SÉRIE ENSINO MÉDIO ======================================================================= 1) (FUVEST-SP) - Dados: MÔB = OÂB, AO = 3, OB = 2 e AB = 4. Calcule a medida MB. 2) (FUVEST-SP) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A, ADEF é um quadrado, AB = 2 e AC = 3. Quanto mede o lado do quadrado? 3) (CESGRANRIO-RJ) O losango ADEF está inscrito no triângulo ABC, como mostra a figura. Se AB = 12 cm, BC = 8 cm e AC = 6 cm, quanto mede o lado do losango? 4) (FATEC-SP)- Num trapézio isósceles ABCD as bases são dadas, respectivamente, por AD = 2 cm e BC = 5 cm. Em tal trapézio, traça-se o segmento MN paralelo à base AD e tal que AM= 3 1 AB. Calcule o comprimento MN.

2 5) (ITA-SP) Considere o triângulo ABC, onde o segmento AD é mediana relativa ao lado BC. Por um ponto arbitrário M do segmento BD, tracemos o segmento MP paralelo ao segmento AD, onde P é o ponto de interseção desta paralela com o prolongamento do lado AC (veja figura a seguir). Se N é o ponto de interseção do lado AB com o segmento MP, calcule a soma MN + MP. 6) (MACKENZIE-SP) O triângulo ABC da figura é equilátero. AM = MB = 5 e CD = 6. Calcule a medida AE. 7) (PUC-SP) Na figura, as retas AB e CD são paralelas. AB = 136, CE = 75 e CD = 50. Quanto mede o segmento AE? 8) (FUVEST- SP) A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre um chão plano, mede 12 m. Nesse mesmo instante, a sombra de um bastão vertical de 1 m de altura mede 0,6 m. Qual é a altura do poste? 9) (UFRS) Num trapézio, cujos lados paralelos medem 4 e 6, as diagonais interceptam-se de tal modo que os menores segmentos determinados em cada uma delas medem 2 e 3. Qual é a medida da menor diagonal? 10) (UFSE) Na figura a seguir, são dados AC = 8 cm e CD = 4 cm. Calcule a medida BD.

3 11) (UFMG) Num círculo, a corda CD é perpendicular ao diâmetro AM no ponto E. Se (AE).(EB) = 3, qual é a medida do segmento CD? 12) (UFMG) Dois círculos de raios 6 cm e 4 cm têm seus centros na altura relativa à base do triângulo isósceles da figura e são tangentes exteriormente. Calcule a altura relativa à base do triângulo. 13) (UFMG) Na figura, o triângulo ABC é isósceles, BC é a base e BE, altura relativa ao lado AC. Se AC = 3 cm e CE = 1 cm, calcule, em centímetros, a medida BC. 14) (UFMG) O triângulo ABC da figura é equilátero, AD = DE = EF = FB e os segmentos DG, EH, FI e BC são paralelos. Se DG + EH + FI = 18, calcule o perímetro do triângulo ABC. 15) (PUC-MG) Um prédio projeta uma sombra de 6 m no mesmo instante em que uma baliza de 1 m projeta uma sombra de 40 cm. Se cada andar desse prédio tem 3 m de altura, calcule o número de andares.

4 16) (MACKENZIE-SP) Num triângulo, a base mede 60 cm, a altura e a mediana em relação a essa base medem, respectivamente, 12 cm e 13 cm. Calcule as medidas dos outros dois lados do triângulo. 17) (CESGRANRIO-RJ) No retângulo ABCD de lados AB = 4 e BC = 3, o segmento DM é perpendicular à diagonal AC. Quanto mede o segmento AM? 18) (U.F. Uberlândia) Num triângulo ABC, o ângulo de vértice A é reto. A altura h A divide a hipotenusa a em dois segmentos m e n (m > n). Sabendo-se que o cateto b é o dobro do cateto c, calcule a razão entre m e n. 19) (UFGO) O perímetro de um triângulo isósceles de 3 cm de altura é 18 cm. Calcule as medidas dos lados do triângulo. 20) (UECE) Num retângulo, a diagonal mede 25 cm. A diferença entre a base do retângulo e sua altura é de 5 cm. Calcule o perímetro do retângulo. 21) (UCMG) Num triângulo retângulo de catetos medindo 1 cm e 3 cm, qual é a medida da altura relativa à hipotenusa? 22) (UCMG) A diagonal de um retângulo mede 10 cm e os lados formam uma proporção com os números 3 e 4. Calcule o perímetro do retângulo. 23)(UFRS) Na figura, ABC é um triângulo retângulo, os segmentos AP e CB são perpendiculares, CP = 1,8 e PB = 3,2. Calcule o perímetro do triângulo ABC. 24) (PUC SP) A soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é igual a 3. Quanto mede a hipotenusa do triângulo? 25) (U. E. Londrina-PR) Em um triângulo retângulo ABC, as medidas das projeções dos catetos AB e BC sobre a hipotenusa são, respectivamente, m e n. Se a razão entre AB e BC, nessa ordem, é igual a 0,5, qual é a razão entre m e n?

5 26) (UFSE) Se nos triângulos retângulos representados na figura, tem-se AB = 1, BC = 2 e AD = 3, qual é a medida do segmento CD? 27) (UFPA) Num triângulo retângulo, um cateto é o dobro do outro e a hipotenusa mede 10 m. Qual é a soma das medidas dos catetos? 28) (FATEC SP) Na figura, ABCD é um retângulo. Qual é a medida do segmento EF? 29) (CESGRANRIO RJ) No quadrado ABCD da figura, tem-se AB = 4, AH = CI = 1 e AG = = 2. Quanto mede HI? 30) (UFMG) Se as medidas, em metros, das diagonais de um losango são a e b, qual é a medida, em metros, do raio do círculo inscrito nesse losango? 31) Um avião levanta voo em linha reta, segundo um ângulo de 30 o com a pista horizontal. Se ele voa a uma velocidade constante de 120 km/h em linha reta, durante 5 horas, a que altura estará, em relação à direção horizontal da pista, quando completar 5 horas de voo? 32) Um triângulo ABC é isósceles com AB =AC, BC = 8 cm e BÂC = 120 o. Calcule o perímetro do triângulo e sua altura relativa ao lado BC.

6 33) Num retângulo, a diagonal forma com o maior lado um ângulo de 30 o. Se o perímetro do retângulo é de 78 dm, qual é a sua área? 34) Num losango, dois lados consecutivos formam um ângulo reto. Se a diagonal mede 4 2 cm, qual é o perímetro do losango? 35) Qual é a altura relativa ao maior lado de um paralelogramo em que o menor lado mede 10 cm e o menor ângulo formado por dois lados consecutivos mede 60 o? 36) Num quadrado, a soma das medidas do lado e da diagonal é 3(2 + 2 ) cm. Qual é a área do quadrado? 37) A projeção de um segmento sobre uma reta r é de 3,83 cm. Calcule a medida do segmento, sabendo que a sua reta suporte forma com a reta r um ângulo de 40 o. (dado: cos 40 o = 0,766) 38) Determine o ângulo sob o qual é vista uma torre de 18 m de altura, sabendo que a distância do observador ao ponto mais alto da torre é 36 m. 39) Calcule a área do triângulo AOE, dados AO = 30 m, OE = 16 m e AÔE = 60 o. 40) Do Polo Sul, um astrônomo observa que a Lua está colocada sob um ângulo de 89 o em relação ao diâmetro da Terra. No mesmo instante, do Polo Norte, outro astrônomo faz a mesma observação, obtendo um ângulo de mesmo valor. Se o diâmetro da Terra é de km, calcule a distância da Terra à Lua. (A distância pedida é entre os seus centros. Dado: tg 89 o = 57,2) 41) Um observador vê o topo de um prédio, construído em terreno plano, sob um ângulo de 60 o. Afastando-se mais 30 m do prédio, o observador passa a ver o topo sob um ângulo de 45 o. Qual é a altura do prédio? 42) (E.E. Mauá SP) Para obter a altura H de uma chaminé, com um aparelho especial, um engenheiro estabeleceu a horizontal AB e mediu os ângulos α e β, tendo, a seguir, medido BC = h. Determinar a altura da chaminé. 43) (MACKENZIE- SP) Na figura, calcule a medida AB.

7 44) (PUC SP) Os ângulos internos de um triângulo medem x, 2x e 3x. Se o menor dos lados mede 5, quanto mede o maior lado? 45) (CESGRANRIO RJ) Para traçar uma circunferência de 40π cm de comprimento, usa-se um compasso com pernas de 20 cm cada. Qual deve ser o ângulo de abertura das pernas do compasso? 46) (ITA SP) Num triângulo isósceles, o perímetro mede 64 m e os ângulos adjacentes são 7 iguais ao arc cos. Calcule a área do triângulo ) (PUC SP) Dois lados de um triângulo medem 6 m e 10 m e formam entre si um ângulo de 120 o. Quanto mede o terceiro lado? π π 48) (UFRS) Na figura, α = rad, β = rad e AC = Calcule a distância BC ) (CESGRANRIO RJ) Em um triângulo ABC, AB = 3, BC = 4 e o ângulo de vértice B mede 60 o. Quanto mede o lado AC? 50) (PUC RS) Qual é o valor de x no triângulo abaixo? 51) (UEBA) Um triângulo ABC é tal que AB = AC = 4. Se Â = 120 o, quanto mede o lado BC? 52) (UFRS) A figura representa a trajetória de um helicóptero que percorreu 12 km na direção AB, 14 km na direção BC, paralelamente ao solo, ficando distante 20 km de A. Qual é o cosseno da inclinação α?

8 53) (FUVEST SP) Na figura, o triângulo ABC é equilátero de lado 4, AM = MC = 2, AP =3 e PB = 1. Calcule o perímetro do triângulo APM. ******************************************************************************** ******************************************************************************** Exercícios Complementares: 1) (UFRS) O lampião mostrado na figura está suspenso por duas cordas perpendiculares presas ao teto. Sabendo que essas cordas medem 2 1 e 5 6, qual é a distância do lampião ao teto? (Resp : 13 6 )

9 2) (UFMG) Na figura, E é o ponto médio do lado AB no paralelogramo ABCD. Calcule a medida AM, sabendo que a diagonal AC mede 6 cm. (Resp: 2 cm) 3) (UEBA) Na figura abaixo são dados AE 1 = EC 3, BE = 8 cm e ED = 6 cm. Calcule o comprimento do segmento AC. (Resp: 16 cm) 4) (U.C. Salvador - BA) Na situação do mapa abaixo, deseja-se construir uma estrada que ligue a cidade A à estrada BC, com o menor comprimento possível. Quantos quilômetros medirá essa estrada? (Resp: 24 km) 5) (UFMG) - Nos triângulos isósceles T 1 e T 2, as bases medem, respectivamente, 30 cm e 40 cm, e os demais lados medem 25 cm. Sejam A 1 a área do triângulo T 1 e A 2 a área do triângulo T 2. Determine A 1 em função de A 2. (Resp: A 1 = A 2 ) 6) (UFMG) - Na figura seguinte, o quadrado ABCD está inscrito no triângulo AMN, cujos lados AM e NA medem, respectivamente m e n. Calcule a medida do lado do quadrado.

10 mn (Resp: m + n ) 7) ( UFMG) - Nesta figura, os ângulos ABC, CDE e EAB são retos e os segmentos AD, CD e BC medem, respectivamente, x, y e z. Nessa situação, determine a altura do triângulo ADE em relação ao lado AE. 2 x z y (Resp: ) z 8) (UFMG) Observe a figura a seguir. Nessa figura, os segmentos AB e BC são perpendiculares, respectivamente, às retas r e s. Além disso, AP = PB, BQ = QC e a medida do ângulo PÔQ é θ. Calcule a medida do ângulo AÔC, interno do quadrilátero AOCB. 2 (Resp: 2θ)

11 9) (UFMG) - Esta figura representa o quadrilátero ABCD: Sabe-se que AB = 1 cm e AD = 2 cm, o ângulo ABC mede 120 o e o segmento CD é perpendicular aos segmentos AD e BC. Então, calcule o comprimento do segmento BD. (Resp: 3 cm) 10) (UFMG) Uma folha de papel quadrada ABCD, que mede 12 cm de lado, é dobrada na reta r, como mostrado na figura: Feita essa dobra, o ponto D sobrepõe-se ao ponto N e o ponto A, ao ponto médio M, do lado BC. Calcule a medida do segmento CE. (Resp: 8 cm) 11) (CEFET-MG) -Na figura seguinte, o triângulo ABC é equilátero. Sabendo-se que AM = MB = CD = = 6 e FB paralelo a AC, determine o valor de FB. (Resp: 9 )

12 12) (CEFET MG) - Um menino mantém uma pipa presa a um fio esticado de 90 m de comprimento, que vai perdendo altura, até que fica preso no alto de um poste de 10 m, formando com a horizontal um ângulo de 300. A pipa atinge o solo ficando com a linha esticada, conforme a figura. Desprezando-se a altura da criança, calcule a distância final entre ela e a pipa, em metros. (Resp: 50 3 m) 13) (CEFET MG) - No triângulo ABC, um segmento MN, paralelo a BC, divide o triângulo em AM duas regiões de mesma área, conforme representado na figura. Calcule a razão. AB 2 (Resp: ) 2 14) (CEFET MG) - Na figura, os segmentos AB e DE são paralelos. Se BC = 2, CD = 6 e a área do triângulo ABC é n, então, calcule a área do triângulo CDE. (Resp : 4n) 15) (CEFET MG) - Refere-se ao trecho de duas ruas paralelas, onde João e Pedro decidem apostar uma corrida, desenvolvendo a mesma velocidade. As dimensões, na figura, estão representadas em metros. João partirá do ponto médio M do quarteirão AB, fazendo o trajeto MBCDP, enquanto Pedro percorrerá MADCP.

13 Nessas condições, descreva como será o resultado final dessa corrida. (Resp : Pedro ganha com 120 m de vantagem) 16) (CEFET MG) - Na figura, os ângulos ABC (de vértice C) e CQP (de vértice Q) são retos, BP = 4x, PC = 5x e AB = 12x. Nessas condições, calcule a área do quadrilátero ABPQ. (Resp : 48x 2 ) 17) (CEFET MG) - No triângulo ABC, BC = a, AH = h, AC = b e o ângulo ABC (de vértice B) mede 45º. Para a + h = 4, qual é o valor mínimo de b 2? 16 (Resp : ) 5 18) (CEFET MG) - ABCD é um trapézio isósceles com lados paralelos AB e CD, medindo, respectivamente, 42 cm e 30 cm, e lados não paralelos, BC e AD, medindo 10 cm. Sabendo-se que as diagonais AC e BD se cruzam em um ponto P, calcule a área do triângulo ABP em centímetros quadrados. (Resp : 98 cm 2 )