Probabilidade. Prof. Tiago Viana Flor de Santana Sala 07

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1 Prof. Tiago Viana Flor de Santana Sala 07 Universidade Estadual de Londrina UEL Departamento de Estatística DSTA

2 Definição: é uma função P, definida na σ-algebra A e com valores em [0, 1] satisfazendo: i. P(Ω) = 1; ii. A A, P(A) 0; P : A [0, 1] A P(A) iii. A 1, A 2,... A, mutuamente exclusivos têm-se ( ) P A i = i=1 P(A i ) i=1 Obs.: A terna (Ω, A, P) é denominada espaço de probabilidade. Tiago VFS (UEL/DSTA) 2 / 13

3 Propriedades: i. 0 P(A) 1; ii. P(Ω) = 1 (Evento certo); iii. P( ) = 0 (Evento impossível); iv. P(A c ) = 1 P(A) Prove. v. P(A c B) = P(B) P(A B) Prove; vi. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), se A B Prove; Tiago VFS (UEL/DSTA) 3 / 13

4 Se Ω é finito Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n } e cada elemento de Ω é equiprovável, ou seja P( {ω 1 } ) = P( {ω 2 } ) = = P( {ω n } ) A probabilidade P(A) do evento A Ω é dada por P(A) = #A Número de elementos em A = #Ω Número de elementos em Ω Tiago VFS (UEL/DSTA) 4 / 13

5 Exemplo: No experimento lançar um dado equilibrado e observar o resultado o espaço amostral é Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e P( {1} ) = P( {2} ) = = P( {6} ) = 1 6 Logo a probabilidade do evento A: Observar face par é P(A) = P( {2, 4, 6} ) = P( {2} {4} {6} ) = = P( {2} ) + P( {4} ) + P( {6} ) = = = 3 6 Tiago VFS (UEL/DSTA) 5 / 13

6 Exemplo: No experimento lançar uma moeda duas vezes e observar o resultado. O espaço amostral é Ω = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 } em que ω 1 = (C, C), ω 2 = (C, R), ω 3 = (R, C), ω 4 = (R, R) e. P( {ω 1 } ) = P( {ω 2 } ) = = P( {ω 4 } ) = 1 4 Logo a probabilidade do evento A: Faces iguais é P(A) = P( {ω 1, ω 4 } ) = P( {ω 1 } {ω 4 } ) = = P( {ω 1 } ) + P( {ω 4 } ) = = = 1 2 Tiago VFS (UEL/DSTA) 6 / 13

7 A probabilidade de um evento A é definida como limite da ocorrência de A em n repetições independentes do experimento, quando n tende ao infinito. n A P(A) = lim n n Tiago VFS (UEL/DSTA) 7 / 13

8 Seja o experimento que consiste em escolher um ponto ao acaso no círculo unitário. Pode-se definir a probabilidade P(A) de um evento A Ω como P(A) = área de A área de A = área de Ω π Tiago VFS (UEL/DSTA) 8 / 13

9 Exemplo 5.2 De um grupo de duas mulheres (M) e três homens (H) uma pessoa será sorteada para presidir uma reunião. Qual a probabilidades do presidente ser do sexo masculino (feminino)? Ω = {H, M} P({H}) = 3 5 e P({M}) = 2 5 Tiago VFS (UEL/DSTA) 9 / 13

10 Na Tabela 5.3, é apresentado dados referentes a alunos matriculados em quatro cursos de uma universidade em dado ano. Tabela 5.3 Distribuição de alunos segundo o sexo e escolha de curso. Sexo Curso Homens(H) Mulheres(F) Total Matemática Pura(M) Matemática Aplicada(A) Estatística(E) Computação(C) Total P(E) = e P(H) = P(A H) =? e P(A C) =? Tiago VFS (UEL/DSTA) 10 / 13

11 Exemplo 5.8 Suponha que num lote com 20 peças existam cinco defeituosas. Retira-se uma amostra de tamanho 4, de modo que a ordem dos elementos seja irrelevante. Quantas são as possíveis amostras? Qual a probabilidade de escolher duas peças defeituosas na amostra? Tiago VFS (UEL/DSTA) 11 / 13

12 Exemplo 5.9 O jogo da Megasena consiste em escolher 6 números dentre os 60 números (01,02,...,60). O jogador pode marcar num cartão de 6 a 15 números. Os custos em reais de cada jogo estão relacionados abaixo Números Custo Números Custo 6 2, , , , , , , , , ,00 1) Qual a probabilidade de ganhar o prêmio máximo com um único jogo de R$ 2,00? 2) Porque o jogo com 7 números custa R$ 14, 00? E os demais jogos? Tiago VFS (UEL/DSTA) 12 / 13

13 Exercícios 7, 8, 9,..., 14 pág. 113 Tiago VFS (UEL/DSTA) 13 / 13