[Quero + atividades] Especial matemática FUVEST

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1 [Quero + atividades] Especial matemática FUVEST 1. (Fuvest 016) Uma dieta de emagrecimento atribui a cada alimento um certo número de pontos, que equivale ao valor calórico do alimento ao ser ingerido. Assim, por exemplo, as combinações abaixo somam, cada uma, 85 pontos: - 4 colheres de arroz + colheres de azeite + 1 fatia de queijo branco. - 1 colher de arroz + 1 bife + fatias de queijo branco. - 4 colheres de arroz + 1 colher de azeite + fatias de queijo branco. - 4 colheres de arroz + 1 bife. Note e adote: Massa de alimento (g) % de umidade + macronutriente minoritário + micronutrientes % de macronutriente majoritário 1 colher de arroz 1 colher de azeite 1 bife São macronutrientes as proteínas, os carboidratos e os lipídeos. Com base nas informações fornecidas, e na composição nutricional dos alimentos, considere as seguintes afirmações: I. A pontuação de um bife de 0 g é 45. II. O macronutriente presente em maior quantidade no arroz é o carboidrato. III. Para uma mesma massa de lipídeo de origem vegetal e de carboidrato, a razão número de pontos do lipídeo número de pontos do carboidrato é 1,5. É correto o que se afirma em a) I, apenas. b) II, apenas. c) I e II, apenas. d) II e III, apenas. e) I, II e III.. (Fuvest 01) Francisco deve elaborar uma pesquisa sobre dois artrópodes distintos. Eles serão selecionados, ao acaso, da seguinte relação: aranha, besouro, barata, lagosta, camarão, formiga, ácaro, caranguejo, abelha, carrapato, escorpião e gafanhoto. Qual é a probabilidade de que ambos os artrópodes escolhidos para a pesquisa de Francisco não sejam insetos? a) b) 14 c) 7 d) 5 e) (Fuvest 01) Uma das primeiras estimativas do raio da Terra é atribuída a Eratóstenes, estudioso grego que viveu, aproximadamente, entre 75 a.c. e 195 a.c. Sabendo que em Assuã, cidade localizada no sul do Egito, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical não apresentava sombra, Eratóstenes decidiu investigar o que ocorreria, nas mesmas condições, em Alexandria, cidade no norte do Egito. O estudioso observou que, em Alexandria, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical apresentava sombra e determinou o ângulo θ entre as direções do bastão e de incidência dos raios de sol. O valor do raio da Terra, obtido a partir de θ e da distância entre Alexandria e Assuã foi de, aproximadamente, 7500 km.

2 d) 0 e) 0 O mês em que foram realizadas as observações e o valor aproximado de θ são (Note e adote: distância estimada por Eratóstenes entre Assuã e Alexandria 900 km; π. ) a) junho; 7. b) dezembro; 7. c) junho;. d) dezembro;. e) junho; 0,. 4. (Fuvest 016) Em um experimento probabilístico, Joana retirará aleatoriamente bolas de uma caixa contendo bolas azuis e bolas vermelhas. Ao montar-se o experimento, colocamse 6 bolas azuis na caixa. Quantas bolas vermelhas devem ser acrescentadas para que a probabilidade de Joana obter azuis seja 1? a) b) 4 c) 6 d) 8 e) 5. (Fuvest 016) Cada aresta do tetraedro regular ABCD mede. Por um ponto P na aresta AC, passa o plano α paralelo às arestas AB e CD. Dado que AP, o quadrilátero determinado pelas interseções de α com as arestas do tetraedro tem área igual a a) 1 b) 1 c) 0 6. (Fuvest 016) No plano cartesiano, um círculo de centro P (a, b) tangencia as retas de equações y x e x 0. Se P pertence à parábola de equação y x e a 0, a ordenada b do ponto P é igual a a) b) c) 4 d) 5 e) 6 7. (Fuvest 016) Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão S log log 016 log 016 O valor de S é a) 1 b) 1 c) 1 5 d) 1 7 e) (Fuvest 016) Os pontos A, B e C são colineares, AB 5, BC e B está entre A e C. Os pontos C e D pertencem a uma circunferência com centro em A. Traça-se uma reta r perpendicular ao segmento BD passando pelo seu ponto médio. Chama-se de P a interseção de r com AD. Então, AP BP vale a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

3 9. (Fuvest 016) Em uma classe com 14 alunos, 8 são mulheres e 6 são homens. A média das notas das mulheres no final do semestre ficou 1 ponto acima da média da classe. A soma das notas dos homens foi metade da soma das notas das mulheres. Então, a média das notas dos homens ficou mais próxima de a) 4, b) 4,5 c) 4,7 d) 4,9 e) 5,1. (Fuvest 016) Quando a Lua está em quarto crescente ou quarto minguante, o triângulo formado pela Terra, pelo Sol e pela Lua é retângulo, com a Lua no vértice do ângulo reto. O astrônomo grego Aristarco, do século III a.c., usou este fato para obter um valor aproximado da razão entre as distâncias da Terra à Lua, d, L e da Terra ao Sol, d S. 11. (Fuvest 016) Um veículo viaja entre dois povoados da Serra da Mantiqueira, percorrendo a primeira terça parte do trajeto à velocidade média de 60km h, a terça parte seguinte a 40km h e o restante do percurso a 0km h. O valor que melhor aproxima a velocidade média do veículo nessa viagem, em km h, é a),5 b) 5 c) 7,5 d) 40 e) 4,5 1. (Fuvest 016) No quadrilátero plano ABCD, os ângulos ABC ˆ e ADC ˆ são retos, AB AD 1, BC CD e BD é uma diagonal. O cosseno do ângulo a) 5 ˆ BCD vale b) 5 c) 5 d) 5 e) 4 5 É possível estimar a medida do ângulo α, relativo ao vértice da Terra, nessas duas fases, a partir da observação de que o tempo t, 1 decorrido de uma lua quarto crescente a uma lua quarto minguante, é um pouco maior do que o tempo t, decorrido de uma lua quarto minguante a uma lua quarto crescente. Supondo que a Lua descreva em torno da Terra um movimento circular uniforme, tomando t 1 14,9 dias e t 14,8 dias, conclui-se que a razão dl d S seria aproximadamente dada por a) cos 77,7 b) cos 80,7 c) cos 8,7 d) cos 86,7 e) cos 89,7 1. (Fuvest 016) De 1869 até hoje, ocorreram as seguintes mudanças de moeda no Brasil: (1) em 194, foi criado o cruzeiro, cada cruzeiro valendo mil réis; () em 1967, foi criado o cruzeiro novo, cada cruzeiro novo valendo mil cruzeiros; em 1970, o cruzeiro novo voltou a se chamar apenas cruzeiro; () em 1986, foi criado o cruzado, cada cruzado valendo mil cruzeiros; (4) em 1989, foi criado o cruzado novo, cada um valendo mil cruzados; em 1990, o cruzado novo passou a se chamar novamente cruzeiro; (5) em 199, foi criado o cruzeiro real, cada um valendo mil cruzeiros; (6) em 1994, foi criado o real, cada um valendo.750 cruzeiros reais. Quando morreu, em 1869, Brás Cubas possuía 00 contos.

4 Se esse valor tivesse ficado até hoje em uma conta bancária, sem receber juros e sem pagar taxas, e se, a cada mudança de moeda, o depósito tivesse sido normalmente convertido para a nova moeda, o saldo hipotético dessa conta seria, aproximadamente, de um décimo de Dados: Um conto equivalia a um milhão de réis. 9 Um bilhão é igual a e um trilhão é igual a 1. a) real. b) milésimo de real. c) milionésimo de real. d) bilionésimo de real. e) trilionésimo de real. 14. (Fuvest 016) A igualdade correta para quaisquer a e b, números reais maiores do que zero, é a) a b a b 1 1 b) a a b b c) ( a b) a b d) e) a b a b a b a ab b ab 15. (Fuvest 015) Dadas as sequências an n 4n 4, b d, n n c n a n 1 a n b, e n 1 n definidas para valores inteiros positivos bn de n, considere as seguintes afirmações: I. a n é uma progressão geométrica; II. b n é uma progressão geométrica; III. c n é uma progressão aritmética; IV. d n é uma progressão geométrica. São verdadeiras apenas a) I, II e III. b) I, II e IV. c) I e III. d) II e IV. e) III e IV. Gabarito: Resposta da questão 1: Sejam x, y, z e w, respectivamente, o número de pontos correspondentes a uma colher de arroz, uma colher de azeite, uma fatia de queijo branco e um bife. Tem-se que z x w z 4x w x. 4x y z 4x y z y z Em consequência, como 4x y z 85, temos z 4 z z 85 z 15. Logo, vem x e y 15. Além disso, como 4x w 85, encontramos de imediato w 45. [I] Verdadeira. De fato, pois w 45. [II] Verdadeira. O carboidrato é o macronutriente presente em maior quantidade no arroz. [III] Verdadeira. Com efeito, pois uma colher de azeite representa 15 pontos para uma massa de 5 g, e uma colher de arroz representa pontos para 0,5 0 g 5 g. Portanto, a razão entre os pontos é 15 1,5. Resposta da questão : [C] Resposta de Biologia: São artrópodes da classe inseto: besouro, barata, formiga, abelha e gafanhoto. Portanto, 5 animais. São artrópodes não insetos: aranha, escorpião, carrapato e ácaro (aracnídeos); lagosta, camarão e caranguejo (crustáceos).

5 Resposta de Matemática: Escolhendo dois animais aleatoriamente, temos o espaço amostral do experimento: 1! C1, 66!.! Escolhendo artrópode que não seja inseto, temos 7! C7, 1!.5! Portanto, a probabilidade pedida será: P = 1 7 P. 66 Resposta da questão : [A] [Resposta sob o ponto de vista da disciplina de Geografia] Os raios solares que atingem a Terra são paralelos. Portanto: θ 7, 7500 Como os raios solares são paralelos, segue que AOB e, portanto, AB OA ,1rad 0, ,. Além disso, como Assuã e Alexandria estão situadas no hemisfério norte, e o solstício de verão ocorre no mês de junho nesse hemisfério, segue que as observações foram realizadas em junho. Resposta da questão 4: [B] A cidade de Alexandria situa-se no hemisfério norte, território do Egito, onde o solstício de verão acontece no dia 1 de junho, quando o Sol dispõe sua radiação na perpendicular à linha do Trópico de Câncer. [Resposta sob o ponto de vista da disciplina de Matemática] Considere a figura. Seja n o número de bolas vermelhas que deverão ser colocadas na caixa. Desse modo, como o número de casos favoráveis é casos possíveis é n 6, temos 6 6! 1 1! 4! n 6 (n 6)!! (n 4)! n 11n 60 0 n 4. Resposta da questão 5: [A] 6 e o número de Considere a figura.

6 1 cos 45 cotg0' 1, 1 cos 45 concluímos que a 1 e, portanto, b a. Resposta da questão 7: Sejam Q, R e S, respectivamente, as interseções de α com as arestas BC, BD e AD. Desde que α é paralelo à aresta AB, temos SR e PQ paralelos a AB. Analogamente, concluímos que PS e QR são paralelos a CD. Ademais, sabendo que arestas opostas de um tetraedro regular são ortogonais, tem-se que o quadrilátero PQRS é um retângulo. Sendo ABCD regular, os triângulos APS e CQP são equiláteros, e, portanto, a área pedida é igual a 7 1m. Resposta da questão 6: [B] Considere a figura, em que PQ a e OQ b a. 1 Lembrando que logb a, log b logc a b logc a logcb, positivos diferentes de 1, temos c logba c logba e a com a, b e c reais S log log 016 log (5 log 016 log 016 log 016 7) 1 log log Resposta da questão 8: [D] Considere a figura, em que M é o ponto médio de BD. Sabendo que y x é bissetriz dos quadrantes ímpares e OP é bissetriz de SOQ, temos POQ 0'. Além disso, do triângulo OPQ, vem PQ tgpoq a cotg 0'. OQ Logo, sendo Os triângulos BPM e DPM são congruentes por LAL, pois MB MD, MP é lado comum e BMP DMP. Daí, temos BP DP e, portanto, AP BP AC 5 7. Resposta da questão 9:

7 [C] Sejam S h e S m, respectivamente, a soma das notas dos homens e a soma das notas das mulheres. Sabendo que Sm S h, temos Sm Sh Sm Sh Sh Sh 8. Portanto, segue que a resposta é Resposta da questão : Sh 8 4, Sabendo que a velocidade é constante no movimento circular uniforme, temos α 60α α 89,7. 14,8 14,9 Portanto, como dl cos89,7. d S d cos, Resposta da questão 11: [A] α L segue que a resposta é ds Seja S a distância total percorrida. Logo, tem-se que a velocidade média, V, no percurso total é dada por S V S S S ,7km h. Resposta da questão 1: [C] Do triângulo ACD, pelo Teorema de Pitágoras, encontramos AC AD CD AC 1 Desse modo, vem AC 5. CD cos ACD cos ACD. AC 5 Como os triângulos ACD e ACB são congruentes por LAL, segue que BCD ACD e, portanto, cosbcd cos ACD Resposta da questão 1: [D] Tem-se que 1 real,75 18,75 réis. 6 8 Portanto, como 00 contos 00 réis, segue que o saldo hipotético dessa conta hoje seria 8 1 1, 18 9,75 Considere a figura.

8 ou seja, aproximadamente um décimo de bilionésimo de real. Resposta da questão 14: [A] Tomando a e b 1, temos 9. Absurdo. [B] Tomando a e b 1, vem Absurdo. [C] Tomando a e b 1, segue que 1. Absurdo. [D] Tomando a e b 1, obtém-se Absurdo. De fato, pois an1 a n (n 1) 4(n 1) 4 (n 4n 4) n n 1 4n 4 4 n 4n 4 n 5. Desse modo, c n é uma progressão aritmética de primeiro termo 7 e razão igual a. n1 [IV] Verdadeira. De (II), temos dn, que é uma progressão geométrica de primeiro termo 8 e razão igual a 4. a b (a b)(a ab b ) a b, a ab b a ab b para quaisquer a e b reais positivos. Resposta da questão 15: [I] Falsa. Tem-se que a n1 (n ). Logo, como a razão a n 1 (n ) 1 1 a n (n ) n não é constante, segue que a n não é uma progressão geométrica. [II] Falsa. De fato, a razão (n 1) b n 1 n n1 n n1 b n n não é constante. Daí, podemos concluir que b n não é uma progressão geométrica. [III] Verdadeira. A diferença entre quaisquer dois termos consecutivos da sequência c n é