PROVA DE MATEMÁTICA DA FUVEST VESTIBULAR a Fase RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

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1 PROVA DE MATEMÁTICA DA FUVEST VESTIBULAR 0 a Fase Profa. Maria Antônia Gouveia. QUESTÃO 58. Em uma festa com n pessoas, em um dado instante, mulheres se retiraram e restaram convidados na razão de homens para cada mulher. Um pouco mais tarde, 55 homens se retiraram e restaram, a seguir, convidados na razão de mulheres para cada homem. O número de pessoas presentes inicialmente na festa era igual a a) 00 b) 05 c) 5 d) 0 e)5 RESOLUÇÃO : Representando o número de mulheres por x e o número de homens por y. y = x x 6 = y x y = 6 6x y = 86 5x = 0 x = 6 y 55 x = y 65 x y = x + y = y = x 6 y = 66 = x x + y = = 0. RESPOSTA: Alternativa d. QUESTÃO 59. O segmento AB é lado de um hexágono regular de área tal modo que a área do triângulo PAB vale. O ponto P pertence à mediatriz de AB de. Então, a distância de P ao segmento AB é igual a a) b) c) d) e) Sendo a área do hexágono regular, representado ao lado, AB 6 6 = AB = AB = =. O triângulo PAB é isósceles pois, P pertencendo à mediatriz de AB é equidistante dos extremos deste segmento. AB PH Como S PAB = = PH = PH = = = 6 6 RESPOSTA: Alternativa e.

2 QUESTÃO 60. O número real x, com 0 < x < π, satisfaz a equação ( cos x) + log ( + cosx) = Então, cos x + senx vale a) b) c) 9 log. d) e) 9 ( cosx) + log ( + cosx) = log [( cosx)( + cosx) ] = log ( cos x) = log ( sen x) = log ( senx) = log ( senx) = l og 8 senx = sen x = cos x = cos x = Então: cosx + senx = cos x sen x + senx = + = + = RESPOSTA: Alternativa e. QUESTÃO 6. x Considere a função f(x) =, a qual está definida para x. Então para todo x ( x + ) x, o produto f(x)f( x) é igual a a) b) c) x + d) x + e) (x ) e x x x x x x = ( x ) + ( x ) = ( x ) ( x) RESPOSTA: Alternativa b. QUESTÃO 6. Em um plano, é dado um polígono convexo de seis lados, cujas medias dos ângulos internos, dispostas em ordem crescente, formam uma progressão aritmética. A medida do maior ângulo é igual a vezes a medida do menor. A soma das medidas dos quatro menores ângulos internos desse polígono, em graus, é igual a a) 5 b) 0 c) 5 d) 0 e) 5 A soma dos ângulos internos de um hexágono é (6 ) 80 = 0. Como os seis ângulos estão em P.A., ( x + x) 6 = 0 x = 0 x = 0 a = 0 e a6 = 0 a6 = a + 5r 0 + 5r = 0 5r = 00 r = 0 Os quatro menores ângulos são portanto: 0, 60, 00 e 0 cuja soma é 0. RESPOSTA: Alternativa b.

3 QUESTÃO 6. Na figura, tem-se AE paralelo a CD, BC paralelo a DE, AE =, α = 5 e β = 5. Nessas condições, a distância do ponto E ao segmento AB é igual a a) b) c) d) e) Prolongando-se o segmento AE até o ponto F, determina-se o paralelogramo CDEF, Os ângulos D ĈF e A Fˆ B são congruentes (correspondentes formados por duas paralelas e uma transversal). No triângulo AFC: Â = 80 (5 + 5 ) = 60. A medida GE representa a distância do ponto E ao segmento AB. No triângulo retângulo AGE: GE AE = sen60 GE = GE = RESPOSTA: Alternativa a. QUESTÃO 6. a a + Considere a matriz A = em que a é um número real. Sabendo que A admite inversa A a a + a cuja primeira coluna é, a soma dos elementos da diagonal principal de A é igual a a) 5 b) 6 c) d) 8 e) 9 a a a + a a + x = y 0 0 a( a ) ( a + ) = ( a )( a ) ( a + ) a = 0 a a = 0 a = 0 a ± ± 5 equação a = = a = ou a = a = (valor que satisfaz às duas a equação A( a ) 0 a ou a 0 = = = 5 5 equações) A = A = A soma dos elementos da diagonal principal de A - é 5. RESPOSTA: Alternativa a.

4 QUESTÃO 65 No plano cartesiano Oxy, a circunferência C é tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5 e contém o ponto (, ). Nessas condições, o raio C vale a) 5 b) 5 c) 5 d) 5 e) 0 A figura ao lado representa a situação-problema acima: a circunferência tangente ao eixo Ox no ponto (5, 0) e passando pelo ponto (, ). Os lados do triângulo AOB medem r, r e, respectivamente. Logo: r = (r ) + 6 r = 0 r = 5. RESPOSTA: Alternativa c. QUESTÃO 66 Considere todos os pares ordenados de números naturais (a, b), em que a e b 5. Cada um desses pares ordenados está escrito em um cartão diferente. Sorteando-se um desses cartões ao acaso, qual é a probabilidade de que se obtenha um par ordenado (a, b) de tal forma que a fração a/b seja irredutível e com denominador par? a) b) 5 6 c) d) 5 5 e) Seja o conjunto A = {,,,, 5, 6,, 8, 9, 0,, } e o conjunto B = {,, 5, 6,, 8, 9, 50, 5}. Existem 9 = 08 pares ordenados do tipo (a, b), tal que a A e b B. A fração b a deve ser irredutível e com denominador par, logo a somente pode assumir valores ímpares do conjunto C = {,, 5,, 9, },subconjunto de A, e b valores pares pertencentes ao conjunto D ={, 6, 8, 50}, subconjunto de B. O conjunto C D tem 6 = pares ordenados, entre os quais os pares (, ), (5, 8), (5, 50) e (, 8) que não determinam frações irredutíveis. 0 5 A probabilidade pedida é: = = RESPOSTA: Alternativa e.

5 QUESTÃO 6 Em um tetraedro regular de lado a, a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a a) a b) a a c) d) a e) a O segmento PN é altura do triângulo equilátero OPQ, portanto, a a a PN = a = =. a a a a No triângulo retângulo MNP: MN = = =. RESPOSTA: Alternativa d. QUESTÃO 68 Uma substância radioativa sofre desintegração ao longo do tempo, de acordo com a relação m(t) = ca kt, em que a é um número real positivo, t é dado em anos, m(t) é a massa da substância em gramas e c, k são constantes positivas. Sabe-se que m 0 gramas dessa substância foram reduzidos a 0% em 0 anos. A que porcentagem de m 0 ficará reduzida a massa da substância, em 0 anos? a) 0% b) 5% c) % d) % e) % m 0 = m(0) = c e 0k 0k 0k k 0 m(0) = ca ca = 0,c a = 0, ( a ) = 0, ( a ) = 0, 0 k 0k 0 k 0 ( a ) = c 0, 0 = 0, c = 0,0c m(0) 0,0m0 m(0) = ca = c = RESPOSTA: Alternativa c. QUESTÃO 69. Francisco deve elaborar uma pesquisa sobre dois artrópodes distintos. Eles serão selecionados, ao acaso, da seguinte relação: aranha, besouro, barata, lagosta, camarão, formiga, ácaro, caranguejo, abelha, carrapato, escorpião e gafanhoto. Qual é a probabilidade de que ambos os artrópodes escolhidos para a pesquisa de Francisco não sejam insetos? 9 a) b) c) 5 d) 5 e) 5

6 Entre os artrópodes: aranha, besouro, barata, lagosta, camarão, formiga, ácaro, caranguejo, abelha, carrapato, escorpião e gafanhoto, apenas são insetos, o besouro, a barata, a formiga, a abelha e o gafanhoto. A probabilidade de que ambos os artrópodes escolhidos para a pesquisa de Francisco não sejam insetos é: 6 =. RESPOSTA: Alternativa c. 6