ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI -UNITAU MATEMÁTICA-PROF. CARLINHOS/KOBA-3º ENSINO MÉDIO

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1 ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI -UNITAU MATEMÁTICA-PROF. CARLINHOS/KOBA-3º ENSINO MÉDIO EXERCÍCIOS PARA ESTUDO DE RECUPERAÇÃO DO 1º SEMESTRE MATEMÁTICA I 1) Um ponto P pertence ao eixo das ordenadas e é equidistante dos pontos A(3;5) e B(-1;4). Quais são as coordenadas do ponto P. RESPOSTA: P(0; 17/2) 2) Determine as coordenadas dos vértices e a área de um triângulo ABC, sabendo que as coordenadas dos pontos médios dos lados do triângulo são M(-1;-2), N(-2;3) e P(1;-1). RESPOSTA: A(2;-6), B(-4; 2), C(0; 4) e Área = 22 u.a 3) (Unesp) Ao ser inaugurada, uma represa possuía 8 mil m 3 de água. A quantidade de água da represa vem diminuindo anualmente. O gráfico mostra que a quantidade de água na represa 8 anos após a inauguração é de 5 mil m 3. Se for mantida essa relação de linearidade entre o tempo e a quantidade de água em m, determine em quantos anos, após a inauguração, a represa terá 2 mil m 3. RESPOSTA: 16 anos 4) Sabendo que a reta r passa pelos pontos A(6; -2) e B(-6; 6). Determine: a) A sua equação geral RESPOSTA: -2x - 3y + 6 = 0 b) A sua equação reduzida RESPOSTA: y = -2x/3 + 2 c) Os coeficientes angular e linear da reta RESPOSTA: Angular m = -2/3 Linear = 2 blog.portalpositivo.com.br/capitcar 1

2 d) Os pontos de intersecção de r, com os eixos coordenados RESPOSTA: P(3; 0) e Q (0; 2) e) A área do triângulo formado pela intersecção de r com os eixos coordenado e a origem do sistema cartesiano RESPOSTA: A = 3 u.a 5) Na figura abaixo tem-se representada, em um sistema de coordenadas cartesianas, a rota de uma aeronave, de uma cidade M a uma cidade N, passando sobre as pequenas cidades sobre as pequenas cidades A e B. Se os quatros pontos pertencem á reta de equação 4x 3y = 0, calcule a distância entre as cidades A e B RESPOSTA: 500 km 6) A equação da reta s perpendicular à reta r: y = 2x + 1, traçada pelo ponto P (4, -1) é: a) y = - (1/2)x 1 b) y = (1/2)x 1 c) y = - (1/2)x + 1 d) y = (1/2) x + 1 RESPOSTA: C 7) As retas x + ky = 3 e 2x - y = - 5 são paralelas; logo o valor de k é: a) 2 b) -1/2 c) ½ d) 2 RESPOSTA: B blog.portalpositivo.com.br/capitcar 2

3 8) (Enem 2015) Devido ao aumento do fluxo de passageiros, uma empresa de transporte coletivo urbano está fazendo estudos para a implantação de um novo ponto de parada em uma determinada rota. A figura mostra o percurso, indicado pelas setas, realizado por um ônibus nessa rota e a localização de dois de seus atuais pontos de parada, representados por P e Q. Os estudos indicam que o novo ponto T deverá ser instalado, nesse percurso, entre as paradas já existentes P e Q de modo que as distâncias percorridas pelo ônibus entre os pontos P e T e entre os pontos T e Q sejam iguais. De acordo com os dados, as coordenadas do novo ponto de parada são a) (290; 20). b) (410; 0). c) (410; 20). d) (440; 0). e) (440; 20). RESPOSTA: E 9) (Unifesp) Dadas as retas r: 5x - 12y = 42, s: 5x + 16y = 56 e t: 5x + 20y = m, o valor de m para que as três retas sejam concorrentes num mesmo ponto é: a) 14 b) 28 c) 36 d) 48 e) 58 RESPOSTA: e 10) Os pontos A(1;1), B(5;2), C(6;5) e D(2;4) são os vértices de um paralelogramo. Determine o ponto de intersecção das diagonais. RESPOSTA: P(7/2; 3) 11) (Uema 2016) Uma cidade gera, em média, 20 mil toneladas de lixo, diariamente, de diversos tipos: lixo residencial, lixo hospitalar, entulho. Uma cooperativa analisou os dados de coleta seletiva fornecidos pela Prefeitura, considerando somente a produção de lixo residencial para dois tipos de resíduo em uma determinada área onde pretendia atuar. Tais dados se referem à média diária, em toneladas, para cada ano de coleta, conforme tabela a seguir. blog.portalpositivo.com.br/capitcar 3

4 Tipo Ano Garrafas PET Papel www3.prefeitura.sp.gov.br/limpeza_urbana/ formspublic/ limpezarua.apx. Adaptado. (Use, para fins de cálculo, apenas os dois últimos dígitos do ano). a) Qual a equação da reta que representa o comportamento da coleta total do ano de 2012 ao de 2014? b) A partir dos dados na tabela, qual será o valor total recolhido para esses dois resíduos no ano de 2020? RESPOSTA: a) y=10x-85 b) ) Resolva em C as equações: a) x 2-4x+13=0 b) 2x 2 +50=0 c) x 2 +2x+3=0 d) x 4 +10x 2-24=0 RESPOSTA: a) {2-3i ; 2+3i} b) {-5i ; 5i} c) {-1-2 i ; i} d) {- 2 ; 2 ;-2 3 i; 2 3 i} 13) Determine m de modo que Z= (m 2-100) + (m+10)i seja : a) Um nº real b) Um nº imaginário puro RESPOSTA: a) m = -10 b) m = 10 14) Determine Z, de modo que 3Z+ Z = 12-4i. RESPOSTA: Z = 3-2i 15) Calcule: a) 4i-(1-3i) (-2+i) resp: 1+6i b) 3i + 4.(2-i) ( 3 2i ) resp: 11-3i c) (-4+i).(3-2i)+(2+i) resp: -8+12i d) 3 2i 4 i 14 5i resp: e) i 25 + i 39 i i.i 50 i + i resp: -1 i f) 21 i 158 resp: -1 + i 14 5i RESPOSTA: a) 1 + 6i b) 11-3i c) i d) 17 e) -1 - i f) -1 + i blog.portalpositivo.com.br/capitcar 4

5 16) Escreva na forma trigonométrica Z= - 3 +i 5π 5π RESPOSTA: Z= 2 ( cos + i sen ) 6 6 2π 2π 17) Passe para a forma algébrica Z= 4 (cos + i sen ) 3 3 RESPOSTA: Z = i 18) Dados Z 1 = 4 (cos i sen 30 0 ), Z 2= 12 (cos isen 90 0 ) e Z 3= cos i sen Calcule e dê a resposta na forma algébrica: a) Z 1.Z 2.Z 3 b) Z. 1 Z Z 19) Calcule e dê a resposta na forma algébrica: 3 2 RESPOSTA: a) -48 b) i a) ( i) 7 b) ( i) RESPOSTA: a) i b) - i ) Calcule as raízes cúbicas de Z= -i. resp: {i; - i ; - + i } MATEMÁTICA II 1) Obter a equação da circunferência de centro C( 4; 2) e tangente à reta 3x 4y + 16 = 0 Resp: (x 2) 2 +(y 1) 2 = 8 2) Obter a equação da circunferência com centro no ponto C = (2,1) e que passa pelo ponto 16 P(0,3). Resp: (x + 4) 2 + (y 2) 2 =. 25 3) Determinar o comprimento da corda que a circunferência de equação x 2 + y 2 + 4x 2y 3 = 0 determina no eixo das ordenadas. Resp: 4 4) Determinar a posição da reta de equação 3x + y 10 = 0 em relação à circunferência de equação (x 1) 2 + (y + 3) 2 = 10. Resp: a reta é tangente à circunferência. 5) O centro de uma elipse é o ponto (0; 0), um dos vértices é o ponto (3; 0) e um dos pólos é o ponto (0; 1). Obter a equação dessa elipse. Resp: x y = blog.portalpositivo.com.br/capitcar 5

6 ) A elipse x + y = e a reta y = 2x + 1, do plano cartesiano, se interceptam nos pontos A e B. Calcular o ponto médio do segmento AB. Resp: M =, ) Os focos de uma elipse são os pontos F 1 (0; 2) e F 2 (0; 2) e a excentricidade é igual a. 3 Achar a equação reduzida da elipse. Resp: x y = ) A elipse de equação 9. x y 2 = 225, calcule a excentricidade da elipse. Resp: 5 9) A figura abaixo representa uma elipse. A partir dos dados disponíveis, determine a equação reduzida desta elipse. x y = Resp: ( ) ( ) 1 10) Determine a equação da hipérbole, dados: a) os focos F1(8, 0) e F2( 8, 0) e os vértices A1(5, 0) e A2( 5, 0); b) os vértices A1(3, 0) e A2( 3, 0) e a distância entre os focos iguais a 8; c) os vértices A1(3, 0) e A2( 3, 0) e a excentricidade igual a 3; d) os focos F1(0, 5) e F2(0, 5) e a excentricidade a 3 5. a) Resp: x 2 2 y = b) Resp: x 2 2 y = c) Resp: x 2 2 y = d) b) Resp: y 2 2 x = blog.portalpositivo.com.br/capitcar 6

7 11) Escreva uma equação da hipérbole com os eixos contidos nos eixos coordenados, os focos no eixo Ox, o eixo transverso medindo 30 e excentricidade igual a 5 6. Resp: x 2 2 y = ) Determinar o vértice, o foco e a equação da diretriz da parábola de equação y 2 = 8x. Resp: O foco é F(2; 0) e a diretriz tem equação x = 2. 13) Determinar o vértice, o foco e a diretriz da parábola de equação x 2 = 3y Resp: vértice é 3 3 V(0; 0), o foco é F 0, 0; e a diretriz tem equação y = ) No gráfico abaixo, F é o foco e V é o vértice da parábola. Obter: a) o parâmetro b) a equação da diretriz c) a equação da parábola. Resp: 6 é o parâmetro, a diretriz é a reta vertical de equação x = 2. c) Sendo V( 1; 2), f = 3, a equação da parábola indicada é: (y + 2) 2 = 12. (x +1). 15) Determinar a equação da parábola com vértice V(3; 4) e foco F(3; 2). Obter a equação da diretriz dessa parábola. Resp: A equação da parábola é (x 3) 2 = 8. (y 4) A equação da mediatriz será y = 6, 16) Seja x um ângulo agudo tal que sen x = 5 4. Calcular: cos x, tg x, cotg x, sec x, cossec x. Resp: 5 3, 3 4, 4 3, 3 5, cos 2 x 4 17) Se 0 < x < 90 e sen x =, então, calcule o valor de. Resp: 3 1 senx 3 1 cosseca sena 18) Sendo tg a =, calcular y = Resp: 8 2 seca cosa 19) a) Esboçar o gráfico, calcular o período e o conjunto imagem da função y = sen 2x. Resp: = π Im = 1,7 P, [ ] blog.portalpositivo.com.br/capitcar 7

8 b). Esboçar o gráfico, calcular o período e o conjunto imagem da função y = Resp: P = 4π, Im = [ 5,1] cos x. 2 20) Uma máquina produz diariamente x dezenas de certo tipo de peças. Sabe-se que o custo de produção C(x) e o valor de venda V(x) são dados, aproximadamente, em milhares de reais, xπ xπ respectiva mente, pelas funções C( x) = 2 cos( ) e V ( x) = 3 2sen, 0 x 6. Qual é 6 12 o lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas de peças. Resp: 1000 reais 21) No hemocentro de um certo hospital, o número de doações de sangue tem variado periodicamente. Admita que, neste hospital, no ano de 2001, este número, de janeiro (t = 0) a dezembro (t = 11), seja dado, aproximadamente, pela expressão ( ) ( t 1) π S t = λ cos com 6 λ uma constante positiva, S(t) em milhares e t em meses, 0 t 11. Determine a) a constante λ, sabendo que no mês de fevereiro houve 2 mil doações de sangue; b) em quais meses houve 3 mil doações de sangue. Resp: = 3 λ, maio ( t = 4) e novembro ( t = 10) BONS ESTUDOS! blog.portalpositivo.com.br/capitcar 8