Matemática e suas Tecnologias

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1 Matemática A. d As distâncias nadadas formam uma progressão aritmética. a 5 m a5 m a5 a+ 4 r r r m a a+ 9 r a a m. c Sejam r, e + r as medidas dos ângulos internos do triângulo. Como a soma dessas medidas é 8, temos: r+ + + r 8 8 Portanto, um dos ângulos mede.. a As quantidades de livros em cada prateleira formam uma progressão aritmética de razão. a a a 5 a + ( ) + 9 S a+ a ( + + 9) 4 + ou Como não faz sentido, o número total de prateleiras usadas é. 4. b As quantidades de trapézios em cada etapa formam a seguinte sequência: (,,,, ) Note que as diferenças entre dois termos consecutivos dessa sequência formam uma progressão aritmética. a a a a a4 a a5 a4 4 a5 4 a5 a a 5 a 5 a e r 5 5 reais a a+ 9 r a reais Matemática e suas Tecnologias Resoluções ENEM. b Seja a população em 8 e r a razão da progressão aritmética. 8: a 9: a + r : a + r : a4 + r : a5 + 4r : a + 5r 4: a + r 7 Como em 4 o número de habitantes dessa cidade era 5% maior do que no ano anterior, temos: + r 5, ( + 5r) + r 5, + 55, r 5,, 75r 5r 8: a 5r 4: a 5r+ r r 7 a7 r 4, a 5r De 8 a 4 a população dessa cidade aumentou em 4%. 7. e Os números que são simultaneamente múltiplos de e de 7 são múltiplos de. Os múltiplos de de a 5 formam uma progressão aritmética. (, 4,,..., 48) a an 48 r an a+ ( n ) r 48 + ( n ) n 8. b Sejam r, e + r os valores dos três resistores. Em série: r+ + + r 5 5 5Ω Em paralelo: r r 4 5 r r 4 5+ r+ 5 r 5 r 5+ r ( ) ( ) r 4 5 r r 9 r Ωour Ω 5 r 8 Assim, as resistências são Ω, 5 Ω e 8 Ω. Multiplicando os números que correspondem aos valores dos resistores, obtemos Etensivo Terceirão Matemática e suas Tecnologias ENEM

2 9. e Os prêmios formam uma progressão aritmética de razão 5 reais. ( 5,, 5,..., a5) a5 a+ 4 r a S 5 5 S 5 a+ a O prêmio total foi de R$ 75, e cada um recebeu R$ 75,. Como o prêmio aumenta em cada partida, a maior diferença possível entre as vitórias e as derrotas ocorre se um deles vencer todas as primeiras partidas e o outro vencer todas as 5 últimas. a 5 a a + ( ) r 5+ ( ) 5 5+ S 75 a+ a 7 5 ( ) ou 5 Como não faz sentido 5, então. Portanto, a maior diferença possível entre as vitórias e as derrotas ocorre se um deles vencer e perder 5. A diferença é 5.. b a a5 + r, 8, + r r, 8 ms / a5 a+ 4 r 8, a + 4 ( 8, ) a 9, m/ s a a + ( n ) r n 9, + ( n )(, 8) n 4 n 5 ( tempo de frenagem) Como a velocidade varia linearmente, a velocidade média é a média aritmética entre a velocidade inicial e a velocidade final. Como v 9, m/ s+, 8m/ s m/ s, temos: + vmédia m/s v s média t s s 5 m 5 Matemática B. a O número de escolhas para o grupo A é igual a C, 4, pois os times são escolhidos para o mesmo grupo, de modo que a ordem na escolha dos times não é revelante. O número de escolhas para os dois times que fariam o jogo de abertura é igual a A 4,, pois a ordem é relevante, uma vez que um time é mandante, e outro, visitante.. c A quantidade máima possível de vencedores nessa rodada é igual à quantidade de modos de se escolher números distintos dentre 5 dados, ou seja, C5,.. e Eistem P 4 4! 4 números iniciados com o algarismo. Eistem P 4 4! 4 números iniciados com o algarismo. Eistem P 4 4! 4 números iniciados com o algarismo 5. Eistem P! números iniciados com 7. Eistem P! números iniciados com 7. Eistem P! números iniciados com 75. Eistem P! números iniciados com 75. Em seguida, em ordem crescente, vem o número 759. Desta forma, a ordem de chamada do número 759 é igual a: a O número de maneiras de escolher os 7 lugares para as pessoas, entre os 9 disponíveis, é: 7 9! C 9 7!! Para cada maneira da escolha dos lugares, podem-se permutar as 7 pessoas da família. Assim, o total de formas de acomodar essa família é igual a: 9! 9! 7! 7!!! 5. a Arthur jogou em 5 cartelas com números escolhidos: Número de jogos: 5 C 5 5 Bruno apostou em 4 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com números escolhidos: Número de jogos: 4 C + 4 C Caio jogou em cartelas com 8 números escolhidos e cartelas com números escolhidos: Número de jogos: C + C Douglas apostou em 4 cartelas com 9 números escolhidos: Número de jogos: 4 C Eduardo jogou em cartelas com números escolhidos: Número de jogos: C 4 Portanto, os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são Eduardo e Caio.. b Fiada a cidade A como ponto inicial e final no trajeto, a sequência de visitação das outras 5 cidades pode ser ordenada de P 5 5! modos. Como cada trajeto apresenta um correspondente e único trajeto simétrico, pode-se dividir por a quantidade total e obter trajetos. Se cada trajeto é analisado em,5 min, então, para analisar os trajetos, são necessários.,5 9 minutos. 7. c Para escolher menino e menina eistem C 4, C 4, 4 4 modos. Para escolher meninos e meninas eistem C 4, C 4, modos. Para escolher meninos e meninas eistem C 4, C 4, 4 4 modos. Para escolher 4 meninos e 4 meninas eistem C 4, 4 C 4, 4 modo. Logo, o maior valor de n é igual a Etensivo Terceirão Matemática e suas Tecnologias ENEM

3 ENEM 8. a Para escolher as pessoas da primeira dupla entre as 4 possíveis, eistem C 4, modos. Para escolher a última dupla, eistem C, modo. Pelo princípio fundamental da contagem, eistem modos de escolher as duas duplas. Entretanto, é necessário apenas separar as 4 pessoas em duas duplas, sem, necessariamente, atribuir- -se alguma diferenciação a cada uma delas. No cálculo anterior, considerou-se a ordem das duplas. Para desordenar o agrupamento, deve- -se dividir por!. Logo, o número de grupos com duas duplas é igual a: C 4 C.! Matemática C. d A distância percorrida pela formiguinha corresponde a 5 vezes a medida dos lados dos quadrados. 5.,5 cm,5 cm. d N M T N A figura representada pela matriz N é: y. e Para que a torre seja equidistante das antenas A e B, deve estar localizada na mediatriz do segmento AB. Portanto, a abscissa do ponto P + 7 que representa a posição da torre é igual a 5. Observe na figura, que o ponto (5, ) é equidistante dos pontos A, B e C. d + d 5 d 5 km y(km) 9. d A final (jogo 5) deve ser realizada em um único dia. Os jogos e 4 serão realizados em outro dia. É necessário mais um dia para os jogos 9,, e. São necessários mais dias para os jogos de a 8. Logo, o número mínimo de jogos, nas condições apresentadas, é igual a 5.. c A ạ engrenagem da coroa pode se ligar de modos às engrenagens do pinhão ( ạ ou ạ ). A ạ engrenagem da coroa pode se ligar de modos às engrenagens do pinhão ( ạ a ạ ). A ạ engrenagem da coroa pode se ligar de modos às engrenagens do pinhão ( ạ a ạ ). Logo, o número máimo de marchas distintas, que podem ser utilizadas para movimentar a bicicleta, é igual a e Na figura, o trajeto corresponde a cm. Durante 5 dias os trajetos de ida e volta correspondem a cm.. 5 cm. Como a figura está na escala de :5, esse aluno percorreu. 5 4 cm 4 km na fase de implantação do programa. 5. a A tabela a seguir mostra as posições durante o percurso. Posição inicial Deslocamento Posição final X (; ),8 L (,8; ) (,8; ),5 N (,8;,5) (,8;,5), O (,;,5) (,;,5), S (,;,4) (,;,4),4 N (,;,8) (,;,8), L Y(,9;,8) Observe que o ponto Y em que o helicóptero pousou corresponde a um local cuja altitude é menor ou igual a m A d P d C d B. c O caminho será ássando pelos pontos K, L, G, I, J, H, e F, nesta ordem, conforme indicado na figura a seguir. L G I F H A (km) Portanto, o local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas P(5, ). K J Etensivo Terceirão Matemática e suas Tecnologias ENEM

4 7. d O menor percurso de X até Y corresponde a 5 quadras de metros, como mostra a figura a seguir: X O tempo t gasto nesse percurso é tal que: h 4 km min 4 km t 5 m t km 4 t 5, min t 8. a Como é o horário de chegada de José e y é o horário de chegada de Antônio, os pares (, y) que representam o evento José e Antônio chegam ao marco inicial eatamente no mesmo horário são aqueles tais que y, ou seja, que pertencem à diagonal OQ. 9. a 4 Área 4 8 Área Área 4. b a) INCORRETA. A distância é a mesma, se passar pelos pontos Q e R, ou se for até P e depois até B. Y b) CORRETA. Como Mariana sempre percorre as ruas ou para a direita ou para cima, independente do caminho que escolha, ela percorre da sua casa até a escola eatamente quadras. Portanto, a distância percorrida é. m m, km. c) INCORRETA. Da sua casa até a casa de Ester, Mariana percorre quadras para a direita e quadras para cima. DDDCC, 5 O número de caminhos é P! 54 5!!!!. Da casa de Ester até a escola, Mariana percorre quadras para a direita e quadras para cima. DDDCCC, O número de caminhos é P! 54!!!.! Portanto, o número total de caminhos é.. Observação: Mariana pode percorrer 8 caminhos diferentes da sua casa até a escola, passando pela casa de Ester, pois o total de caminhos é. A intenção do autor da questão era dizer que o número total de caminhos é 8. d) INCORRETA. O número de caminhos da casa de Mariana até a casa de Ester é e o número de caminhos da casa de Ester até a escola é. e) INCORRETA. Número total de caminhos, passando ou não pela casa de Ester: DDDDDDCCCCC 5, P! 987 4! 5!!! 5 4 Portanto, o número de caminhos, da casa de Mariana até a escola que não passam pela casa de Ester é 4 e o número de caminhos, da casa de Mariana até a escola, que passam pela casa de Ester é. Matemática D. b a) INCORRETA. As retas r e s são reversas. b) CORRETA. c) INCORRETA. Duas retas reversas não são coplanares. d) INCORRETA. As retas s e t são concorrentes. e) INCORRETA. As retas t e u são paralelas.. b As retas r e s são paralelas. As retas s e t são concorrentes e perpendiculares. As retas e r são reversas.. c Área de um triângulo equilátero cujos lados medem cm: S 5 cm 4 Usando,7 como aproimação para, temos: S 5 7, 45, cm Como são 88 placas, a área da superfície total é igual a 88 4, 5 cm 5 cm, 5 m. 4. d a) INCORRETA. As retas r e t são reversas. b) INCORRETA. As retas r e s são concorrentes. c) INCORRETA. As retas s e t são paralelas. d) CORRETA. e) INCORRETA. Duas retas paralelas são coplanares. 5. d Como cada volta corresponde a πr πd, em que d r, a medida, em centímetros, do lado da folha de papel usado na confecção do diploma é igual a 5 πd (5 voltas).. a O plano determinado pelos pontos A, B e C é perpendicular ao plano determinado pelos pontos C, D e E. O plano determinado pelos pontos E, F e G é perpendicular ao plano determinado pelos pontos C, D e E. Portanto, como os planos α e λ são perpendiculares ao plano β, eles são paralelos entre si. 4 Etensivo Terceirão Matemática e suas Tecnologias ENEM

5 ENEM 7. d A reprodução da gravura pode ter no máimo cm de comprimento e 4 cm de altura. Se o comprimento for cm, temos: comprimento altura 8 m m cm h 8 h 7 cm h Isso não é possível, pois a altura máima é 4 cm. Se a altura for 4 cm, temos: comprimento altura 8m m c 4 cm 8 c cm c 4 Como o comprimento máimo é cm, as dimensões da reprodução da gravura devem ser cm de comprimento e 4 cm de altura. A escala é: cm cm 8 m 8 cm 5 8. d Como a torneira tem vazão constante temos que: No preenchimento do primeiro tronco de cone a altura aumenta cada vez mais rapidamente. No preenchimento do cilindro a altura aumenta de modo constante. No preenchimento do segundo tronco de cone a altura aumenta cada vez mais lentamente. Observe alguns pontos da altura da escultura e o gráfico que melhor epressa a altura (h) da água na escultura em função do tempo (t) decorrido. / h t 9. e As dimensões da caia são 9 cm 4 cm 4 cm, 4 cm e cm. 4 4 Portanto: O maior valor possível para para que a caia permaneça dentro dos padrões permitidos pela Anac é 49.. c Nenhuma muda de maçã pode ser plantada fora da região retangular ABCD da figura. 5,5 m D A 4 m m m h 8 m,5 m m C B m,5 m Respeitando a condição de que as mudas devem ter espaçamento mínimo de metros entre elas, temos uma configuração com 9 mudas, plantadas nos vértices de triângulos equiláteros cujos lados medem metros. Note que essa configuração é possível, pois: m+ m+ 5, m 75, m< 8 m h 5, m< 55, m Matemática E. c + sen sen sen cos sen sen sen5 cos5 + sen + sen sen cos sen + sen sen5 cos5. a + cos + cos cos cos cos +cos cos45 cos5. a Na primeira volta positiva, temos: < π kπ < π k < k < Eistem valores possíveis para k ( 45.,,,,, ) k Portanto, a epressão π, com k representa aos arcos cujas etremidades são indicadas por pontos da circunferência trigonométrica. 4. e Os arcos cujas etremidades são indicadas pelos 4 pontos são múltiplos de π. + cos cos sen sen Portanto: cos cos sen45 sen5 π k k ( ) Etensivo Terceirão Matemática e suas Tecnologias ENEM 5

6 5. c As medidas dos arcos da ạ volta positiva são:,,, 8, 4, A soma dessas medidas é: d π kπ π k Assim, eistem valores possíveis para k (,, ). Portanto, o número de soluções é e tg tg ou tg No intervalo [ π, ], temos: π 4π tg ou π 5π tg ou O número de soluções é d sen cos sen oucos No intervalo ] π, [, temos: sen π π π cos ou Portanto, n. 9. c Os arcos cujas etremidades são indicadas pelos 8 pontos são múltiplos de π 4. Portanto: π k k 4 ( ) Escrevendo os arcos dados em graus, temos: k 45 ( k ). c Na primeira volta positiva, temos: < k 5 < k < 4 Eistem 4 valores possíveis para k (,,,..., ). Portanto, a epressão k 5, com k representa aos arcos cujas etremidades são indicadas por 4 pontos da circunferência trigonométrica. Etensivo Terceirão Matemática e suas Tecnologias ENEM