Resolução das atividades adicionais

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1 PÍTULO 9 Resolução das atividades adicionais 65. Note que Temos, portanto, que o triângulo é retângulo (Teorema de Pitágoras). Logo sua área é dada por 84. Então podemos dizer que a razão entre as 7 $ 4 84 áreas é 4. Logo, a razão entre os lados é 4, e a hipotenusa após a redução é tal que +. Logo a redução foi de 50%. O lado maior é e o percentual de redução é de 50%. 66. onsidere os triângulos de base, perímetro P 8 m e área 0 m, e EF de base P 8 a, perímetro P m e área. omo houve uma redução de, então P k. Logo, k a O triângulo E tem lados medindo e + ; logo, ele é uma ampliação de 6 razão k do triângulo. Então k E + E + E Para a construção de um triângulo, temos: Trace um segmento de tamanho 6 cm. onstrua um segmento perpendicular ao segmento em sua etremidade, de modo que essa perpendicular tenha cm. Trace o segmento de modo a fechar o triângulo. Para os triângulos menores, suas áreas devem ser 6 cm. omo a área do 6 $ 96 triângulo maior é 96 cm, então haverá 6 triângulos menores. 6 6 razão entre as áreas é de, então a razão entre os lados é e os lados dos triângulos menores são 4 cm e cm. ssim, basta dividir os segmentos e em 4 partes iguais. Logo: Trace os arcos e com centro em e mesmo raio. Trace os arcos e 4 com centro em e o mesmo raio usado no passo, determinando os pontos R e S. reta RS é a mediatriz de e M é o ponto médio de. Fazendo o mesmo processo para os segmentos M e M, dividimos o segmento em 4 partes iguais. Fazer o mesmo processo para o segmento, dividindo-o em 4 partes iguais. Por cada um dos pontos construídos em, trace uma reta paralela a. Por cada um dos pontos construídos em, trace uma reta paralela a..9 ef8.0

2 R M 4 S 69. a) Para que a área seja 9 vezes a original, os lados devem ser 9 vezes o original. Temos, então, a seguinte figura:.40 ef8.0

3 b) Para a área ser da original, o lado deve ser 4 4 do original. ssim, a figura é: 70. Seja a o lado do quadrado. Sua área é a, e o lado do quadrado de área a é igual a a a. Logo, deve-se aumentar o lado do quadrado de a a _ i a. 7. fotografia original tem área cm e perímetro P (0 + 5) 50 cm. mpliando, temos uma fotografia de área 8 6 cm e perímetro P ( + 8) 60 cm. Logo, $ k + 50 $ k 6 + k 44,. P $, P 50 $, 60,, Portanto, ao ampliar uma fotografia, multiplicamos sua área por k,44 e seu perímetro por,,. 7. Seja N, logo N, como na figura: M Q N P ssim, no triângulo PN, N + P PN + PN 5. s áreas dos quadrados e MNPQ são, respectivamente, ( + ) 9 e MNPQ _ 5 i 5. Logo, a razão pedida é 9 9. MNPQ ef8.0

4 7. onsidere a figura: y z I z y M y II z z N y área da bandeira é 6 y y. Logo: a) Os triângulos I e II têm mesma base e mesma altura y, logo suas áreas são semelhantes. ssim, a área da parte azul é y I y. Portanto, y. y 4 b) área amarela M é a área do losango de diagonais 6 e y menos a área da parte 6 $ y azul. Logo, M y y. Portanto, M y. y 4 c) área da parte verde será V losango y 6y 6y. Logo, V 6y. y 74. onsidere a figura a seguir: h h figura em destaque é um trapézio de bases 4 h 0 d + n$ h h + h 4 $ h 4 $ e e altura h. omo sua área é, temos 5. Logo a área do paralelogramo é 75. onsidere M M N N, O o encontro das diagonais do losango e R o ponto de encontro dos segmentos NP e. ssim, os triângulos O e RN são semelhantes N (caso ) e d n RN + f p RN + RN. Os triângulos RN e RON são 4 O O semelhantes (caso LL) e a área do losango é 4 O. O 4.4 ef8.0

5 Logo, ORN losango 4 O RN RN O 76. área da chama é a área do paralelogramo e a área da vela é a área do Tangram menos a do paralelogramo. Seja 4 o lado do quadrado e considere a figura a seguir: O Q S P R Temos que m^o t h m^o t h e PQ é semelhante ao PQO (caso ). Logo, Q QP QO e, portanto, P PO. a mesma forma, m ( PQ t ) m ( RPS t ) m ( RSP t ) m ( RS t ) e PRS é semelhante ao RS (caso ). Logo, PS S e, portanto, PR RS R. omo P, então PR R. essa forma, o paralelogramo tem base e altura. ssim, chama $. vela ( 4) $ Para a construção do trapézio, siga os passos a seguir. Trace um segmento a de tamanho 6 cm. onstrua um segmento perpendicular b ao segmento a em uma das etremidades, de modo que essa perpendicular tenha 4 cm. Na outra etremidade de b, trace um segmento c que seja perpendicular a b e que tenha medida cm. Ligue a etremidade de c com a etremidade de a, de modo a fechar o trapézio pedido. Para desenhar o retângulo equivalente ao trapézio anterior, precisamos calcular a área desse trapézio. ( 6+ ) $ 4 8 cm Logo, o retângulo a ser desenhado tem que ter dois de seus lados medindo 4 cm. Portanto, os outros dois têm que medir 4,5 cm, pois 4 4,5 8 cm. Trace uma base de 4,5 cm. onstrua dois segmentos perpendiculares à base, medindo ambos 4 cm, desenhados nas duas etremidades da base. Ligue as outras etremidades desses segmentos. 5.4 ef8.0

6 4 cm cm 4,5 cm cm ada um dos outros dois lados mede 45 mm. 78. Primeira parte do eercício: Trace uma reta a e seja a. Trace a reta b perpendicular a a que passa por. Trace a reta c bissetriz entre a e b. Trace a circunferência d de centro e raio 4 cm. Seja c d. Trace a reta e perpendicular a b que passa por. Trace a circunferência f de centro e raio 4 cm. Seja e f. Seja a d tal que e pertencem ao mesmo semiplano determinado pela reta c. Temos que o quadrilátero é um losango de lado 4 cm e com um ângulo interno de 45º. Segunda parte do eercício: Seja E b e. Trace a reta g perpendicular a a que passa por. Seja F e g. Temos que o quadrilátero FE é um retângulo equivalente ao losango. E F 4 cm 79. omo, mm ( t ) mm ( t ) 90 e M t, M t (opv), os triângulos marcados com são congruentes. nalogamente, são congruentes ambos os triângulos marcados com, os marcados com 4 e os marcados com 5. omo a operação descrita nada mais é que mover os triângulos,, 4 e 5 a fim de completar um quadrado, temos que este é efetivamente equivalente à cruz inicial. 80. o enunciado, temos 8 cm, 4 cm, 4 cm e cm. ssim, temos que desenhar um trapézio cujos lados têm essas medidas. ) Faça a base maior, cm, com a régua ef8.0

7 ) bra o compasso de 4 cm. ) om a ponta seca numa etremidade do segmento inicial, faça um arco. 4) cm dessa mesma etremidade, marque um ponto no segmento inicial. 5) Faça, nesse ponto, uma perpendicular ao segmento inicial (processo similar ao de desenhar uma mediatriz) cruzando o arco feito no passo. 6) Nessa interseção do arco com a perpendicular, marque um ponto (esse será um vértice do trapézio). 7) Ligue a etremidade usada no passo com esse ponto do passo anterior. 8) Repita esse processo (desde o passo ) na outra etremidade do segmento inicial, ligando o ponto obtido também ao ponto obtido no passo 6. gora, para a segunda parte do eercício, precisamos calcular a área do trapézio anterior. ( base base ) altura ( ) Área maior+ menor $ + 8 trapézio $ 0 Onde a altura foi obtida através do Teorema de Pitágoras no triângulo cuja hipotenusa mede 4 e um cateto cm, sendo o segundo cateto a altura, como mostra a figura a seguir E 8 F ssim, a altura do trapézio é. omo dois lados do paralelogramo medem 4 cm, os outros dois lados, de medida cada um, correspondem às bases, e a altura é a mesma que a do trapézio. Para que o paralelogramo e o trapézio sejam equivalentes, as áreas são as mesmas, então cm. Logo basta construir um paralelogramo de lados 4 cm e 0 cm e altura de cm, para isso prolongue e marque a medida de 0 cm, determinando G. ssim FG é o paralelogramo pedido. 8 G 4 4 E 8 F 7.45 ef8.0

8 esafio olímpico alternativa olocando o Tangram sobre uma malha quadriculada, a região sombreada ocupa quadradinhos da malha e sua área é, portanto, 6 da área do Tangram, ou seja, 6 64 cm ef8.0