ESTUDO DA ANÁLISE COMBINATÓRIA
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- Anderson Carmona Varejão
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1 ESTUDO DA ANÁLISE COMBINATÓRIA A resolução de problemas é a parte principal da Análise Combinatória, que estuda a maneira de formar agrupamentos com um determinado número de elementos dados, e de determinar quantos são esses agrupamentos sem precisar contá-los um a um. Quando um número de agrupamentos é pequeno, é fácil realizar sua contagem, mas quando aumenta o número de elementos dados e o número de elementos em cada agrupamento, o processo intuitivo de formá-los para depois realizar sua contagem torna-se difícil e, muitas vezes, impreciso; por isso, partindo do concreto, tentaremos chegar à compreensão de como determinar exatamente quantos são os agrupamentos que queremos realizar e quais são eles. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM OU PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO Consiste em dividir o evento em etapas. E para cada uma dessas etapas, individualmente analisadas, descobrir qual o seu número de resultados possíveis. 1) Simone foi a uma concessionária comprar um carro. Para determinado modelo, ela poderia escolher entre três cores e dois tipos de motor. Quantas possibilidades diferentes ela teria para escolher esse modelo de carro nessa concessionária? Para determinar todas as opções de Simone, podemos utilizar um esquema, conhecido como diagrama de árvore ou árvore de possibilidades: Se um fato se compõe de duas etapas independentes, sendo que a primeira pode ocorrer de m maneiras e a segunda, de n maneiras, então o fato pode ocorrer de m.n maneiras diferentes. Esse princípio é conhecido como princípio fundamental da contagem (PFC) ou princípio multiplicativo. 3) Com algarismos os 0,1,2,3,4,5,6,7: a) Quantos números de 3 algarismos podemos formar? b) Quantos números com 3 algarismos distintos podemos formar? 4) Quantos são os números de 4 algarismos distintos formados com os algarismos 0,1,2,3,4 e 5 que são múltiplos de 5? 5) A partir do ano de 1990, no Brasil, as placas de automóvel passaram a ter 3 letras seguidas de 4 algarismos. Quantas são as possibilidades de placas nesse sistema?(considere o alfabeto com 26 letras). 2) Ao abrir seu armário, hoje de manhã, Flávia encontrou * 3 pares de tênis: T1, T2 e T3 * 2 calças jeans: J1 e J2 * 3 camisetas: C1, C2, C3. De quantas formas diferentes ela pode escolher um conjunto tênis-jeans-camiseta para ir à escola? Construindo a árvore das possibilidades temos:
2 Exercícios: 1) Com 3 tipos de macarrão e 2 tipos de molho, quantas opções de pratos diferentes de macarronada podem ser preparadas? 2) Uma pessoa quer viajar de uma cidade A a uma cidade C, passando pela cidade B. As cidades A e B estão ligadas por 3 estradas: d 1, d 2 e d 3 e as cidades B e C estão ligadas por 4 estradas: e 1, e 2,e 3 e e 4. De quantos modos diferentes pode-se fazer o percurso ABC? 3) Doze cavalos participam de uma corrida. Se nenhum pode ganhar mais de um prêmio, de quantas maneiras podem ser distribuídos o 1 e o 2º prêmio? 4) Ao lançarmos uma moeda e um dado, quantas são as possibilidades de resultado? 5) Quantos são os números de 4 algarismos? 6) Um homem pode ir para o trabalho de carro, de ônibus ou de trem. De quantas formas diferentes ele pode arranjar sua ida ao trabalho nos 5 dias da semana? 7) Calcule quantos números de 3 dígitos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5, se os algarismos: a) podem ser repetidos; b) não podem ser repetidos. 8) Quatro cartas numeradas de 1 a 4 são embaralhadas, e 3 cartas distintas são escolhidas ao mesmo tempo. Construa uma árvore de possibilidades para essa situação e responda: de quantas diferentes maneiras as 3 cartas podem ser escolhidas? 9) Quantos números de 4 dígitos contêm pelo menos um algarismo 8? 10) Quantos números entre e podemos formar usando apenas 1, 3, 5, 7 e 9, sem os repetir? 11) Quantos números de 1, 2 ou 3 dígitos (sem repetição) podem ser formados com os algarismos 1, 2,3, 4, 5 e 6? 12) De quantas maneiras distintas 9 pessoas podem ser dispostas em fila? FATORIAL DE UM NÚMERO O produto de um número natural pelos seus antecedentes é muito frequente em problemas de contagem. Existe outra maneira mais simples de representarmos o produto de um número natural por todos os seus antecedentes até a unidade: é o fatorial desse número. O produto pode ser representado utilizando-se o ponto de exclamação escrito logo após o 5, ou seja: 5! (lê-se fatorial de cinco) Sendo n um número natural, por definição: n! = n.(n-1).(n -2).(n-3) , para n 1 0!= 1 1! =1 n! = n.(n-1)! Ex: a) 5!= = 120 b) Simplificar a expressão: 20! 18! 20! = ! = ! 18! n 7 EXERCÍCIOS:(no caderno) 1) Calcule: a) 6! b) 4! c) 0!+ 1! d) 3! - 2! e) 7! - 5! f) 5.3! 2) Obtenha o valor de cada uma das expressões seguintes: c) Resolver a equação: n! 42 ( n 2)! n 1)( n 2)! 42 ( n 2)! 2 n 1) 42 n n 42 13) A senha de acesso de um site é composta de 4 letras distintas seguidas de 3 algarismos distintos. A primeira letra não pode ser Z e o primeiro algarismo não pode ser zero. Quantas diferentes senhas de acesso a esse site podem ser criadas? (Considere o alfabeto com 26 letras.)
3 3) Simplifique: 3) Dos anagramas da palavra CORAGEM, quantos começam por A? 4) Resolva as seguintes equações: a) ( n 2)! 6. n! b ) n! 120 ( n 2)! ( n 1)! c ) 25 n 1)! 4) Dispostos em ordem crescente todos os números de 4 algarismos, obtidos com 1,3,5 e 7 (sem repetir). Que posição ocupa o número 5731? AGRUPAMENTOS O princípio fundamental da contagem (PFC) é a principal técnica para a resolução de problemas de contagem. Muitas vezes, porém, se utilizarmos apenas o PFC, a resolução desses problemas pode se tornar trabalhosa. Estudaremos os agrupamentos denominados: permutações, arranjos e combinações. PERMUTAÇÃO SIMPLES (SEM REPETIÇÃO DE ELEMENTOS) Anagrama de uma palavra é qualquer agrupamento das letras com ou sem significado. Assim, considerando a palavra FATOS, TAFOS é um anagrama. Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra FATOS? De uma permutação para outra, os elementos são sempre os mesmos apenas trocam de posição. Daí o nome permutação (permutar, trocar os elementos que formam um todo, com a finalidade de obter novo agrupamento). Esses agrupamentos ordenados recebem o nome de permutações simples. Indicamos por P n. P n = n! 1) Numa Van com 9 assentos, viajarão 8 passageiros e o motorista. De quantos modos distintos os 8 passageiros podem ocupar os assentos do veículo? PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS Como na palavra ARARA a letra A ocorre três vezes, a permutação destas três letras A é P 3 = 3! = 6, ou seja, se dividirmos 120 por 6 iremos obter 20 que é o número de permutações, já desconsiderando-se as permutações entre as três letras A. O mesmo iremos fazer em relação à letra R, só que neste caso o número de permutações desta letra é P 2 = 2! = 2, isto é, dividindo-se 20 por 2 temos como resultado 10, que é o número total de permutações das letras da palavra ARARA, sem considerarmos as permutações das etras A entre si, e das letras R também entre elas mesmas. Se em um dado conjunto um elemento é repetido a vezes, outro elemento é repetido b vezes e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos obter é dada por: n! P n ( a, b, c...) a!. b!. c!... 1) Determine o número de anagramas da palavra BANANA P 8 = 8! = modos 2) De quantas maneiras diferentes um casal com seus 3 filhos podem ocupar um banco com 5 lugares, de modo que o casal fique sempre junto? 2) Quantos números pares podem ser obtidos ao permutarmos os algarismos que formam o nº ?
4 EXERCíCIOS: 1) Quantos são os anagramas da palavra SABER? 2) Quantos números de 5 algarismos distintos podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5? 3) Dos anagramas da palavra CORAGEM, quantos começam por A? 4) Oito clientes de um banco, dos quais 3 são mulheres, estão na fila única dos caixas. De quantas maneiras as pessoas dessa fila podem se posicionar de modo que as mulheres fiquem juntas? 5) Com as letras da palavra PROVA, quantos são os anagramas que começam por vogal e quantos são os anagramas que começam e terminam por consoante? 6) Quantos são os anagramas da palavra CARREIRA? 7) Uma cidade é formada por 6 bairros distintos. Deseja-se pintar o mapa dessa cidade com as cores azul, vermelha e verde, de modo que 2 bairros sejam azuis, 1 seja vermelho e os demais sejam verdes. Quantas são as maneiras distintas de pintar esse mapa? 8) Deseja-se arrumar em uma estante 4 livros de Matemática, 3 de Química e 5 de Português, todos diferentes. Quantas são as possibilidades de arrumação se: a) não houver restrições? b) os livros de uma mesma matéria permanecerem juntos? 9) Quantos números de 4 dígitos podem ser escritos com os algarismos 5, 7,8 e 9, se: a) cada algarismo deve ser usado uma única vez? b) as repetições dos algarismos são permitidas? 10) Quantos anagramas da palavra ARTIGOS: a) terminam em S? b) começam com R e terminam em S? c) começam com consoante? d) apresentam as três vogais juntas? ARRANJO SIMPLES Já vimos que a quantidade de permutações simples das letras da palavra AMOR, é igual a 4!= 24. Isso significa que as 4 letras dessa palavra podem ser reordenadas de 24 maneiras diferentes, resultando 24 anagramas. SE quisermos formar sequências de 2 letras (escolhidas entre as 4 que formam a palavra AMOR) de quantas maneiras diferentes podemos fazê-lo? 4.3 = Esses agrupamentos ordenados são os arranjos simples dos 4 elementos dados tomados 2 a 2. Para indicar a quantidade deles, escrevemos: A 4,2 = 4. 3 = 12 É possível calcular rapidamente a quantidade de arranjos usando a fórmula: A n,p = n! (n-p)! Arranjos são agrupamentos onde a ordem dos seus elementos faz a diferença. 1) Quantos números de 3 algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 6 e 7? 2) Em uma competição de atletismo, 8 velocistas disputam prova final dos 100 m rasos, na qual os 3 primeiros colocados irão ao pódio. De quantas maneiras diferentes o pódio poderá ser composto? 11) Três garotos e cinco meninas devem sentar em um banco de forma que o garoto mais novo e a menina mais nova fiquem juntos. De quantas maneiras isso pode ser feito? 12) Em uma prateleira, há 9 diferentes livros, dos quais um é um dicionário e um é um atlas. De quantas maneiras esses livros podem ser arrumados na prateleira, se o dicionário e o atlas devem ficar juntos? EXERCÍCIOS: 1) Calcule: a) A 10,5 b) A 10,5 - A 5,2 c) 2) Determine o número x inteiro, x 2, para que A x,2 = 156. A15,12 A15,3. A12,3. A9,3. A6,3
5 3) Uma sala possui 6 portas. De quantas maneiras uma pessoa pode entrar por uma porta e sair por outra diferente? 4) Dispomos de 8 cores e queremos pintar uma bandeira de 5 listras, cada listra com uma cor. De quantas formas isso pode ser feito? 5) Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,3,4.5,6, 7, 8 e 9. O segredo do cofre é marcado por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre e gastar 10 segundos em cada tentativa, quanto tempo levará (no máximo) para conseguir abri - lo? 1) Um garoto gostaria de convidar 7 amigos para um acampamento, porém só há lugar para 4 amigos na barraca. De quantas maneiras o garoto pode escolher 4 amigos entre 7? 2) Para fazer uma aposta da lotofácil, devemos marcar 15 número entre os 25 constantes no volante.de quantas maneiras é possível preencher um cartão de lotofácil? 6) De quantos modos 3 pessoas podem sentar num sofá de 5 lugares? 7) Numa empresa, 10 de seus diretores são candidatos aos cargos de presidente e vicepresidente. Quantos são os possíveis resultados da eleição? 8) Cinco cavalos disputam um páreo. Qual é o número de possíveis resultados para as 3 primeiras colocações? 9) O campeonato de futebol vai ser disputado por 20 equipes. Quantas são as possibilidades de classificação para os dois primeiros lugares? 10) Para a seleção brasileira de futebol, foram convocados 5 laterais. De quantas maneiras a seleção pode escalar esses jogadores para atuar na esquerda ou na direita? 11) Quantos números existem entre 100 e 1.000, escritos com algarismos distintos? 12) Uma urna, I, contém 5 bolas numeradas de 1 a 5.Outra urna, II, contém 3 bolas numeradas de 1 a 3.Qual é o número de sequências numéricas que podemos obter se extrairmos, sem reposição, 3 bolas da urna I e, em seguida, 2 bolas da urna II? COMBINAÇÃO SIMPLES. Combinações simples são subconjuntos formados por p elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. É importante observar que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados. É possível calcular rapidamente a quantidade de combinações usando a fórmula: C n,p = n! p!(n-p)! EXERCÍCIOS: 1) Uma prova é composta de 15 questões, das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões? 2) Sobre uma circunferência, são marcados 9 pontos distintos. Quantos triângulos podem ser construídos com vértices nos 9 pontos marcados? 3) Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas com um grupo de 7 pessoas? 4) Ao sair de uma festa, 10 amigos se despediram com um aperto de mão. Quantos apertos de mão foram trocados? 5) Considere 7 pontos distintos sobre uma reta e 4 pontos, também distintos, sobre outra reta, paralela à primeira. Quantos triângulos podemos obter ligando 3 quaisquer desses 11 pontos? 6) Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 5 bolas azuis. De quantas maneiras diferentes podemos retirar 3 bolas de modo que não saiam somente bolas vermelhas? 7) Em um congresso de Educação, ha 6 professores de Física e 6 de Matemática. Quantas comissões de5 professores podem ser formadas, havendo em cada uma 2 professores de Matemática e 3 de Física? 8) Uma comissão técnica formada por engenheiros e economistas, deve ter 5 elementos, dos quais pelo menos 2 devem ser engenheiros. Se são disponíveis 4 engenheiros e 5 economistas, qual o número possível de comissões distintas?
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