n! = n (n 1) (n 2) 1.

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Edite Coradelli
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1 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso - IFMT Campus Várzea Grande Aula - Análise Combinatória e Probabilidade Prof. Emerson Dutra emerson.dutra@vgd.ifmt.edu.br Página pessoal: 1. ANÁLISE COMBINATÓRIA 1.1. Princípio Fundamental da Contagem Denição 1. Sendo A 1, A 2,, A k conjuntos não vazios, o número de escolhas diferentes de um elemento de A 1, um de A 2,..., um de A k, nessa ordem, é dado pelo produto n(a 1 ) n(a 2 ) n(a k ), onde n(a k ) é o número de elemenros do conjunto A k. Exemplo 1. Uma loja de roupas femininas vende 4 modelos diferentes de calças jeans. Cada calça pode ter uma das cores: preto, marrom ou azul. Quantas opções de escolha terá uma consumidora interessada em comprar uma calça jeans nessa loja? Exemplo 2. Quantos números naturais de 3 algarismos podem ser representados com os algarismos 2, 3, 4, 7, 8 e 9? 1.2. Fatorial Denição 2. Seja n um número natural, com n 2. Dene-se o fatorial de n, que é representado por, como o produto dos números naturais consecutivos n, n 1, n 2,, 1. Isto é, = n (n 1) (n 2) 1. Exemplo 3. Simplicar as fracções: a. 10! 9! c. (n 2)! b. 10! 4! 8! 6! d. (n 3)! (n 1)! 1

2 Exemplo 4. Resolver a equação (n + 3)! (n + 1)! = 12. Classicação dos agrupamentos. [PAIVA, Manoel] A análise combinatória identica dois tipos distintos de agrupamento: os arranjos e as combinações. Temos que os arranjos são agrupamentos em que se considera a ordem dos elementos, isto é, qualquer mudança na ordem dos elementos altera o agrupamento. Já as combinações são agrupamentos em que não se considera a ordem dos elementos, isto é, mudanças na ordem dos elementos não alteram o agrupamento Arranjos Simples Denição 3. Dados os n elementos distintos do conjunto I = {a 1, a 2,, a n }, chama-se arranjo simples de p elementos de I toda sequência formada por p elementos distintos de I com p N e p n. Escrevemos: A n,p = (n p)!. Exemplo 5. Aplicando o princípio fundamental da contagem, calcular A 6,4. Exemplo 6. Cinco jogadores de futebol, A, B, C, D e E, concorrem a um dos títulos de 1, 2 ou 3 melhor jogador do campeonato Brasileiro. De quantas maneiras diferentes esses títulos podem ser distribuídos? 1.4. Permutações Simples Denição 4. Dados os n elementos distintos do conjunto I = {a 1, a 2,, a n }, chama-se permutação simples dos n elementos de I todo arranjo simples desses n elementos tomados n a n. Exemplo 7. Há 6 poltronas vazias em uma leira de lugares de um teatro. Em quantas sequências diferentes 6 pessoas podem ocupar as 6 poltronas? Exemplo 8. Dez CD's diferentes, sendo 6 de música clássica e 4 de música popular, devem ser colocados lado a lado em um porta CD's. Em quantas sequências diferentes esses discos podem ser dispostos de modo que os de música clássica quem juntos e os de música popular também quem juntos? 2

1.5. Permutações com repetição Denição 5. Consideremos n elementos, entre os quais o elemento a 1 comparece n 1 vezes, o elemento a 2 comparece n 2 vezes,.

3 1.5. Permutações com repetição Denição 5. Consideremos n elementos, entre os quais o elemento a 1 comparece n 1 vezes, o elemento a 2 comparece n 2 vezes,..., o elemento a k comparece n k vezes n elementos {}}{ a 1, a 1,, a }{{} 1, a 2, a 2,, a 2,, a }{{} k, a k,, a }{{} k n 1 elementos n 2 elementos elementos sendo a 1, a 2,, a k distintos entre si e n 1 + n n k = n. O número de permutações desses n elementos, que indicaremos por P (n 1,n 2,,n k ) n é P (n 1,n 2,,n k ) n = Exemplo 9. Com a palavra P ANT ANAL: n k n 1!n 2! n k!. a. quantos anagramas podemos formar? b. quantos anagramas começam pela letra A? Exemplo 10. A gura abaixo representa um conjunto de quarteirões de uma cidade, sendo a parte cinza a representação das ruas Combinações Simples Denição 6. Dados os n elementos distintos do conjunto I = {a 1, 2,, a n }, chama-se combinação simples de p elementos de I todo subconjunto de I formado por p elementos com {n, p} N e p n. Escrevemos: Exemplo 11. Calcular: C n,p = p!(n p)!. 3

4 a. C 7,5 c. C 4,0 b. C 4,4 d. C 0,0 Exemplo 12. Entre 8 policiais serão escolhidos 5 para garantir a segurança pessoal de um senador da República durante um evento. Quantos grupos de segurança diferentes podem ser formados se os escolhidos terão funções idênticas? Exemplo 13. Seja ABCDEF um hexágono convexo. a. Quantos segmentos de reta é possível formar tomando como extremos 2 pontos distintos do conjunto {A, B, C, D, E, F }? b. Quantas diagonais possui o hexágono ABCDEF? c. Quantos triângulos é possível formar tomando como vértices 3 pontos do conjunto {A, B, C, D, E, F }? 2. PROBABILIDADE Denição 7. O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é chamado de espaço amostral desse experimento. Qualquer subconjunto do espaço amostral é chamado de evento desse espaço. Exemplo 14. No lançamento de duas moedas, temos como espaço amostral o conjunto E = {(C, C), (C, K), (K, C), (K, K)} e, portanto, n(e) = 4. O subconjunto G = {(C, C), (C, K), (K, C)} é um evento de E. Temos que n(g) = 3. Denição 8. [Probabilidade] Sejam E um espaço amostral equiprovável, nito e não vazio, e A um evento de E. A probabilidade de ocorrer algum elemento de A é indicada por P (A) e denida por: P (A) = n(a) N(E) em que n(a) e n(e) indicam, respectivamente, o número de elementos de A e de E. Exemplo 15. No lançamento de uma moeda, qual é a probabilidade de obter a face cara? 4

5 Exemplo 16. No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de obter, na face voltada para cima, um número de pontos menor que 3? Teorema 1. [Adição de Probabilidades] Sejam A e B eventos de um espaço amostral equiprovável E, nito e não vazio, temos: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). Exemplo 17. Uma urna contém 50 chas, numeradas de 1 a 50. Sorteando uma cha dessa urna, qual é a probabilidade de obter um número menor que 20 ou um múltiplo de 5? Exemplo 18. Uma pesquisa foi realizada em um aeroporto com 80 mulheres e 60 homens que vão embarcar no próximo voo. Constatou-se que 30 mulheres e 20 homens vão viajar de avião pela primeira vez, e que os demais já voaram antes. Escolhendo um desses passageiros ao acaso, qual é a probabilidade de obter uma mulher ou um passageiro que vai voar pela primeira vez? Denição 9. [Probabilidade Condicional] A probabilidade de ocorrer o evento B dado que ocorreu o evento A é indicada por P (B A), e é determinada por P (B A) = n(a) n(a) ou P (B A) = P (A) P (A). Exemplo 19. No lançamento de um dado, sabe-se que ocorreu um número de pontos menor que 5 na face voltada para cima. Qual é a probabilidade de que esse número de pontos seja maior que 2? Exemplo 20. Em uma sala estão reunidos 20 homens e 20 mulheres. Entre os homens, 3 são administradores, 8 são engenheiros e os demais economistas. Entre as mulheres, 7 são administradores, 8 economistas e as demais engenheiras. Um desses prossionais foi escolhido ao acaso para ler a pauta da reunião. Sabendo que a pessoa escolhida foi uma mulher, qual é a probabilidade de que ela seja economista? Denição 10. [Eventos Independentes] Sejam um espaço amostral E, nito e não vazio, e dois eventos A e B de E. Dizemos que A e B são eventos independentes se, e somente se: P (B A) = P (B) e P (A B) = P (A). Exemplo 21. Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 4 azuis. Retira-se uma bola dessa urna, registra-se sua cor e repõe-se a bola na urna. A seguir, misturam-se as bolas e retira-se uma segunda 5

6 bola, registrando sua cor. Sendo E = {(x, y) x é a primeira bola retirada, y é a segunda} o espaço amostral desse experimento, mostrar que os eventos A e B, abaixo, são independentes: e A = {(x, y) E x e a bola vermelha} B = {(x, y) E y é a bola vermelha}. Obs.: Se A e B forem eventos independentes, temos P (B A) = P (B). Então, podemos escrever P (A B) = P (A) P (B). Exemplo 22. Uma caixa contém exatamente 7 parafusos: 4 de aço e 3 de ferro. Retira-se ao acaso um parafuso da caixa, registra-se o metal de que é feito, e repõe-se o parafuso na caixa. A seguir retira-se, novamente ao acaso, outro parafuso da caixa, registrando o metal que o compõe. Calcular a probabilidade de: a. sair o primeiro parafuso de aço e o segundo de ferro. b. saírem 2 parafusos de metais diferentes. Bons estudos :) 6

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