Gabarito comentado da Prova Proposta para alunos da 2ª série do Ensino Médio.

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1 OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA DO COLÉGIO SANTO INÁCIO RJ. Gabarito comentado da Prova Proposta para alunos da 2ª série do Ensino Médio. ª Questão: De AD AB temos que 2 BD AB, mas BE BD e, portanto BE 2 AB. De BF BE temos 2 4 FE BE AB AB. Mas como 9 EG FE, de EH EG temos GH EG FE AB AB Portanto, a razão de semelhança entre os triângulos IHG e ABC é igual a Concluímos então que a razão entre suas áreas é igual a ª Questão: Observe que, como o hexágono tem lados opostos paralelos, os seis triângulos menores da figura do problema também são equiláteros, devido ao paralelismo, que mantém os ângulos entre retas iguais a 60 (já que, inicialmente, as retas formavam ângulos de 60, devido aos dois triângulos equiláteros). Logo, podemos escrever as medidas dos lados como na figura: A soma dos perímetros dos dois triângulos equiláteros é igual a a b c d e f, e como cada triângulo equilátero tem perímetro 72 cm, temos a b c d e f 72, isto é, a b c d e f 24. Como esse também é o perímetro do hexágono, temos que o perímetro procurado é 24 cm. ª Questão: Como O é o centro do círculo, temos EOB ˆ 2ECB ˆ 70º. Como AO OE, pelo teorema do ângulo externo aplicado ao ângulo EOB ˆ, temos EAO ˆ 2OEÃ ˆ 5º. Daí, ADC ˆ AEC ˆ 5º. Como ADC ˆ DAˆ ^ B 90º, podemos concluir que: DAE ˆ 90º ADC ˆ EAB ˆ 20º SB/5/4

2 4ª Questão: Seja NP um segmento paralelo às arestas verticais do cubo. Sendo 2a a medida da aresta do cubo, pelo teoremas de Pitágoras, temos: LP LM MN a a a 2 2 e LN LP PN 2a 2a 2 a 6. Pela lei dos cossenos, Logo o ângulo LMN ˆ 20º. ˆ LM MN LN 2a 2a 6a cos LMN. 2 LM MN 2 a 2 a 5ª Questão: Sejam B e C os pontos de batida da bola PQ e QR, respectivamente, e A o ponto onde a bola está inicialmente. Como os ângulos das trajetórias de batida com a mesa são iguais, deveremos ter os triângulos APB, CQB e CRS semelhantes. Seja BP x. Assim: AP CQ CQ CQ, BP BQ x x x AP CR 7 6 x 7 BP RS x x x. 7 Outra solução. Como o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, ao refletirmos o retângulo inicial em relação ao lado PQ e em seguida refletindo em relação ao lado QR, obtemos um segmento TV que passa pelo ponto U, de acordo com a figura ao lado. Logo, pela semelhança dos triângulos TPU e TS V, temos: TP PU PU 6 PU. TS ' S ' V ª Questão: Resp: E Os triângulos GFE e AGE possuem a base GE em comum e, já que E é ponto médio de CB, possuem alturas iguais a 2. Então os triângulos GFE e AGE têm a mesma área, logo A AFE A AGE, mas 2 A A A A A, mas AFE ABCD ADF AEB CEF A, A ABCD AFE 2 A AEB, 2 4 A ACF, logo A 2 8 AGE A ACF SB/5/4 2

3 7ª Questão: Notamos que o triângulo PQR é equilátero de lado 2 cm. Como o segmento RS também mede 2 cm, o triângulo PRS é isósceles de base PS. O ângulo PRS ˆ mede 20º, pois ele é externo ao triângulo PRQ, igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes, cada um medindo 60º. Logo cada um dos ângulos RSP ˆ e RPS ˆ mede 0º, e concluímos que o triângulo PQS é retângulo em P, com PQS ˆ 0 medindo 60º e PSQ ˆ mede 0. Logo, o triângulo ABC é retângulo em A com ABC ˆ medindo 60º e ACB ˆ medindo 0º, pois seus lados são paralelos aos do triângulo PQS. Além disso, seu menor lado é AB oposto ao menor ângulo ACB ˆ que mede 0º. Para calcular o comprimento do lado AB, basta calcular BT, pois AT mede cm. Notamos que o triângulo QBT é retângulo em T. Como BQ é bissetriz de ABC ˆ, segue que TBQ ˆ mede 0º. Como QT mede cm, segue que BQ mede 2 cm, e aplicando o teorema de Pitágoras teremos: BT QB QT BT AB cm aos do triângulo PQS. Além disso, seu menor lado é AB, oposto ao menor ângulo o ACBˆ = 0. 8ª Questão: Resp: A Planificando as faces ADV e ABV, obtemos um losango pois as duas faces são triângulos equiláteros. Temos que DV / /AB e EA / /FB, logo, o quadrilátero AEFB é um paralelogramo, portanto, seus lados opostos possuem a mesma medida, ou seja, o segmento FB mede m, ou seja, a menor distância que a aranha deve percorrer é de m. SB/5/4

4 9ª Questão: Observamos que a área do jardim pode ser medida contando o número de quadradinhos na folha. De fato, se contarmos o número de quadrados obteremos o total: 24 quadradinhos 8 metades de quadradinhos 28 quadradinhos. Como a área total é 700 m², a área de cada quadradinho corresponde a m². Assim, o lado de cada quadradinho corresponde a 5 m. Pelo teorema de Pitágoras, a diagonal d de cada quadradinho corresponde a d m. O contorno da roseira é formado por 4 diagonais e do jardim por 8 diagonais e 8 lados, logo temos: Perímetro da roseira 4d m. Perímetro do jardim d m Temos então: 52, , 4 2,46. Assim, o preço máximo que o prefeito poderá pagar é R$52,6. 0ª Questão: Sendo t o tempo que as bolas levam para se encontrar, temos que a bola de Jade Maravilha percorreu na vertical vt sen e que a bola de Super Esmeralda percorreu na vertical 60t sen0º. Como essas 0 distâncias são iguais, temos v. Para que v seja mínimo, devemos ter o valor máximo de sen, que sen é, logo v 0 km/h. ª Questão: Antes de Mário: = 4 Total: = 2 SB/5/4 4

5 2ª Questão: Resp: A abcde abcde a b c d e Então x e = 7 a b c d e de + 2 = etc. Nº inicial: Algarismo dos milhares = 8 ª Questão: Não pode haver algarismos pares porque o produto termina em 7. Não pode haver algarismo 5 porque o produto terminaria em 5. Os algarismos são então:,, 7, 9. O maior deve começar por nove: i o produto termina em (8 x 8) ii o produto termina em (8 x 6) iii. 999 o produto termina em 7 (8 x 27) que é o número procurado. 4ª Questão: A escolta vence = 80 metros para cada 60 metros percorridos pelo criminoso. São então necessários = 25 percursos de 40 metros, logo 25 x 40 = 500 m 5ª Questão: Tenho x. SB/5/4 5

6 x x x x x x 2x 4,88 x 88, 4 x ª Questão: Das 7h às 4h4min decorreram 7 x x 60 = segundos. Dividindo-se o número de segundos por = 79 temos = 44 ciclos verde-amarelo-vermelho e os 64 segundos restantes deverão ser subtraídos de: 45 segundos no verde, 4 segundos no amarelo e os últimos 5 segundos garantem estar no vermelho (que dura 0 segundos). 7ª Questão: ANULADA x 04 x = = x 4 = (Questão anulada, pois saiu com erro no texto) Logo a soma é zeros 204 zeros 8ª Questão: Basta ver que 2 8 = (2 4 ) 2 e 2 = então 2n = (2 6 ) 2 donde n = 2. O número N será: N = (2 4 ) (2 6 ) 2 = ( ) 2 = (6 + 64) 2 = 80 2 = ª Questão: Resp: A 70% de 40 = 28 Então 2 usam lentes de contato DV = x 9 2 x x 60 20ª Questão: Resp: E Temos que: 8 + b =...7 logo b = 9 e + a + a + a = 22 a + = 22 a = 7 SB/5/4 6

7 a a a 9 9 b SB/5/4 7

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